2021-2022学年云南衡水实验中学高考数学五模试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .答题时请按要求用笔。3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.已知可、尺是双曲线二-2=1（。0力 0）的左右焦点，过点工与双曲线的一条渐近线平

2、行的直线交双曲线另一a b条 渐 近 线 于 点 若 点 A f 在以线段6居为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A.（2,+o o）B.（7 3,2）C,（0,百）D.（1,V2）x+y22.已知变量x,，满足不等式组 0A.-4 B.-2 C.0 D.43 .函 数 力=2 3-奴2 +在（o,+8）内有且只有一个零点，则。的 值 为（）A.3 B.-3 C.2 D.-2x+y 0A.（-c o,-2）0力 0）的左、右两个焦点分别为耳，F2,若存在点P满足a-b，|尸耳|:|丁|:|耳丁|=4:6:5,则该双曲线的离心率为（）5 5A.2 B.-C.-D.52 32 27.过双曲

3、线C：I-4=13 0,6 0）的右焦点尸作双曲线C的一条弦A3,且 丽+丽=0,若 以 为 直 径 的 圆 经cr b过双曲线C的左顶点，则双曲线。的离心率为（）A.亚 B.7 3 C.2 D.4 58.我国古代典籍 周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻，-，.如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是()7A.64113257C.64D.11T 6r2 v29.已知耳，尸,是双曲线1-二=1(。0,6 0)的左右焦点，过耳的直线与双曲线的两支分别交于A 5两 点(A在右a b-支，8在 左 支)若A A BF

4、 2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.6 B.y/5 C.7 6 D.V 710.如果匕a0,那么下列不等式成立的是（）A.10g21/?|a3 D.ab 2,则下列结论正确的是()A.-3G A B.3史B C.A D B=B D.A U B=B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(1,1),忖=2,且向量与5的夹角为7,展(4+5)=.14.(x+1)，的展开式中 的系数为.15.已知函数/(x)=2a(lnx -力+%2(。0)有两个极值点、/(%0,b0,c 4,且a+h=2,则 竺+-+正的最小值为.b ah 2 c-2三、解答题：共 7 0分。解

5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)已知函数/(x)=-x +a lnx.(1)若在(),+e)上为单调函数，求实数的取值范围：(2)若 亡 丝 4 a 3 ,记 的 两 个 极 值 点 为 七，记 的最大值与最小值分别为M,m，求 M-加2 2%一工 2的值.18.(12分)已知函数/(x)=a e s i n x,其中a eR,e 为自然对数的底数.(1)当 a =l 时，证明：对 VXWO,E)(X).1；(2)若函数A x)在(0,、上存在极值，求实数”的取值范围。X19.(12分)已知函数/(x)=J,g(x)=2(x-lnx)(I )当 X ()时，证明/(x)

6、g(x);(H)已知点P(X，4(X),点。(SZ 加,CO SX),设 函 数 (力=丽丽，当x e 时，试判断(%)的零点个数.20.(12分)设 函 数/(x)=x-L gx)=t i n x,其中xe(0,1),f 为正实数.(1)若/(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数，的取值范围；(2)设”(力=(1内 /+卜 +2_)卜 _ 1),证明：对任意x 0,l),都有H(x)0.21.(12分)已知函数 x)=3|/,其中(),().(1)求函数/(x)的单调区间；若和马满足 卷。=1，2),且 +。,工 2 0.求证：%)+2/(%)小 函 数 g(x)=g o%2-I

7、n x.若石,9对任意，工产，都有-8(W)1，求人一a的最大值.22.(10分)如 图，在直棱柱A B C O AgGA中，底面A B C。为菱形，A B =B D =2,BB1=2,与 AC 相交于点E,与 相 交 于 点。(1)求证：AC上 平 面R D；(2)求直线Q B 与平面。5 A所成的角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】2 2 L双曲线-与=1 的渐近线方程为y=-x,a2 b2 a不妨设过点F.与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-(x-c),a与丫=-巴b*联立，可得

8、交点c -笄be)，a 2 2a.点 M 在以线段F.F1为直径的圆外，c2 b2c2.,.|OM|OFi|,即有+丁 3,即 bi3alaA c1-a13ai,即 cla.则 e=-l.a，双曲线离心率的取值范围是(1,+00).故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c 的方程或不等式，再根据a,b,c 的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2.B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】x+y 0可知点 A(l,l),B(0,2),【点睛】

9、本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.3.A【解析】求 出/(幻=6/-2 ，对。分类讨论，求出(0,+8)单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】f(x)=6x2 2ax=6x(x -),若 a M O,X G(0,+OO),/(X)0 ,/(X)在(0,+纥)单调递增，且/(0)=10,/(X)在(O,+8)不存在零点；若 a 0,x e(O,1-),/,(x)0,f(x)=2x3-ax2+1在(0,+纥)内有且只有一个零点，故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.4.B

10、【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论.【详解】x+y,4不 等 式 组 作 出 可 行 域 如 图：A(4,0),6(2,2),0(0,0),y.02=9的几何意义是动点。(羽丁)到。(2,-2)的斜率，由图象可知QA的斜率为1,。的斜率为：-1,x-2则2土2的取值范围是：(-8,+8)x-2本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.5.C【解析】将 点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将 尤=2石 尸=3函 代 入 方 程 器-1 =1(6 0)得人=3而，而双曲线

11、的半实轴a =所以。=后寿=10,得离心率e =J I U，故选C.a【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.6.B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】忻 闾 5 5 d 两两小=5.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.7.C【解析】由 丽+丽=0得尸是弦AB的中点.进而得A 5垂直于x轴，得2=a +c，再结合a/,c关系求解即可a【详解】因 为 丽+丽=0,所以F是弦AB的中点.且A B垂直于x轴.因为以A 3为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以M 2 e-a+c,即-=a+c,贝

12、！c a =a,故 e =2.a a a故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.8.C【解析】利用组合的方法求所求的事件的对立事件，即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率，再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2 个阳爻”为事件A .所有“重卦”共有26种；“该重卦至少有2 个阳爻”的对立事件I 是“该重卦没有阳爻或只有1 个阳爻”,其中，没 有阳爻(即6 个全部是阴爻)的情况有1 种，只有1 个阳爻的情况有C；=6 种，故1+6 7 7 57尸(A)，所以该重卦至少有2 个阳爻的概率是P(A)=1-P(A)=1-=.T 6

13、4 64 64故选：C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1 的方法求解事件概率的方法.属于基础题.9.D【解析】根据双曲线的定义可得儿48工的边长为4 a,然 后 在 工 中 应 用 余 弦 定 理 得。的等式，从而求得离心率.【详解】由题意|A制伍|=2 a,忸闾一忸制=2 a,又|A图=忸 用=悄 目，|A耳|忸 制=|AB|=4a,二忸耳|=la,在A4耳心中忻段2=卜 父+.用 22,周|A6|cos60。，即 4c2 =(6a)2+(4a)2 一2x6ax4ax；=28a2，*.故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用。表示，然后

14、用余弦定理建立关系式.10.D【解析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】Z?a log,|i?|,(a /,ab 2d=-cl=a八t=2%。必3 。3。4 。4又。4=4 +3。=4 =2(q+34)解得：4=-6d7 7-I7 1 1又 S“=2,+(?-1)7=(-12J+(n-l)J)=7(n-13)所以S,=0时，”=13.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.12.C【解析】试题分析：集合A=y|yN-l.8=A，A c B =B考点：集合间的关系二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.1【解析】

15、根据向量数量积的定义求解即可.【详解】解：向量万=(L1)，W=2,且向量M与石的夹角为羊，I 万 I=yj2+I2=2；所以：a*a +b)=a2+a-b-V 22+V 2 x 2x c os=2-2=1,故答案为：L【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题.14.6【解析】在二项展开式的通项中令x的指数为2,求出参数值，然后代入通项可得出结果.【详解】(x+1)4的展开式的通项为力+1 =C：x4r,令4 一厂=2 =r=2,因此，(x+的展开式中/的系数为第=6.故答案为：6.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.

16、15.(-c o,16I n 2-24)【解析】确定函数y =/(x)的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即 可 求/(%)+/(%)的 取 值范围.【详解】函数 x)=2a(lnx-x)+x 2 的定义域为(0,+纺)，f(x)=2a-l+2 x=2 x 2+2 a,依题意，方程2/一2以+2 =0有两个不等的正根七、%(其中玉 0=Q 4,由韦达定理得玉+入2=。，x,x2=6/0,所以/(%1)+/(x2)=I n(X jx2)+%；)-2Q(X+X2)=2111(尤 工2)+(玉+/)-2X jX2+x2)=2 I n6?+6F2-2 a-2 a2=2 a n

17、a-a2-2a 9令/z(Q)=2Q lna-Q 2-2Q(4),则/?()=21na-2a,hn(a=-2 =-,a a当4时，则函数y =”(a)在(4,田)上单调递减，则”(Q)/z(4)=41n2 8 0,所以，函数y=/z(a)在(4,+8)上单调递减，所以，(a)0,h 0f c 4,且a+b=2,ac c c J5(a 1 1 V5b ab 2 c-2 b ab 2)c-2c(2a2+2-ab)=-1-2ab c-2因为 2=(+)?,所以 2a?+2-ab 2a?+()-ab2-=-2ah 2ah5a2+b2 2y/5ab 也-,4ab 4ab 2当且仅当。=6时，取等号，ac

18、 c c y/5(a 1 1 V5所 以 一 +-+-=c +-+-b ab 2 c-2 b ab 2)c-2c(2a2+2-a b)石=-1-2ab c-2旦Vc2=凤(0-2)+工+1 2 c-2令，=c-2(/22),则 石 L(c-2)+1 =逐(，.+1+1),2 c-2 2 t令 f H I-1(/2),贝!I f(/)=0,所以函数/Q)在 2,+8)上单调递增，所以/(r)2/(2)=；x 2 +g +l =g所以 工(C 2)H-I-1 J=V 5(Z+-+1)2 逐x =5“52 c-2 2 t 2 2则所求最小值为上叵2故答案为：也2【点睛】此题考查基本不等式的运用：求最

19、值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。I n 21 7.(1)。0 2；(2)-3【解析】(1)求 导/(x)=-V 1 +0 =-匚L根据/(X)单调，转化为d-奴+1 2 0对X()恒成立求解x X x_ _ c(2)由(1)知X1,是f 一0V+1 =0的两个根，不妨设再 ()恒成立,所以。4*+工,%0,恒成立，X因为x+，N 2,当且仅当x=l时取等号，X所以。2；(2)由(1)知 王,%是/一 存+1=0的两个根.从而 X +X CL 9 X|%2 1 ,不妨设

20、 X 9因为逑所以，为关于a的减函数，所以2 2 4 2/（止/5）=_ _1_ _ +“I n x-ln/-X2 XjX2 X j-x2_ 2 +G-+r l nx!-l nx2 _ 2+l|n f N-r I A -r A2 I-Z H-111 I.X j-Xo/11/+1 t-21nz令（，）=-2 +力1皿，则/）=丁 一因为当a=2时，/(力=,一%+2111在(0,+8)上为减函数.所以当 f m(l)=0.从而(。l且c o&x W l.故当X G(0,+8)时，ex-c o s x 0，即 r(x)o.所以，函数x)=e -s i i u为(0,欣)上的增函数，于是，/(x)/

21、(O)=l.因此，对V x e 0,+o o),/(x)l；(2)方法一：由题意“X)在(0段)上存在极值，则/(力=。/-8.在(0卷 上存在零点,当a 0,1)时，/(%)=。/一8牍为(0,1 上的增函数，注意至U.f (0)=a l 0,所以，存在唯一实数毛(0,、),使 得/(毛)=()成立.于是，当x e(O,x 0)时，r(x)0，/(x)为1%，J上的增函数；所以x 0 e(0,口 为 函 数/(x)的极小值点；当 a 21 时，/(X)=ae -c o s x e*-c o s x 0在 x G 上成立，所以/(x)在(0段 上单调递增，所 以/(力 在(0,上没有极值；当

22、a W 0时，/(%)=aex-cosx 0在 x G(0,?上成立，所以/(x)在(0,?上单调递减，所 以/(力 在1 0,9上没有极值，综上所述，使/（X）在 o,J上存在极值的4的取值范围是（0,1）.方法二：由题意，函数x）在1 0,9上存在极值，则/（X）*-c o s x在，身上存在零点.即4 =丁在 0,J上存在零点.设g（x）=f,则由单调性的性质可得g（x）为 上 的 减 函 数.即g（x）的值域为（0,1）,所以，当实数。0,1）时，/（x）=a ec o 在（0仁）上存在零点.下面证明，当a（0,1）时，函数/（x）在（0,1 上存在极值.事实上，当ae（O,l）时，/

23、（x）=a e、-c o s j i：为0,曰上的增函数，注意到.f （0）=a l 0,=所以，存在唯一实数x o e。，1 ,使得/（%）=。成立于是,当x O,X o）时,r（x）O,“X）为卜o，、上的增函数；即X。为函数/（X）的极小值点.综上所述，当ae（O,l）时，函数/（x）在（o,上存在极值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题.1 9.（I）详见解析；（n）i.【解析】（I ）令（x）=/（x）-g（x）=J-2（x-l n x）,x 0；则）（：_ 纱.易 得e*-2 x 0,xx(x)2

24、中=e-2 0.即可证明 x)g(x)；(I I )h(x)=OP O Q =-xsinx+ex cos x,分 x w -y,0,x e ，当 时，讨论(X)的零点个数即可.【详解】解：(I )令中(x)=/(x)-g(x)=J-2(x-l n x),XO；X则L i).令 G(x)=ex-2 x(x 0),G (x)=e,-2(x 0),易得G(X)在(o,历2)递减，在(加2,+8)递增，/.G(x)G(l n 2)=2-2 1 n 2 0,，e 一2 x 0 在(0，+)恒成立.(力在(0,1)递减，在(1,+8)递增.0(x)a(l)=e-20.(x)g(x)：(n )V 点 P(x

25、,xf(x),点。(-s i n x,co s x),:./J(X)=OP O Q =-xsnx+e co s x,hx)-sinx-xcosx+excosx-esinx-(6?-x)co s x-(e*+i j s i n x .汽 当X E-y,0 时，可 知/2%x,；e，一x 0:.一 x)co s x N 0,(e+l)s i n r K 0,:.(x)=(一 x)c o s x 一 (+1 加之 0././z(x)在 g，o)单调递增，妆 0)=1 0,:.(x)在-，0上有一个零点，当 x w 0,7时，cosxsinx,ex x,I 4:.6?vco s x x s i n x

26、,，。在()7 恒成立，/?(%)在力(同在(0,2(0 号 无零点.(3)当当工 J工,时，O v co s x v s i n x,1 4 2J 1 4 2_hx)=ex(co s x -s i n x)-(JC C O S x +s i n x)0.(x)在(吟 ()在 序 擀 单 调 递 减，/z(=-7 0-:.(x)在 存 在 一 个 零 点.综上，/z(x)的零点个数为L .【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题.20.(1)(0,2(2)证明见解析【解析】据题意可得*x)=/(x)-g(x)=x-jT lnx0 在区间(0,1)上恒成立，利用

27、导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的/的取值范围；(2)不等式整理为 2,利用导数判x er-x+1 xnx xlnxx x断函数一 的单调性从而证明 一().xex-x+1 x e”x +1 /【详解】(1)解：因为函数/(X)的图象恒在g(x)的图象的下方，所以/(另一8 )=一/一八10.当/4,0,即0&2 时，F(x).O,所以函数尸(X)在(0,1)上单调递增，F(x)F(l)=(),故/(x)-g(x)2时，设。(x)=f 一比+1(0%1,。(0)=1,。=2T0,所以。(x)在(0,1)上存在唯一实根，设为王，则*x)0,F(x)*l)=(),不合题意.综上可得，实数f

28、的取值范围是(0,2.(2)证明：由题意得“(x)=e”n x (x 2_ i)(e _ l +W=eU nx(T)(x e*r+l)因为当x (0,l)时，x e -x +l 0,In x v O,所以 H (x)0 o e In x=-e-J-x-2-lxex-x +1 xlnx令/?(x)=ev-x-l(0 x 0,所以(x)在(0,1)上单调递增，(%)=0,即e*x+l,X X所以 x e*+1 x(x+1)-x+1 =f+1,从而-?-xex-x+x2+l 2由(1)知当f =2时，x 21 n x 2.x x l n x令加(6=告 才0 )0,只需证?(x)2.e (x-l)2

29、因 为 加(力=(+，所以加(x)在(0,1)上单调递增，所以 mx)Z M(1)=j 2,即 m(x)0成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.21.(1)单调递增区间/00 4 a),+8,单调递减区间1 1/a a、7;详见解析；(2)1 6【解析】(1)求导可得尸(x)=箓 9,X*0,再分别求解r(X)0 与 r(X)()两种情况，结合函数的单调性分析%)+2/(w)的范围即可.求导分析g (x)=g加-In X 的单调性,再结合/(x)单调性，设花 0,再构造函数加()=/(耳-8(同/(0，9 ,根据函数的单

30、调性与恒成立问7 2 b八题可知上一尸2 0,再换元表达人-。求解最大值即可.yja【详解】解：/二符/。，由,0可得或 X 一 由/(X)0,X2 0 ,%0 或 X V O,若玉o,因为同做/刃-,7a 7 a 7a由 知/(X)在 十,+ooj上单调递增(内)+2 /)3/(=半乎,la)b b b b若玉V 0,由|尤|方=可得为 0,x20,所以工2 -,、由r（x）在13，”上单调递增,a 7/(X,)+2/()/(%1 )+2/综上/(%)+2/(工2)0 x 7 时H（x）=以一，cix2 1 0,g（x）在 。,上单调递减,X不妨设玉|g (%)-g (工2 )1，可得(凡)

31、g&)-g(动,所以，（五）一8（5）一 （电）一 g（w）o.令M(x)=/(x)-g(x),x/0,-，I 7a J可得M（x）单调递减,所以“（X）ax2-11 (or2-1)(1-2/7 x)-ax+x2bx2上恒成立,即1-2反之（）在2bx22h上恒成立，即i-o,所以,b-a -a=2 21?1 1十 1 6 1 6X4；所 以 炉。的最大值7 7.1 6【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.2 2.(1)证明见解析(2)

32、上7【解析】(1)要证明A C J_平面8月。，只需证明A C _L 8。，即可:(2)取用，中点尸，连 E F,以E为原点，EA,E B,乔 分 别 为 X z轴建立空间直角坐标系，分别求出砺与平面。片口的法向量5,再利用c os 3,而=n-OBnxOB计算即可.【详解】(1),底面4 3 C D为菱形,A C B D直棱柱 A5 CD-4瓦G9，.DD J平面 A B C D.:人(2(3平面4 8。.-.A C L D Di;A C L B D,A C L D R,B D c D D i=D.A C J_ 平面 B与 DQ；(2)如图，取用。中点尸，连 E F,以为原点，EA,E B,

33、而 分 别 为 X z轴建立如图所示空间直角坐标系:yA E =6,B E =l,点 8(0,1,0),男(0,1,2),(0,-1,2)，4 6,0,0),。*,一；,1(2 2设平面。片。的法向量为石=z),2旦=(0,2,0),0月=-,-,1(2 2)有。与 万=2 y =0西.”-冬+|y+z=0令x =2,y =0,z =V 3得7 =(2,0,6)又 砺=-包,-1 ,小砺=-2百,|=6,|南=2,2 2设直线O B与平面0gA所成的角为凡所以 s i n。=|c os|=|-2 V 32 x V 7 -7故直线。B与平面。触 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 早.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.