安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高二上学期秋季联赛数学试题含答案.pdf

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1、#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCA

2、oOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 1页（共 9页）高二数学参考答案一、选择题：本大题共 8 个题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678AADACBBC1.【答案】|16Axx，由题意，R|16Ax xx 或，画出数轴，可得1a .选 A.2.【答案】211010zzzz ，13i2z，|1z.选 A.3.【答案】可以列举，不妨记这四个不同的体育场馆分别为 A,B,C,D，那么当小王的选择是 ABC 时，小李的选择可以是 ABC，ABD，ACD，BCD.所以在以上四种情况中他们恰有 2 个场馆相同的概率为34.故选

3、D.4.【答案】方程240 xax有两个大于 1 的不等实根的一个充要条件是54a .故选 A5.【答案】通过平移过点 P 作,aa bb，直线,a b确定平面，若直线l在平面的射影l平分ab与所成的角，根据三余弦公式可知70cos60cos2，故在70角方向和110角方向各有两条，且关于平面对称，故共 4 条.故选 C.6.【答案】因为函数()cos()f xx图像关于原点对称，所以2，故()cos()sin2f xxx，当,4 3x时，,43x，有且只有一个最大值和一个最小值，即32423232 ，即392226，即922.故选 B.7.【答案】如图所示，设12AMABuuuruuu r，

4、则APxAMyADuuu ruuuruuu r，设1ANAPxyuuu ruuu r，则 M,N,D 三点共线，|APxyANuuuruuu r，连 接 A 与 线 段 BC 的 中 点 分 别 交 线 段 DM，圆 于 点 N,P，计 算 可 得minmin|5155()()22|5APxyANuuuruuu r，故选 B.8.【答案】令txy则()()1()()()f x f yf tf yf x，故()()1()()()()()f y f xftf yxf tf xf y 即()f x为 定 义 域 内 的 奇 函 数，令2,xm ym得(2)()1()()(2)fm f mf mf m

5、fm，解 得，所 以()(2)1()(2)11(2)(2)()(2)()(2)f x fmf xfmf xmfmf xfmf xfm，故(4)()f xmf x，即函数周期为4m，所以，(2023)(2024)()()1fmfmmfmf m，故答案为C#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 2页（共 9页）二、选择题：本大题共 4 个题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分。9101112ACDBCBCCD9.【答案】

6、当0ab时，110baabab，即11ab，故答案 A 正确；由35b得11153b，再由12a易得1253ab，故答案B错误；当0ab时，222112abababababab，因为ab，所以不能取等，即211abab，故答案C正确；构造函数()sinxf xex，易知函数()f x在区间(0,1)上单调递增，则当102ba时，()()f bf a，即sinsinbaebea，又因为sinsin2aa，故sinsin2baebea，即sinsin2abebea，故答案D正确，因此本题答案为ACD.10.【答案】易知定义域为(1,)，答案 A 错误；33()lglg(3)11xf xxx，令33

7、1tx，可得该函数在(1,)单调递减，又由于函数lgyt单调递增，所以复合函数3()lg1xf xx在(1,)单调递减，故答案B正确；因为3()lg1xf xx在(1,)单调递减，所以容易得到值域为(lg3,)，故答案C正确；由定义域为(1,)，不难判断答案D错误；因此本题答案为BC.11.【答案】不能同时发生但必有一个要发生的两个事件为对立事件，所以对立事件一定时互斥事件，故答案A错误；答案B正确；因为BA，所以ABB，故()()0.3P ABP B，故答案C正确；当事件A与事件B对立时，()0P AB，则()()()P ABP A P B，即事件A与事件B不独立，故答案D错误，因此本题答案

8、为BC.12.【答案】显然三棱锥SABC不是正三棱锥，故 A 错误；分别作线段 AB,AC 的中点 D,E，连接 SD,SE,DE，因为SAB是边长为 2 的等边三角形，所以SDAB且3SD，底面ABC为直角三角形，所以DEAB且33DE，根据二面角的定义可知，二面角SABC的平面角即SDE,根据余弦定理计算可知2221cos22SDDESESDESD DE，即二面角SABC的大小为3，C 正确；根据60SDE可知，32SS，其中S是点 S 在底面的射影.11 2 3 3333323SABCABCVSSS，所以 B 错误；作 出SAB的 外 心 点 F，不 难 知 道ABC的 外 心 是 点

9、E，计 算 得 出13OE，所 以2221413939ROEBE，所以三棱锥SABC的外接球表面积为25249R，D 正确.#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 3页（共 9页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。其中 16 题为选考题，考生任选一空作答。13114158151,2B 或1,3或2,4或3,41611813.【答案】2(1)1(1)1111i iiiii ziii14.【答案】由2OAOBBC 得，22OCOAOB ，则22()(22)OCOAOB ，即222|2OCO

10、AOBOA OB ，因为|1OCOAOB ，所以解得78OA OB ，故2215()()(2)()()2()8AC BAOCOAOAOBOAOBOAOBOAOBOA OB .15.【答案】令1,2B，则2AB，因为1()2P A，1()2P B，1()4P AB，所以满足()()()P ABP A P B,答案不唯一，也可取1,3B 或2,4B 或3,4B 16.【答案】【选考空间向量与立体几何】由题意知，可建立空间直角坐标系Bxyz，则异面直线1BA和AD垂直当且仅当6,abab（或由三垂线定理亦可得到），样本空间的样本点个数为()36n ，(1,6),(2,3)M，()2n M，由古典概型

11、概率公式可知，()1()()18n MP Mn.【选考直线和圆的方程】由题意知，圆心(,),4C a b r，要满足圆 C 上至少有 3 个点到直线l的距离为 2 即满足圆心 C 到直线l的距离小于等于 2，即|34|25ab，样本空间的样本点个数为()36n ，(1,1),(2,1)M，()2n M，由古典概型概率公式可知，()1()()18n MP Mn.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。其中 21 题为选考题，请考生从给出的两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）【答案】（1）由题意，按照年级人数进行分层随机抽

12、样抽取 20 人，高一、高二和高三年级分别抽取6 人、7 人和 7 人，所以1(6.46.66.97.17.27.27.6)7.07z（2 分）所以高三年级样本数据的平均数7.0z（单位：小时），67767.277.477.01447.2202020 xyz，所以用总样本的平均数估计树人中学全体学生的平均数7.2（单位：小时）（4 分）（2）在高三年级抽取的 7 个样本数据中，数据在平均数z以上的有 4 个，分别设为1234,a a a a，数据在平均数z以下的有 3 个，分别设为123,b b b，用简单随机抽样的方法抽取 2 个数据，样本空间1213142324341 11 21 32 1

13、222 33 13 23 34 1424 31 21 32 3,a a a a a a a a a a a a ab ab ab a b a b a b a b a b a b a b a b a b bb bb b b()21n ，（6 分）设事件 A=“这 2 个数据都在平均数z以上”，则121314232434,Aa a a a a a a a a a a a，(A)6n，根据古典概型计算公式可得(A)62(A)()217nPn.（8 分）#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 4页（共 9页）所以这 2

14、 个数据都在平均数z以上的概率是27.（10 分）18（12 分）【答案】（1）1111()sin cos(1cos2)sincos12222f xxxxxx2sin(2)124x3 分由2 22 242kxk，Zk 得388kxk由32 22 242kxk得588kxk故函数()f x的单调递增区间为3,88kkZk 单调递减区间为5,88kk，Zk（5 分）（2）由2()sin(2)124f xx得，211()sin()1sincos122422xfxxx 故原不等式为532sincos2sin2cos222xxxxa即352sincos2sin2cos222axxxx（7 分）令352s

15、incos2sin2cos2,R22yxxxxx，则ay在Rx上恒成立，令2sincostxx，Rx，则2sincos5sin()5,5txxx 222(2sincos)3sin4sin cos1txxxxx，故（10 分）2352sincos4sin cos(2cos1)22yxxxxx22sincos4sin cos3cos1xxxxx22222121(3sin1)3cos15()24ttxxttt 当5,5t 时，以求得max214y故214a.（12 分）19（12 分）【答案】（1）3B 选：由3tan()(1tantan)coscABABbA得3tantancoscABbA即sin

16、sin3sincoscossincosABCABBA，sin3sincoscossincosCCABBA解得tan3B#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 5页（共 9页）(0,)Q B3B（6 分）选：由sinsinsin()acabABAB得sinsinsinacabABC即acababc，即222accab由余弦定理得1cos2B(0,)Q B3B（6 分）选：由cos3 sin0bCbCac得sincos3sinsinsinsin0BCBCAC则sincos3sinsinsin()sin0BCBCBC

17、C即3sinsincossinsin0BCBCC则3sincos10BB，解得2sin()16B，即1sin()62B 5(0,),(,)666 Q BB,663BB故（6 分）（2）由ABC的面积为2 3，3B，得1sin2 323ac，解得8ac 因为2uuu ruuu rDBAD，所以22|33BDABc（8 分）在三角形BCD中利用余弦定理得22222|()2()cos333CDacac即2224222216|2()933333CDacacacacac（11 分）当且仅当23ac即4 3,2 33ac时取等号故CD的最小值为4 33.（12 分）20（12 分）【答案】（1）63（法一

18、）分别作出线段111,CC AC BC的中点,D E F，由三角形中位线知识可知异面直线1BC与1AC所成角即直线DE和DF所成角，即EDF或其补角在底面ABC中，135ACB，10AB，2BC 由余弦定理计算可得2AC，在1RtA AC中，计算可得21226AC，11622DEAC，在1RtBCC中，计算可得1222BC，1112DFBC，21093 22()222EF 2226cos23DEDFEFEDFDE DF，#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 6页（共 9页）因为异面直线1BC与1AC所成角不大

19、于90，所以异面直线1BC与1AC所成角的余弦值是63（6 分）（法二）作点 D，使得四边形 ACBD 为平行四边形，连接 DA1，CD，可得 DA1/BC1，故 A1C 与 BC1所成角等于 A1C 与 DA1所成角，即1DAC.由余弦定理，22 102cos22 2ACACBAC，解得112ACAC，故2212+2=6AC，2212+2=2AD.又22()42222cos1352CDCACB uuu ruuruur，故2CD.由余弦定理可得16cos3DAC，即 A1C 与 BC1所成角的余弦值为63；（6 分）（2）82 6由（1）计算可知，16AC，112BCBC，1110ABAB，因

20、为2221111ACBCAB，所以11ACBC，将11ABC和11CBC沿着1BC翻折到同一平面上，如图所示，所以1111APPCAC由余弦定理计算得2211111122cos135622 6282 62ACACCCAC CC，所以11APPC的最小值为82 6（12 分）21（12 分）21-1【选考空间向量与立体几何】#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 7页（共 9页）【答案】（1）23132 61(2(2)23432ABCDEA BCDE BCDVVV（5 分）（2）如图所示，以 E 为坐标原点，EC

21、,ED,EB 为轴建立空间直角坐标系Exyz，则22(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,)22EBCF，22(2,0,2),(2,)22BCBFuuu ruuu r，（7 分）设平面 EBC 的法向量为1nur，易得1(0,1,0)n ur，设平面 BCF 的法向量为2(,)nx y zuu r，因为2200BC nBF nuuu r uu ruuu r uu r，得220222022xzxyz，取1x，可得2(1,1,1)n uu r（9 分）设二面角EBCF的平面角大小为，则121213cos33|nnnn ur uu ruruu r由图易知，二面角EBCF为钝角，故二面

22、角EBCF的余弦值为33.（12 分）另解：不建立坐标系，直接作出棱 BC 的中点 M，则二面角EBCF的平面角为EMA.21-2【选考直线和圆的方程】【答案】（1）22:4O xye；（5 分）（2）如图所示，切线长PAPB，根据圆的性质可知2PM PNPA，QM QNQA QB，在等腰三角形 PAB 中，设112200(,),(,),(,)A x yB xyQ xy，因为1PAOAkk，所以11PAxky，即直线 PA 的方程为1111()xyyxxy，即114x xy y，同理可得直线 PB 的方程为224x xy y，又因为点 P 在直线 PA 上，同时也在直线 PB 上，所以1122

23、4444xyxy，即1122(,),(,)A x yB xy满足方程44xy，即直线 AB 方程为44xy，（7 分）点 Q 在线段 AB 上，所以0044xy.设线段 AB 的中点为 D，则在等腰三角形 PAB 中，2222()()QA QBADQD BDQDADQDPAPQ，（9 分）原式22222200()(4)(1)PM PNQM QNPAPAPQPQxy（10 分）22222000000(4)(441)(4)(34)173225xxxxxx222200023216161616917()2517()1717171717xxx#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkB

24、ECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 8页（共 9页）当01617x 时，原式最小值为16917.（12 分）另解：原式最小值即为2PQ的最小值，即为点 P 到直线 AB 距离的平方.另解：16132 441717Q QAQBAB252()217QAQBQA QB，当且仅当QAQB时取等.5216913131717PM PNQM QNQA QB.（12 分）22（12 分）【答案】（1）由g()lnxx得2ln()(ln)(1ln)(ln)ln(1)lnyexxmx mxxmxm（2 分）令lntx，则Rt，2221(1)(1)()24mmytmtmt开口向上，对称轴为

25、12mt 的抛物线，显然函数y的最小值为2(1)4m.（4 分）（2）由()exf xx，g()lnxx得()()ln(lnln)xyx f xg xaax exxaa（法一）令(lnln)0 xyx exxaa即(lnln)xx exxaa即lnlnxaexxax，则lnxaaexxx（8 分）则函数y的零点问题转化为方程lnxaaexxx根的问题构造函数(x)xFex，则讨论方程()(ln)aF xFx根的个数易知(x)F当1x 时单调递增，故问题可转化为方程lnaxx根的问题可转化为lnlnxxa根的问题（10 分）令()lnh xxx，1x，容易知道函数()lnh xxx单调递增，故(

26、)1,)h x，则当ae时，方程lnlnxxa只有一根，当0ae时，方程lnlnxxa没有根，即当ae时，函数y有且只有一个零点，当0ae时，函数y没有零点.（12 分）#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#理科数学答案第 9页（共 9页）（法二）令(lnln)0 xyx exxaa当01a时，lnlnxa，(lnln)1xx exxa，无解；当1ae时，1ln eaa，且()()ln yx f xg xa单增，无解；当ae时，1ln eaa，一解，即一个零点；当ae时，1ln eae，且单增，由零点存在性定理可知，存在0(1,)x，使得0()g xa；综上得，当ae时，函数y有且只有一个零点，当0ae时，函数y没有零点.（12 分）#QQABYQSQggggAAJAAQhCEwUCCkMQkBECCAoOBBAIsAAAQRFABAA=#