江苏太湖高级中学2023年高二上学期10月月考数学试题含答案.pdf

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1、江苏省太湖高级中学 2023 2024 学年度第一次阶段性考试（新高考 I 卷地区）高二数学2023.10.12一.单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分1.直线 l1经过 A(0,0),B(3,1)两点,直线 l2的倾斜角是直线 l1的倾斜角的 2 倍,则 l2的斜率为()A.33B.233C.1D.32.已知空间向量 a a a=(2,2,1),b b b=(3,0,4),则向量 b b b 在向量 a a a 上的投影向量是()A.109b b bB.25b b bC.109a a aD.25a a a3.已知平面的一个法向量为#n=(1,2,1),A(1,0,1)

2、,B(0,1,1),且 A/,B,则点 A 到平面的距离为()A.13B.66C.33D.14.如图,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,#MG=2#GN,现用基向量#OA,#OB,#OC 表示向量#OG,设#OG=x#OA+y#OB+z#OC,则 x,y,z 的值分别是()A.x=16,y=13,z=13B.x=13,y=13,z=16C.x=13,y=13,z=13D.x=13,y=16,z=13ABCGMNOABCDEFGA1B1C1D1ABCDABCDPABCDA1B1C1D1EFMN第4题图第8题图第11

3、题图第12题图5.设 i i i,j j j,k k k 是单位正交基底,已知 a a a=i i i+j j j,b b b=j j j+k k k,c c c=k k k+i i i,若向量 p p p 在基底 a a a,b b b,c c c 下的坐标为(8,6,4),则向量 p p p 在基底 i i i,j j j,k k k 下的坐标是()A.(10,12,14)B.(12,14,10)C.(14,12,10)D.(4,3,2)6.设 A(2,3),B(1,2),若直线 axy1=0 与线段 AB 相交,则 a 的取值范围是()A.2,3B.(2,3)C.(,2)(3,+)D.(

4、,23,+)7.设定点 A(2,1),B 是 x 轴上的动点,C 是直线 y=x+1 上的动点,则 ABC 周长的最小值是()A.5B.25C.35D.108.如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 1,点 H 在棱 AA1上,且 HA1=13,在侧面 BCC1B1内作边长为13的正方形 EFGC1,P 是侧面 BCC1B1内一动点,且点 P 到平面 CDD1C1距离等于线段 PF 的长,则当点 P 运动时,HP 的最小值是()A.334B.134C.233D.133二.多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分9.已知直线 l1:x+my1=0,l2:(m2)x

5、+3y+3=0,则下列说法正确的是()A.若 l1l2,则 m=1 或 m=3B.若 l1 l2,则 m=12C.若 m=1,两条直线的交点为32,12D.若直线 l2不过第二象限时,有 m 210.若直线 l 经过点(3,4),点 A(2,2),B(4,2)到直线 l 的距离相等,则直线 l 的方程可能为()A.2x+3y18=0B.2x3y+6=0C.x+2y+2=0D.2xy2=0S 数学 I 试卷第 1 页(共 4 页)#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRFABAA=#11.在长方体 ABCDABCD中,AB=2,AD=3,AA

6、=1,以 D 为原点,以#DA,#DC,#DD分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是()A.BD ACB.平面 ACD 的一个法向量为(2,3,6)C.异面直线 AD 与 BD所成角的余弦值为23535D.平面 CAD 与平面 ADD夹角的余弦值为3712.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA1,CC1的中点,过直线 EF 的平面分别与棱BB1,DD1交于 M,N.设 BM=x,x 0,1,以下正确的是()A.平面 MENF 平面 BDD1B1B.当且仅当 x=12时,四边形 MENF 的面积最小C.四边形 MENF 的

7、周长 L=f(x),x 0,1 是单调函数D.四棱雉 C1MENF 的体积 V 保持不变三.填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分13.如果 A(1,2),B(3,a),C(7,a+2)三点共线,则 a 的值为.14.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为22,则AC1与侧面ABB1A1所成的角的大小为.15.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)(m R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围为.16.正四面体 ABCD 的棱长为 12,点 P 是该正四面体内切球球面上的动点,当#PA#PD 取得最小值时,点 P 到 AD 的距离为.四.多项选择题:本大

8、题共 6 小题，共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知空间中三点 A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设 a a a=#AB,b b b=#AC.(1)若|c c c|=3,且 c c c#BC,求向量 c c c 的坐标(2)若点 P(1,1,m)在平面 ABC 内,求 m 的值.18.如图,在四棱雉 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,BCAD,AB BC,ADC=45,PA 平面 ABCD,AB=AP=1,AD=3.(1)求点 D 到平面 PBC 的距离.(2)求平面 PBC 与平面 PCD 夹角的余弦值.ABCDPS 数学 I 试卷第

9、 2 页(共 4 页)#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRFABAA=#19.若直线 l 经过两直线 l1:3x+4y2=0 和 l2:2x+y+2=0 的交点.(1)若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的 2 倍,求直线 l 的方程(2)若点 A(3,1)到直线 l 的距离为 5,求直线 l 的方程.20.如图,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1,且它们彼此的夹角都是 60,M为 A1C1与 B1D1的交点.若#AB=a a a,#AD=b b b,#AA1=c c c,(1)用

10、 a a a,b b b,c c c 表示#BM(2)求 cos#AC,#AC(3)求此平行六面体的体积.ABCDA1B1C1D1S 数学 I 试卷第 3 页(共 4 页)#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRFABAA=#21.如图,平面直角坐标系内,O 为坐标原点,点 A 在 x 轴正半轴上,点 B 在第一象限内,AOB=60.(1)若|AB|=3,求 OAB 的面积的最大值和取得 OAB 面积最大值时的直线 AB 的方程(2)设|OA|=a,|OB|=b,若1a+1b=3,求证:直线 AB 过一定点,并求出此定点的坐标.60ABxy

11、O22.如图,在四棱椎 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA 平面 ABCD,点 M,N 分别为 BC,PA 的中点,且AB=AC=1,AD=2.(1)若 PA=1,求直线 MN 与平面 PBC 所成角的余弦值(2)若直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值的取值范围为0,23,求平面 PBC 与平面 ABCD 的夹角的余弦值的取值范围.ABCDPMNS 数学 I 试卷第 4 页(共 4 页)#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRFABAA=#2023-2024学年高二上学期第一次学情调研数学2023.10一、单选题(本大

12、题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.直线 l1经过 A(0,0)，B(3,1)两点，直线 l2的倾斜角是直线 l1的倾斜角的 2 倍，则 l2的斜率为()A.33B.2 33C.1D.3答案：D2.已知空间向量a=(2,-2,1)，b=(3,0,4)，则向量b在向量a上的投影向量是()A.109bB.25bC.109aD.25a答案：C3.已知平面的一个法向量为n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1)，且 A,B，则点 A到平面的距离为()A.13B.66C.33D.1答案：B4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,A

13、C，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，MG=2GN，现用基向量OA,OB,OC 表示向量OG，设OG=xOA+yOB+zOC，则 x,y,z的值分别是()A.x=16，y=13，z=13B.x=13，y=13，z=16C.x=13，y=13，z=13D.x=13，y=16，z=13答案：A5.设 i,j,k 是单位正交基底，已知a=i+j，b=j+k，c=k+i，若向量p在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4)，则向量p在基底 i,j,k 下的坐标是()A.(10,12,14)B.(12,14,10)C.(14,12,10)D.(4,3,2)答案：B6.设 A-2,3,B 1

14、,2，若直线ax-y-1=0与线段 AB相交，则a的取值范围是()A.-2,3B.-2,3C.-,-2 3,+D.-,-2 3,+答案D7.设定点A(2,1)，B是x轴上的动点，C是直线y=x+1上的动点，则ABC周长的最小值是()A.5B.2 5C.3 5D.10高二数学 第1页(共8页)#QQABaQaUogCoABBAAQhCAwEwCEAQkAECCCoOBBAMsAAAARFABAA=#QQABYQY14gg4gAQACI5qB0UkCUoQkIMDJKoOwRCMqARIQAFIFIA=#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRF

15、ABAA=#答案：B解：作点 A(2,1)关于 y=x+1的对称点 A(0,3)，关于x轴的对称点 A(2,-1)，连接 AA，交直线 y=x于点C，交x轴于点B，则 AC=AC，AB=AB，ABC周长的最小值为|AA|=2 58.如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点 H在棱 AA1上，且 HA1=13，在侧面 BCC1B1内作边长为13的正方形 EFGC1，P 是侧面 BCC1B1内一动点，且点 P 到平面 CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是()A.3 34B.134C.2 33D.133答案：D解：根据题意,以D为原点建立空间直角坐标系如图

16、所示，则F13,1,23,H 1,0,23设P x,1,z,0 x1,0z1点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长x=x-132+z-232，化简得6x-19=z-232,则6x-10解不等式可得 x16综上可得16x1HP=1-x2+1+z-232=x-232+139所以当x=23时，HP取最小值是133,故选:D二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9.已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0，则下列说法正确的是()A.若l1l2，则m=-1或m=3B.若l1l2，

17、则m=12C.若m=1,两条直线的交点为(32,-12)D.若直线l2不过第二象限时，有m0由 AB=3，得(m-n)2+3n2=9，即m2+4n2-2mn=9 9=m2+4n2-2mn 2 4m2n2-2mn=2mn,mn 92，当且仅当m=3，n=32时取等号所以OAB的面积S=12m3n=32mn9 34，当 OAB 的面积取最大值时，直线 AB 的方程为：y=-3 x-3，即 y=-3x+3 3方法二：设OA,OB的长度分为a,b,用余弦定理和基本不等式解决。(2)A(a,0)，B(b2,3b2)若直线 AB的斜率不存在，有a=b2,又1a+1b=3,直线方程为x=32;若直线 AB

18、的斜率存在，则直线 AB 的方程 y=3b2b2-a(x-a),化简得3b2x+(a-b2)y=3ab2,两边同除ab,32ax+(1b-12a)y=32,又1b=3-1a,高二数学 第6页(共8页)#QQABaQaUogCoABBAAQhCAwEwCEAQkAECCCoOBBAMsAAAARFABAA=#QQABYQY14gg4gAQACI5qB0UkCUoQkIMDJKoOwRCMqARIQAFIFIA=#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRFABAA=#所以32ax+(3-1a-12a)y=32,整理得12a(x-3y)+(y-12

19、)=0,得过定点32,12所以直线 AB恒过定点32,1222.如图，在四棱椎 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA 平面 ABCD，点 M,N 分别为BC,PA的中点，且 AB=AC=1,AD=2(1)若PA=1，求直线MN与平面PBC所成角的余弦值；(2)若直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值的取值范围为 0,23，求平面 PBC 与平面 ABCD的夹角的余弦值的取值范围【答案】解：(1)因为 AB=AC=1,AD=2，底面 ABCD为平行四边形，故 AD=BC=2，则 AB2+AC2=BC2，即 AB AC，又因为PA平面 ABCD，而 AB，AC平面 ABCD，所

20、以PA AB,PA AC，故建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则P(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),M12,12,0,N 0,0,12，故 PB=(1,0,-1),BC=(-1,1,0),MN=-12,-12,12，设平面PBC的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则PBn=0BC n=0，即x1-z1=0-x1+y1=0,令 x1=1，则 y1=1,z1=1，故n=(1,1,1)，设直线 MN 与平面 PBC 所成角为，则 sin=cos=MN nMN n=-12323=13，又sin2+2cos=1,0,2,cos=1-sin2=2 23所以直线MN与平面PBC所

21、成角的余弦值为2 23(2)设PA=h h0，结合(1)所建立的空间直角坐标系，则P 0,0,h,B 1,0,0,C 0,1,0，故 PB=(1,0,-h),BC=(-1,1,0)，设平面PBC的一个法向量为m=x2,y2,z2，则PBm=0BC m=0，即x2-z2h=0-x2+y2=0,令x2=h，则 y2=h,z2=1，故m=(h,h,1)，易得平面 ABCD的一个法向量为n0=(0,0,1)，又 AC=(0,1,0)，设直线 AC与平面PBC所成角为，则sin=|cos AC,m|=h2h2+1 0,23,解得0h225，高二数学 第7页(共8页)#QQABaQaUogCoABBAAQ

22、hCAwEwCEAQkAECCCoOBBAMsAAAARFABAA=#QQABYQY14gg4gAQACI5qB0UkCUoQkIMDJKoOwRCMqARIQAFIFIA=#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRFABAA=#设平面PBC与平面 ABCD的夹角为，则cos=cos=n0 nn0 n=12h2+1，因为0h225，所以12h2+195，则12h2+1 3 55故5312h2+11，即53cos1所以平面PBC与平面 ABCD的夹角的余弦值的取值范围为53,1 高二数学 第8页(共8页)#QQABaQaUogCoABBAAQhCAwEwCEAQkAECCCoOBBAMsAAAARFABAA=#QQABYQY14gg4gAQACI5qB0UkCUoQkIMDJKoOwRCMqARIQAFIFIA=#QQABYQaQggiIAAAAAAgCAwVACEAQkAGCAKoORAAAoAAAwRFABAA=#