江西省宜春市宜丰中学创新部2024届高三上学期10月月考 数学含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司12023-2024（上）创新部高三第一次月考数学试卷（上）创新部高三第一次月考数学试卷一、单选题（一、单选题（40 分）分）1集合2|60Ax xx，集合2|lo1gBxx，则AB（）A2,3B,3C2,2D0,22已知 a 为实数，若复数211 izaa为纯虚数，则2024i1ia 的值为（）A1B0C1 iD1 i3数列 na满足112,02121,12nnnnnaaaaa，若125a，则2023a等于（）A15B25C35D454若六位老师前去某三位学生（同学 1，同学 2，同学 3）家中家访，每一位学生至少有一位老师家访，每一位老师都要前去家访且仅能家访一位

2、同学，由于就近考虑，老师甲不去家访同学 1，则有（）种安排方法A335B100C360D3405函数2()cosln(1)f xxxx 的图象大致为（）A BC D6已知函数211()sinsin(0)222xf xx，xR.若()f x在区间(,2)内没有零点，则的取值范围是（）A10,8B150,148C50,8D11 50,84 87已知,A B是圆22():21Mxy上不同的两个动点，|2,ABO为坐标原点，则|OAOB 的取值范围是（）A22,42B32,42C42,42D22,228已知双曲线2222:10,0 xyWabab的右焦点F，过原点的直线l与双曲线W的左、右两支分别交于

3、A、B两点，以AB为直径的圆过点F，延长BF交右支于C点，若2CFFB，则双曲线W的渐近线方程是（）A2 23yx B3 24yx C2 2yx D3yx 二、多选题二、多选题(20 分分)9下列命题为真命题的是（）A若ab，且11ab，则0ab B若0ab，则22aabbC若0cab，则abcacbD若0abc，则aacbbc10已知函数 f x的定义域为R，函数 f x的图象关于点1,0对称，且满足31f xfx，则下列结论正确的是（）A函数1f x是奇函数B函数 f x的图象关于y轴对称C函数 f x是最小正周期为 2 的周期函数D若函数 g x满足 32g xf x，则 2024140

4、48kg k11如图，直角梯形ABCD中，/AB CD，ABBC，122BCCDAB，E为AB中点，以DE为折痕把ADEV折起，使点A到达点P的位置，且2 3PC.则下列说法正确的有（）ACD 平面EDPB四棱锥PEBCD外接球的体积为4 3C二面角PCDB的大小为4DPC与平面EDP所成角的正切值为212 已知直线ya与曲线exxy 相交于A，B两点，与曲线ln xyx相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为1x，2x，3x.则（）A22exxaB21lnxxC23exx D1322xxx三、填空题三、填空题(20 分分)1352()xx的展开式中含x项的系数为 .14如图 1 是某校园内

5、的一座凉亭，已知该凉亭的正四棱台部分的直观图如图 2 所示，则该正四棱台部分的体积为 3m.15 已知函数 2sinxf xaxxx（0a，且1a），曲线 yf x在点 0,0f处的切线与直线2290 xy平行，则a .16双曲线2222:1,0 xyCa bab的左焦点为 F，直线FD与双曲线 C 的右支交于点 D，A，B 为线段FD的两个三等分点，且22OAOBa（O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为 .学科网（北京）股份有限公司2四、解答题（四、解答题（70 分）分）17在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinsin03bCcB.(1)求角C的值；(2)若AB

6、C的面积为10 3，D为AC的中点，求BD的最小值.18已知数列 na中，10a，12nnaan nN.（1）令11nnnbaa，求证：数列 nb是等比数列；（2）令3nnnac，当nc取得最大值时，求n的值19某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题现有A、B、C三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束每人两次回答问题的过程相互独立三人回答问题也相互独立甲类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中每个问题回答正确得80分，否则得0分已知A员工能正确回答

7、甲类问题的概率为0.5，能正确回答乙类问题的概率为0.6；B员工能正确回答甲类问题的概率为0.6，能正确回答乙类问题的概率为0.5；C员工能正确回答甲类问题的概率为0.4，能正确回答乙类问题的概率为0.75(1)求3人得分之和为20分的概率；(2)设随机变量X为3人中得分为100的人数，求随机变量X的数学期望20已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB(1)证明：BFDE；(2)当1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最大？21已知函数()cos().xf xaexx

8、 aR（1）若1a，证明：()0f x；（2）若()f x在(0,)上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.22已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，左、右顶点分别为 A，B，点 P，Q 为椭圆上异于 A，B 的两个动点，PAB面积的最大值为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为1k，2k，APQ和BPQV的面积分别为1S，2S.若123kk，求12SS的最大值.学科网（北京）股份有限公司3创新部高三第一次月考数学创新部高三第一次月考数学参考答案：参考答案：1A 2B 3C 4C 5B 6D【详解】由题设有1 cos112()sinsin22224f

9、 xxxx，令 0f x，则有,4xkkZ即+4,kxkZ.因为()f x在区间(,2)内没有零点，故存在整数k，使得5+442kk，即14528kk，因为0，所以1k 且15428kk，故1k 或0k，所以108或1548，7C【详解】22(2)1,xy 圆M的圆心坐标(2,0)M，半径1R，设圆心到直线l的距离为d，由圆的弦长公式，可得2|2 1ABd，即22 12d，解得22d，设AB的中点为2,|2NMN，点N的轨迹表示以(2,0)M为圆心，以22为半径的圆，N的轨迹方程为22(2)12xy，因为|2|2|OAOBONON ，又|2OM，2222OMONOM，即222222ON,即|O

10、AOB 的取值范围为 42,42.8A【详解】如下图所示，设双曲线W的左焦点为点F，连接CF、AF，设BFm，则2CFm，由双曲线的定义可得2BFam，22CFam，由于以AB为直径的圆经过点F，且OAOB、OFOF，则四边形AFBF为矩形，在RtBCF中，有勾股定理得222CFBCBF，即2222292ammam，解得23ma，23aBF，83aBF，由勾股定理得222BFBFFF，即226849ac，22179ca，所以，2222222819bcacaaa，则2 23ba.因此，双曲线W的渐近线方程是2 23yx.9AD 10ABD11ABC【详解】对于 A，E为AB中点，BECD，/BE

11、 CD，四边形EBCD为平行四边形，又ABBC，四边形EBCD为矩形，CDDE；22222 2PDAD，2CD，2 3PC，222PDCDPC，CDPD，又PDDEDI，,PD DE 平面EDP，CD平面EDP，A 正确；对于 B，/BC DE，ABBC，AEDE，即PEDE，CD 平面EDP，PE 平面EDP，CDPE，又CDDED，,CD DE 平面EBCD，PE平面EBCD；矩形EBCD的外接圆半径2212222r，四棱锥PEBCD的外接球半径2212 132RrPE，四棱锥PEBCD外接球的体积344 33VR，B 正确；对于 C，CD 平面EDP，PD 平面EDP，PDCD；又DEC

12、D，二面角PCDB的平面角为PDE，PEDE，2PEDE，4PDE，二面角PCDB的大小为4，C正确；对于D，CD 平面EDP，CPD即为直线PC与平面EDP所成角，CDPD，2 2PD，2CD，22tan22 2CDCPDPD，即直线直线PC与平面EDP所成角的正切值为22，D 错误.12ACD【详解】设 exxf x，得 1exxfx，令 0fx，可得1x，当1x 时，()0fx，则函数 f x单调递增，当1x 时，0fx，则函数 f x单调递减，则当1x 时，f x有极大值，即最大值 max11ef xf.设 ln xg xx，得 21 ln xgxx，令 0gx，则ex，当ex 时，0

13、gx，则函数 g x单调递增，当ex时，0gx，则函数 g x单调递减，则当ex时，g x有极大值，即最大值 max1eeg xf，从而可得12301exxx.由22exxa，得22exxa，故 A正确；由1122lnexxxx，得1212lnlneexxxx，即 12lnf xfx，又1201exx，得20ln1x，又 f x在0,1上单调递增，则12lnxx，故 B 错误；由2323lnexxxx，得2233lnlneexxxx，即23exgg x.又231exx，得2eex，又 g x在e,上单调递减，则23exx，故 C 正确；由前面知12lnxx，23exx，得2132elnxx x

14、x，又由2222lnexxxax，得22exxa，22ln xax，则2132x xx，1313222xxx xx.故 D 正确.1340 1431 212 15e 16102【详解】由题意得,0Fc，取AB中点M，连接OM，设双曲线 C 的右焦点为1F，连接1DF，因为22OAOBa，所以OMAB，又 A，B 为线段FD的两个三等分点，所以EMDM，即M为FD的中点，又O为1FF的中点，所以1/DFOM，故1FDFD，设12DFm，则OMm，又22OAOBa，由勾股定理得2212AMBMam，则221662DFAMam，由双曲线定义得12DFDFa，即2216222amma，在 Rt1DFF

15、中，由勾股定理得22211DFDFFF，即2222216442ammc，由得22132amam，两边平方得2274200aamm，解得2am 或710a（负值舍去），将2am 代入得2252ac，故离心率为102ca.学科网（北京）股份有限公司4 17【详解】（1）由sinsin03bCcB及正弦定理可得：13sinsincossinsin022BCCCB，则31sincossin022BCC，因为,0,B C，则sin0B，所以，3cossin0CC，可得tan3C，故3C.（2）由于ABC的面积为10 3，所以，113sin10 3222abCab，解得40.ab 在BCD中，由余弦定理得

16、：22222111cos220442222bbbBDaabCaabaabab，故2 5BD，当且仅当12ab，即2 5a，4 5b 时，BD的最小值为2 5.18【详解】（1）在数列 na中，10a，12nnaan，则21211aa，11nnnbaa，则12112baa，则 111112211212nnnnnnnnbaaananaab ，所以，数列 nb为等比数列，且首项为2，所以，12 22nnnb；（2）由（1）可知，2nnb 即121nnnaa，可得2123211212121nnnaaaaaa，累加得12112 1 222211211 2nnnnaannn，21nnan.213nnnnc

17、，111112112233nnnnnnnc，1111222121 2333nnnnnnnnnnncc，令 21 2nf nn，则11232nf nn，所以，122nf nf n.1234ffff，1210ff，310f ，所以，当3n 时，0f n.所以，123ccc，345ccc.所以，数列 nc中，3c最大，故3n.19【详解】（1）解：设事件1A为A员工答对甲类问题；设事件2A为A员工答对乙类问题；设事件1B为B员工答对甲类问题；设事件2B为B员工答对乙类问题；设事件1C为C员工答对甲类问题；设事件2C为C员工答对乙类问题；三人得分之和为20分的情况有：A员工答对甲类题，答错乙类题；B与

18、C员工均答错甲类题，则 121112110.5 0.4 0.4 0.60.048P A AB CP A P AP B P C；B员工答对甲类题，答错乙类题；A与C员工均答错甲类题，121112110.6 0.5 0.5 0.60.09P B BA CP B P BP A P C；C员工答对甲类题，答错乙类题；A与B员工均答错甲类题，121112110.40.25 0.5 0.40.02P C CA BP CP CP A P B，所以三人得分之和为20分的概率为0.0480.090.020.158.（2）解：因为A员工得100分的概率为12120.5 0.60.3P A AP AP A，B 员工

19、得100分的概率为12120.6 0.50.3P B BP BP B，C员工得 100 分的概率为12120.4 0.750.3P C CP CP C，所以，随机变量3,0.3XB，所以，3 0.30.9E X .20【详解】（1）证明：连接AF，E，F分别为直三棱柱111ABCABC-的棱AC和1CC的中点，且2ABBC，1CF，5BF，11BFAB，11/ABAB，BFAB22222(5)3AFABBF，2222312 2ACAFCF，222ACABBC，即BABC，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(0,0,0)B

20、，(0,2,0)C，(1,1,0)E，(0,2,1)F，设1B Dm，且0,2m，则(,0,2)D m，(0,2,1)BF ，(1,1,2)DEm，0BF DE ，即BFDE（2）解：AB Q平面11BBC C，平面11BBC C的一个法向量为(1,0,0)p，由（1）知，(1,1,2)DEm，(1,1,1)EF ，设平面DEF的法向量为(,)nx y z，则00n DEn EF ，即(1)200m xyzxyz，令3x，则1ym，2zm，(3,1,2)nmm，2222333cos,|12719(1)(2)22142()22p np npnmmmmm ，又0,2m当2m 时，面11BBC C与

21、面DFE所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当12B D 时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最大21.【详解】(1)证明:1a 时,()cosxf xexx,令()xg xex,则()1xg xe,当0 x 时,()0g x,()g x在(,0)上为递减函数,当0 x 时,()0g x,()g x在(0,)上为增函数,所以()(0)1g xg,而cos1x,且(0)cos0g,所以cosxexx,即()0f x.(2)()f x在(0,)上有两个极值点等价于()fxsin10 xaex 在(0,)上有两个不同的实数根,()0fx等价于1 sinxxae,设1 sin()

22、,(0,)xxh xxe,2sin()1sincos14()xxxxxh xee,令()0h x,得2x,当02x时,()0h x,()h x在(0,)2上为减函数,当2x时,()0h x,()h x在(,)2上为增函数,又1(0)1,()0,()2hhhee,01e,所以当0ae时,方程1 sinxxae在(0,)上有两个不同的实数根,所以a的取值范围是0ae.22【详解】（1）当点 P 为椭圆 C 短轴顶点时，PAB的面积取最大值2ab，结合32ca及222abc，解得2,1ab，故椭圆 C 的标准方程为2214xy.（2）设点1122(,),(,)P x yQ xy，若直线 PQ 的斜率

23、为零，由对称性知12xx，12yy，则11111022yykxx，21221022yykxx，12kk，不合题意.设直线 PQ 的方程为xtyn，由于直线 PQ 不过椭圆 C 的左、右顶点，则2n 联立2244xtynxy 得222(4)240tytnyn，由0 可得224nt，12224tnyyt，212244ny yt，212124()2nty yyyn所以112121221221122(2)(2)(2)(2)2(2)(2)(2)(2)kyxy tynnnynykxyy tynnnyny232nn,解得1n 即直线 PQ 的方程为1xty，故直线 PQ 过定点(1,0)M .由韦达定理可得12224tyyt，12234y yt 由平面几何知识11212212121113|,|2222SAMyyyySBMyyyy，学科网（北京）股份有限公司5所以2212121212222434|()41433tSSyyyyy yttt，设1()f xxx，则22211()1xfxxx，当 3,)x时，()0fx，故()f x在 3,)单调增，因为23 3,)t，所以2min214(3)33tt，因此，12|SS的最大值为3.