2021-2022学年辽宁省鞍山三中、华育高级中学高一（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年辽宁省鞍山三中、华育高级中学高一（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.若si n（2兀 +a）=1,tana 0,则co sa =（）2.已知非零向量窗石满足|百|=2|坂|，且一方）J L&则五与石的夹角为（）A.B：C.v D.o 3 3 63.A a S G的内角4 B,C的对边分别为a,b,c.若AABC的面积为力W则C =（）4A-I B*C j Dj4.在直角梯形4 BC C中，AB=4,CD=2,AB/CD,D-葭力B _ L AD,E是BC的中点，则 而（而+荏）=（）X;A.8B.1 2C.1 6D.2 05.设(pe R,

2、则“f(x)=co s(x +R)(x 6 R)为 偶 函 数 是 0 =兀 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件如图，测量河对岸的塔高4 B时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得NBC O=1 5。，乙 CBD=3 0 ,CD=1 0 V 2 m,并在C处测得塔顶4的仰角为4 5。，则塔高AB=(A.3 0 V 2 mB.2 0 V 3 mC.3 0 mD.2 0 m7.将函数y =ta n（2 x+力的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，再向右平移全 所得的函数是y =f（x）,贝M ）A./(I)/(2)f (3

3、)B./(2)/(I)/(3)C./(2)/(3)/(l)D./(I)f (3)则X 1+次等于()A.|B.割 冷 C.y D.不确定二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)9.设平面向量五，K，3均为非零向量，则下列命题中正确的是()A.若方 石=五.高则石=cB.a-b =ab则为与方共线C.若|方+石|=|五一3 ,则为JLBD.已知行=(1,2),(1,1)且五与记+4B的夹角为锐角，则实数;I的取值范围是(-|1+)1 0.若复数4 =2+3i,z2=-l +i,其中i是虚数单位，则下列说法正确的是()A.f1 6 Rz2B.Z,z?Z,z?C.若Zi+m(m E R)是纯虚数，

4、那么m=-2D.若a E在 复 平 面内对应的向量分别为方(。为坐标原点)，则|说|=51 1.已知向量记=(sbix,-a)，n=(cosx,cos2x),函数f(x)=沆 元，下列说法正确的是()A.y=/(x)的最小正周期是27rB.y=/(x)的图象关于点色,0)对称C.y=f (x)图象关于直线x=卷对称D.丫 =/。)的 单 调 增 区 间 为 即-?/兀+颗 k&Z12.ABC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c则下列说法正确的是()A.若4=30,a=3,b=4,则4 4BC有两解B.若小加几8=b2ta n A,则4BC为直角三角形C.若A C 则si九4 sinBD.若4

5、=60。，a=2,则 48C面积的最大值为百第2页，共15页三、填空题(本大题共4 小题，共 20.()分)1 3 .已知向量云与方的夹角为。，|a|=1,a -(a +K)=2 则|方|=.1 4.化简s讥5 0。(1 +百士加1 0。)的 结 果 是.1 5 .函数/(x)=Asi n(3 x +w),(A,3,9是常数，X 0,3 0)的部分图象如图所示,则-0)=.1 6 .已知函数/(无)=co s(3 X +(3 0)在 0,2兀 上有且仅有2个零点，则3的取值范围为.四、解 答 题(本大题共6 小题，共 70.0分)17 已知=sinZ(n-acos(2ir-atan(F+(r)

6、,J J sin(-7r+a)tan(-a+37r)*(1)化简汽a);(2)若f(a)=,且.a/5sinx,cos?%),b=(cosx,6),设函数f(x)=益(1)求函数/(x)的最大值；(2)在锐角 ABC中，三个角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(B)=0,b=夕，3sinA-2sinC=0,求4BC的面积.21.已知函数/(X)=sin?；-b sin；cos：+1.(I)求函数y=/(x)的单调递减区间；(11)在4 ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2-b2=accosB-|bc,求f(B)的取值范围.已知函数/(x)=2cos2a)x 1+2y

7、/3cosaxsinax(0 co 1)，直线x=g是/(尤)图象的一条对称轴.(1)试求3的值：(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移半个单位长度得到，若g(2a+?)=”e(0,；),求sina的值.第 4 页，共 15页答案和解析1.【答案】A【解析】解：由于：sin(2?r+a)=1,则：sina=p由于：tana 进一步得到|a|K|cos fe2=0 然后求出夹角即可.【解答】解：v(a K)1 K.(a-b)-b=a-b-b2=|a|/?|cos b=0,-M、讨 i.c o s=品=3，vG O,TT,.=g,故 选

8、B.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查学生运算能力，是基础题.由 SAABC=absinC=”一，.,得 s i n C=一，=C 0 Sc,由此能求出结果.a”。2 4 2ab【解答】A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC 的面积为止竺士,4c1 ,.a2+b2-c2 S 4ABe=J Q b s i n C=.a2+b2-c2 sine=-；=cosC，2abV 0 C 7 T ,*C=7 .4故 选c.4 .【答案】D【解析】解：建立坐标系如图：则4(0,0),0(0,2),C(2,2),E(3,l)；所以前+荏=(5

9、,3)，AB=(4,0).贝 顺 函+殖=2 0.故选：D.通过建立平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积即可.本题考查向量的数量积的运算，转化为坐标运算简化解题过程，是基本知识的考查.5 .【答案】B【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.结合三角函数的性质，分别讨论充分性和必要性即可.【解答】第6页，共15页解：设 9 6 R，则”/(x)=cos(x+(p)(x G /?)为 偶 函 数 =中=kn,k Z“p=it =f(x)=cos(x+p)(x G R)为偶函数”，:.“/(%)=cos(x+(p)

10、(x 6 R)为 偶 函 数 是 9=7 T 的必要不充分条件.故选：B.6 .【答案】D【解析】解：在 B C D 中，4BCD=1 5 ,ACBD=3 0 ,CD=1 0 V 2 m,由正弦定理 8=g _,可得把N=-空-,sinz.CBD sinCDB sin300 sin(180-15-30)可得C B =2 0 V 2 x =2 0-2在RtMBC中，ACB=4 5 ,所以塔高4 B =BC=20m.故选：D.由已知在A B C。中，利用正弦定理可求C B 的值，在R t/i/W C 中，由Z 4 C B =4 5。，可求塔高力B =B C 的值.本题主要考查了正弦定理在解三角形中

11、的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.7 .【答案】C【解析】解：函数y =t a n(2 x+5的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，得到y =t a n(x+，然后向右平移2，得到y =/(x)=tanx,函数y =/(x)=t a nx在G，/r)上单调递增，由 2 3 7 T,则t a n2 t a n3 tann=0,即f(2)/(3)0,所以f(2)f(3)/(I).故选：C.利用三角函数的伸缩平移变换求出y =/(x)=tanx,然后再利用正切函数的单调性即可比较出大小.本题考查了三角函数的平移伸缩变换、正切函数的单调性比较大小，属于基础题.8 .【答案】B【

12、解析】解：X e 0,2 7 F ,.X+=G py .设t =X+5则函数等价为y =S讥t,t py ,要使关于x的方程/(x)=m有两个不相等的实数根,则等价为s int =m,有两个不相等的实数根，则当一 1 m :a +/l b =(l +4,2+A)五与五+4方 的夹角为锐角，二五(方+，3)=3 4+5 0，且2力0，故。错误.故选：BC.举反例，判断4由数量积定义判断B；两边平方化简，判断C；Z与五+4石的夹角为锐角，则方位+4为=3/1 +5 0，且五与方+不共线，判断。.本题考查命题真假的判断，考查向量的运算法则、向量数量积定义、向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算

13、求解能力，是基础题.第8页，共1 5页1 0 .【答案】BC【解析】解：对于选项4包=笔=(2+3,T-i)=|i,即令为虚数，即选项4错误；Z?-1 +2 Z 2 2 2 2对于选项 B Z 1 Z 2 =(2 +3 i)(1 +i)=-5 3 则z 2=-5+i，又兀金=(2-3 i)(1 i)=-5+i,即Z i Z 2=Z Z 2，即选项 B 正确；对于选项C,Z +m=2 +m+3 i是纯虚数，那么7 n +2 =0,即zn =2,即选项C正确；对于选项。，由题意有4(2,3),B(-l,1),则|荏|=J(-l _ 2)2 +(l _ 3)2 =g,即选项 错误，故选：BC.由复数

14、的运算，结合复数的几何意义求解即可.本题考查了复数的运算，重点考查了复数的几何意义，属基础题.1 1.【答案】BD【解析】解：由题意得/(x)=沆记=s i n x c o s x 4 c o s 2 x =g s i n 2 x 亨c o s 2 x =s i n(2 x -)二最小正周期T=TT,错误；又&)=s i n *)=0,y =f(x)的图象关于点弓0)对称，正确；又/邑)=s i n(-=s i n(-g)=-三丰1,y=/(x)图象不关于直线x =5对称，-C错误；令一 F+2 k 7 T W 2 x冶转+2 k;r(ke z),得时 一套 三 4 1兀+居，k eZ,；.y

15、 =/(%)的单调增区间为PO T A/OT+II,k ez,；.D正确.故选：BD.根据向量数量积的坐标运算，三角函数的性质即可求解.本题考查向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，属基础题.1 2.【答案】ACD【解析】解：A.A=3 0 ,a =3,b=4,-4s m 3 0 =2 3 B=ab,结合正弦定理S可得s讥因此正确；。.由余弦定理可得：2 2 =/?2 +-2bccos6 0 2bc be=be,当且仅当b =c时取等号，.A B C面积的最大值=x 4x s i n 6(r =V 5,因此正确.故选：ACD.A.利用4s i n 3 0。=2 3 a-(a+b)=2,所以弓2

16、+五.3=2，所以|五|E|c o s =1,B P I x|f t|c o s =1,解得1 3 1=2.故答案为：2.由数量积的运算及性质即可求解.本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于基础题.1 4.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式，二倍角公式在化简求值中的应用.属于基础题.利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对已知式子化简即可求解.【解答】解：m5 O,(l +t o n l O,)_ sin50o(cosl00+V3sinl0)coslO0第 10页，共 15页.&的 期 血(到+1丁)=coelO02co1

17、08jn40 _ 血 80 _ cos 100 _ 1一 coelO0-coe 10-coe 100 故答案为1.15.【答案】渔2【解析】解：由函数的图象可得4=近，=求得3 =2.4 12 3 4 to再根据五点法作图可得2 x g +0=7T,9 =以 故/Q)=V is in g+./(0)=V2sin-=，3 2故答案为：渔.2由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求出3,由五点法作图求出8 的值，可得函数的解析式，从而求得f(0)的值.本题主要考查由函数y=A sinx+卬)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求出3,由五点法作图求出9 的值，属于基础题.16.【

18、答案】级)3 O【解析】解：,/(%)=cos(3%+)3 0)在 0,2兀 上有且仅有2个零点，且 =0时，八 7 T 7 T-0+-=o o3冗,n 17r,5立解得|W 3，3 的取值范围为弓3).3 o故答案为：|,0.3 o依题意，可 得?3 32兀+自日，解之可得3 的范围，再结合3 是整数，可得答案.2 6 2本题考查了余弦函数的零点的判断与应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.17.【答案】解：(l)f(a)=s m a y r t a n：_ s i n a c o s a-卜讥2a.-sm a-(-tana)2(2)/(a)=sinacosa=g,(cosa s

19、ina)2=c o s 2a +s in 2a 2sinacosa=1 2 x =,T C ,T C .八4 2.cosa stna 0.V3:，cosa stna=-2【解析】(1)利用诱导公式即可得出.(2)/(a)=sinacosa=不平方(c o s a -sina)2=c o s 2a +s in 2a _ 2s in a c o s Q,代入化简，8根据f a 可得c o s a sina 2=B C2+C D2-2BC-CDcos4 BCD,则B。=+(2V 3)2-2 x 2V 3 x 2V 3 x6,因为B C =C。，所以Z C B。=/C D B =g,6第12页，共15

20、页因为“匹=岸 所以N B D E=,在Rt B D E 中，BE=yBD2+D E2=V 36+64=10.若选 c o s/D B E =I，在4 B O E 中，BD=6,DE=8,由余弦定理可得D E?=B D2+BE2-2BD-BEcos乙 DBE,则82=62+B E?-2 X 6 X B E x I，B P 5S F2-36 BE-140=0,解得B E =10或B E =芳(舍去).综上所述：若选或，服务通道B E 的长度为10.(2)在A B A E 中，Z.BAE=y,BE=10,由余弦定理得=A B2+AE2-2AB-AEcosBAE,B P 100=A B2+AE2+A

21、 B -AE,故(48+AE)2-100=A B-A E 从 而 沁 B +4E)2 I。，即4B +4 E4 型 l 当 且 仅 当=4 E时等号成立，3故设计4B =AE,才能使折线段赛道B A E最长.【解析】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，由基本不等式求最值，属于中档题.(1)若选“DE=,在 BCD中由余弦定理求出B D 的长度，由题意得NB D E=5,在R t Z iBDE中利用勾股定理求出B E 的长度；若选COSNOBE=|,在ABDE中利用余弦定理求出B E 的长度；综合两种情况，即可得到结论.(2)在4 B 4 E 中利用余弦定理得(A B+AE)2-1 0

22、0=AB-A E,由基本不等式求4B+AE的最大值，由此可得设计力B=4 E 才能使折线段赛道B4E最长.2 0.答案】解：(1)/(x)=五 b=-2y/3sinxcosx+6 cos2x=/3 s in 2 x +3(c os 2 x +1)2 V3 s in(2 x )+3,当s in(2 x-9=l时，/(x)取得最大值，为2 我+3.(2)5 4 也为锐角三角形，0 8 /；.*28*；.2 B-冷，即B=%由正弦定理和3 s in/2sinC=0,知3 a =2 c,由余弦定理知，COSB=M+cZ-M=即 巴 河 二=工,2 此 2 3 a 2 2二 Q=2,c 3，A B C

23、的面积S =-ac-sinB=-x 2 x 3 x =2 2 2 2【解析】(1)结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得/。)=-2 V3 s in(2 x-1)+3,从而知f(x)的最大值；(2)由锐角 A BC,推 出 冶 2B*2 2 2 6 2令-W+2/CT T%+7 7+2knf 则一生+2kn x -+2kn,k G Z,2 6 2 3 3所以，单调减区间是 半+2/c 7T,；+2/c z r ,/c E Z.(n)f(B)=-s in(B+|,由02 b2=ac 4 c得：62 4-c2 a2=be,2ac 2由余弦定理可得c os/=标+f-小=士 于是三角

24、形的内角4=g2bc 2 3在 A BC中，得0 B(手于是6 6 6则;s in(B+g)1,2 6所以 w/(B)1,则/(B)的取值范围是己,1).第 14页，共 15页【解析】(I)由二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简久)，再由正弦函数的单调性可得所求区间；(口)由三角形的余弦定理求得4,可得B的范围，再由正弦函数的图象和性质，可得所求取值范围.本题考查三角形的余弦定理和三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题.22.【答案】解：(1)丫函数f(x)=2cos2&)x 1+2V5cos3xsin3x(0 3 1),f(x)=cos(2cox)+V3sin(2a)x)

25、=2sin(2o;x+g).6直线x=g是/(x)图象的一条对称轴，故2sin(23q+9 =2,即sin(23+=1,3 o o 3 o故有2a),J+B=2/czr+g,fc e z,故3=3%+工，k E z.3 6 2 2再由0 V 3 V 1,可得一，fc I，,&)=.(2)由(1)知,f(x)=2sin(2a)x+可得g(%)=2s讥(x+学)+g=2cos.由g(2a+g)E(0,今，可得2cos“2a+勺=J 故COS(Q+)=：.o b c Z o o o b故 sina=sin(a+-)-=sin(a+-)cos-cos(a+-)sin-=-x -x-=4x-3.6 6 6 6 6 6 5 2 5 2 10【解析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数/(x)的解析式为2sm(23X+，根据直线x=2是f(x)图象的一条对称轴，故2sin(234+=2,故有2 a 4+g=JOT+三，3o b d o Zk e Z,再由0 3 l,求出3的值.(2)由(1)知，/(%)=2sin(2a)x+),可得g(x)=2cosmx.由g(2a+g)=l,a G()，可得cos(a+)的值，再由si7ia=sin(a+9-勺，利用两角和的正弦公式求得结果.O O O本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=加)3%+。)的图象变换，两角和的正弦公式，属于中档题.