2021届人教a版（文科数学） 空间向量与 立体几何 单元测试.pdf

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1、2021届人教A 版（文科数学）空间向量与立体几何单元测试 1、已知。=(2,-3,1),则下列向量中与a平 行 的 是()A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)2、直三棱柱A B C 4 B|G 中，若 场=久 函=上 工 =c,则“=()A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c3、若白，就 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A.a,2b,3 c B.a+b,b+c,c+aC.a+b+c,b+c,c D.a+2b,2b+3c,3a 9 c4、已知点A 点,-2,11）,B（4,2,3）,C（6,-1

2、,4）则三角形A B C 的形状是（）（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）斜三角形5、如图，正方形A C DE与等腰直角三角形A C B 所在的平面互相垂直，且 A C=B C =2,/A C B=9 0,F、G 分别是线段A E、B C 的中点，则A D与G F所成的角的余弦值为（）送 B-4 C*D 喙6 6 3 36、如 果 平 面 的 一 条 斜 线 和 它 在 这 个 平 面 上 的 射 影 的 方 向 向 量 分 别 是2=（1,01）,万=（0,1,1）那么这条斜线与平面所成的角是（）A、9 0 B、6 0 C、45 D、3087、若向量a=。，2，2）3=（2

3、,7,2）,且与后的夹角余弦为5,则N等 于（）A.2B.-22 _ 2 _C.一 2 或 55?D.2 或 558、已知平面a过点4(3,0,0),8(0,3,0),C(0,0,3),则原点。到平面a的距离为()A.3 B.6 C.也 D.2百9、已知 =(4+1,0,24),B =(6,2 1,2),反则尢的值分别为()A.一,-B.5,2 C.,D.-5,-25 2 5 210、已知向量。=(1，),则与 共线的单位向量3=()(一 也 一 也0)A.2 2)B.(，L)J 2 7 2C.(彳 亍。)D(1,1,1)11、下列命题中不正确的命题个数是().如果。，反守共面，瓦如也共面，则

4、 第 瓦 共 面;.已知直线a的方向向量G与平面a,若汗 a,则直线a a；若尸、M、A、8共面，则 存 在 唯 一 实 数 使 砺=为 的+)，砺，反之也成立；.对空间任意点0与不共线的三点A、B、C,若 加=x+y砺+z玩(其中x、y、z e R),贝l P、A、B、C四点共面A.3 B.2 C.1 D.012、已知A(l,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且A B =2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)13 已知 a=3 m 2n 4p,b =(x +l)m+8 n+2 y p,其中 b W O 且 m

5、,n,p 两两不共线，若2匕则实数x,y的值分 别 为.14、若3=(0,1,1)石=(1,1,0)且+忘)，3,则 实 数 几 的 值 是.15、已知 A (0,1,0),B (-1,0,-1),C(2,1,1),点 P (x,0,z),若 P A _ L平面 A B C,则点 P 的坐标为.1 6、已 知 向 量Q =(0,-1,1),f t =(4,1,0),|而+耳=而 且4 0 ,则A.17、如图，在长方体A B C D-A 1B 1C 1D1中,A B=3,A D=2,A A 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为小的所有

6、向量.(3)试写出与加相等的所有向量.-(4)试写出A A 1的相反向量.18、已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).(1)求以A B 和后为邻边的平行四边形的面积；若|a|=4,且 a 分别与京,A C 垂直,求向量a的坐标.19、如图，46(力是块矩形硬纸板，其中4斤2/庆2&,为火中点，将它沿4 折成直二面角D-AE-B.(I )求证：平面BDE；(I I)求二面角6-力。-的余弦值.20、如图，在三棱锥户一/a 中，ABVBC,AB=BC=kPA,点、0、分 别 是%的 中 点，底面力6 C.(I)求证：0平面为8；(I I)当左=工时，求直线均与平面

7、 府所成角的大小；2(I I I)当在取何值时，。在 平 面 胸 内 的 射 影 恰 好 为 的 重 心？2 1、如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为乙(1)求正方体各顶点的坐标;(2)求A 的长度.2 2、如图，四棱锥P-A B C。中，底面A BC D 为菱形，N B A。=6 0 ,Q 是 A D 的中点.(I )若PA=P D,求证：平面PQBJ _ 平面PA D；(1 1)若平面A PD,平面A BC D,且B4 =P D =A =2,点M在线段PC 上，试确定点M的位置，使二面角M -8 Q C的大小为6 0 ,并求出名的值.参考答案1、答案B利用向量共线定理即可得出.详解

8、解：若方=(-4,6,-2),则b =-2 (2,-3,1)=-2%所以a瓦故选：B.名师点评本题考查空间向量共线的充要条件，熟练掌握向量共线定理是解题的关键.2、答 案D要 表 示 向 量 福，只需要用给出的基底a b,C表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算.解答：解:4 月 _AjA+AB=OCj+CB CA=-a +b-c故 选D3、答 案D根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可。详解对于4:2,2瓦3 2,B:R+M b +/+2,C:怎+5 +2石+工,每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对

9、于0：a +2 3 2日+3 c,3 a-9 c满足：3 a-9c=3(+2b)-(2b+3 ,是共面向量，不能构成空间的一个基底，故 选D名师点评本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题。4、答案A5、答 案A6、答案B7、答 案C?1=(1 以 2)万二(2,7,2)8、答 案C9、答 案A由题意得，a/b,所以Z =即(/1+1,0,2/1)=X(6,2M1,2),解得a =；,“=(,故选A.考查目的：空间向量的运算.10、答案AC根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，网，即可求出.详解设与z共线的单

10、位向量为工,所以力工,因而卜卜=凶，得到=忖.e=T T n 碗成立，故不正确，由共面向量基本定理的推论，可得对 空 间 任 意 点。与 不 共 线 的 三 点A 8,C，若。户=xC4+y丽+zOC(其中x+y +z=l),则P,A,8,C四点共面，由于缺少条件+x+y +z=,故不正确，正确的命题个数是0,故选D.12、答案D根据1=(-3,4,12),且AB=2，可得&的值，同时已知A(l,-2,0),可得B的坐标.详解解：a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),A(l,-2,0),B=(-6+l,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.名师点评本题考查空

11、间向量的数乘运算，是一个基础题，解题的关键是牢记公式，在数字运算的时候要细心.13、答案一13 8因为ab,所以 3m2n4p=X(x+l)m+8n+2yp所以 x(x+1)=3,8 入=2,2y 入=-4,所以 x=-13,y 8.14、答案一215、答案(T,0,2)根据题意算出反，的，前的坐标，由P A,平面A B C得P 1京且反1 京，建立关于x、y的方程组，解之即可得出点P的坐标.详解由题意得加(-x,1,-z),A B=(-1,-1,-i),A C=(2,0,1),由P X1 京，得PX-ALXT+Z=0,由P A lA b,得p X-A b=_2x-z=0,解得i z=2.故点

12、P的坐标为(T,0,2).名师点评本题给出点A、B、C的坐标，在P A _L平面A B C的情况下求点P的坐标.着重考查了空间向量的坐标运算、向量语言表述线面的垂直与平行的关系等知识，属于基础题.16、答案3(龙+B)2=29 ,化 简 得：a2+2Aab+b2=29 ,代 入 坐 标 运 算，22(O2+(-1)2+12)+2/1(0X4-1X1 +1X0)+42+12+O2=29,22-A-6 =0,(2 0),解得：4 =3.考查目的：1.空间向量的坐标运算；2.模的运算17、答案:：(1)根据定义模为1的向量即为单位向量(2)在长方体中求出对角线长为由，即可写出所求向量(3)根据大小相

13、等，方向相同即为相等向量可写出(4)大小相等，方向相反的向量即为相反向量.详解(1)模为1的向量有A 1A，A A 1，B 1B,B B,C C C 1，D 1D,D D 1,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为小,因此模为小的向量为A D 1，D 1A,A 1UD A,B C,C B,B C,C B-(3)与向量6B相等的向量(除它自身之外)为A B,D C及D C.(4)向量A A 1的相反向量为AIA,BIB,C C,D D名师点评本题主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，属于中档题.18、答 案 7&(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

14、试题分析：(1)先写出两边表示向量坐标，再由向量夹角公式求角A的余弦值，由同角关系求角A的正弦值，再由面积公式可求解。(2)设；=(x,y,z),由向量垂直则数量积为0,待定系数法求得向量a坐标。详解(1)由题中条件可知,舱=(-2,-1,3),人工(1,-3,2),ABAC-2+3+6 1所以cos 融辰=|AB|扇 麻用 2于是 sin=2.故以血和后为邻边的平行四边形的面积为S=|AB|AC|sin=i4X 2=7亚,2 2 2 cx+y+z=3,-2x-y+3z=0,(2)设 a=(x,y,z),由题意得 x-3y+2z=0,(X=1,rX=-1,y=1,或卜=-1,解得|z=l (z

15、=-1.故 a=(l,1,1)或 a=(-l,T,T).名师点评-T-a b-C O S =-6 0,n求平面向量夹角公式：Ia|b|，若,二名必七沈二与丛马)，则 x z +y M +z R -cos=,：,e 0,n2 2 2 2 2 2Jxi+y i+zi Jx2+v2+z2 o19、答 案(I)证明：由题设可知A D,D E,取AE中点0,连结 0D、BE,VAD=DE=V2,A0D1AE,又.二面角D AEB为直二面角，.0口 _1_平面 ABCE,AODIBE,AE=BE=2,A B=2 a,.*.AB2=AE2+BE2,AEBE,0D n A E=0,，BE，平面 ADE,.BE

16、LAD,BECDE=E,，AD_L平面 BDE.(II)取 AB 中点 F,连结 O F,则 OFEB,.OF_1_平面 ADE,以0为原点，0A,OF,0D为x、y、z轴建立直角坐标系(如图)，z贝0,0),D(0,0,1),B(1,2,0),A D=(-1,0,1),B O=(l,-2,1),设 m-(x,y,z)是 平 面 ABD的 一 个 法 向 量，则/n B D=0 ,m -A D=0,D 分别为A C、P C的中点：，0 DP A,又 PAB平面P A B,，0 D 平面 P A B.(II)V A BlBC,O A=O C,.*.O A=O C=O B,又.O P _ L 平面

17、 A BC,，P A=P B=P C.取 BC中点E,连结P E,则BC_ L 平面P O E,作 0 F1 P E于 F,连结DF,则()FJ_ 平面P BCZ O DF是 0 D与平面P BC所成的角.又0 D/7 P A,A P A 与平面P BC所成角的大小等于N O DF.在 R t a O DF 中，s i n N 0 DF=4 2 7r.P A 与平面P BC所成角为a r c s i n(III)由(II)知,0 FL 平面P BC,.F是 0在平面P BC内的射影.Y D 是 P C的中点，若 F 是A P BC的重心，则 B、F、D 三点共线,直线0 B在平面P BC内的射

18、影为直线BD,V O BP C.A P C1 BD,/.P B=BC,即k=l.反之,，当k=l时,三棱锥O-P BC为正三棱锥，二。在平面P BC内的射影为A P B C的重心.解法二：(，平面 A BC,O A=O C,A B=BC,A O A IO B,O A O P,O B1 O P.以0 为原点,射线O P 为非负x 轴,建立空间坐标系0-x y z 如图），设A B=a,则A（。a,0,0）.B(0,0 a,0)，(-0 a,0,0).设 O P=h,则 P(0,0,h).I )D 为 P C 的 中 点P A =(a,0,-/),O D=一一所,而 P W,.O D 平面 P A

19、 B.2 2(H)：k=g,则 P A=2a,.h=0,.闪=(等可求得平面 P BC 的法向量-(1n口、.-、PA-n J 210=(1,-1,-,/-),.c o s(P A,n)=-.V|P A|n|3 0-J21 0设 P A 与平面P BC所成角为9 ,刚 s i n 0 =|c o s(P A,n)=-.3 0P A 与平面P BC所成的角为a r c s i n 由 3.3 0(HI)A P BC 的重心 G(-a,：.O G =(-6 6 3 6 6 3.0 GL 平面 P BC,.说 _ L 而,又 而=(0,也 兄 一 力)，；.O C PB=-a2-h2=0,2 6 3

20、：.h=a,：.PK=yo+lr,即k=l,反之，当k=l时,三棱锥O-P BC为正三棱锥.2AO为平面P BC内的射影为A P B C的重心.21、答 案(1)详见；(2)2根试题分析：(1)根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；(2)要求空间中两点的距离,可直接利用空间两点的距离公式=+(丫1 一 丫29.七 一 Z 2产求解出来.试 题(1)正方体各顶点的坐标如下：A (0,0,0),Bi(0,2,0),Ci(2,2,0),D(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C(222),D(2,0,2)解 法-：子|=闪？77=2也解法二：=2向2,在 R t A A A ，中，|A

21、 C=|A A/+l ARj.Me/=2?+(2/尸=1 2,|A CJ=2 3,：丹 和=2 4P M 122、答 案(1)证明过程详见；(2)=-.P C 3试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，M A D为等腰三角形，Q为A D中点，所以又由于底面A BCD为菱形，得到利用线面垂直的判定得到A_L平面P QB,最后利用面面垂直的判定得到结论；第二问，利用面面垂直的性质得到两两垂直关系，建立空间直角坐标系，写出面内所有点的坐标,得到向量坐标试 题(1)V P A =P D,Q 为 A

22、 D 的中点，.P Q，AO,又：底面 A BCD 为菱形，/8 4。=60,/.B Q 1 A D,又PQ n8Q =Q.AZ，平面P Q B,又：A D u 平面 P A D,；平面P QB_ L平面P A D;(2):平面 P A D，平面 A BCD,平面PA。平面 ABCD=A。，PQ，A。二 PQ，平面A BCD.以Q为坐标原点，分别以QA,QB,Q P为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.则 2(0,0,0),P(0,0,8),B(0,百,0),C(-2,V 3,0),设7 必=九月e(0/1 1),所以M(-22,t,7 3(1-),平面CBQ的一个法向量是1=(0,0,1),设平面M QB的一个法向量为巧=(x,y,z),所以取 后 二(，。，6)，2X由二面角M 3 Q C 大小为6 0,可得:2里，解得;1 =1,此时I nx|n21P M3PC3考查目的：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法.