2021届人教A版 平面向量 单元测试.pdf

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1、平面向量一、单选题1.在菱形A8CD中对角线AC=4,E为 S的中点，则A E A C=（）【答案】C【解析】试题分析：不妨设菱形A8C。为正方形，对角线长为4,故正方形边长为2加,以ARA。分 别 为 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则 后（血,2血）,。（2血,2后），故AE-AC=4+8=12.考点：向量数量积.【易错点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量

2、的数量积来解决.a2.若 非 零 向 量 的 夹 角 为 锐 角 且 面=cos。，则称“被人“同余”.已知人被“同余 ，则a 8在a上的投影是（）a2-h2 a2-h2 b2-a2 a*-A，B,C D.【答案】A【解析】b I，.根据。被a“同余”，贝II有H =cos。，所以网=|a|cos（9,a b在a上的投影为：(a-b-a _ a-b-acos0，故选A.3.在正方形中，点E为。边的中点，则（）D-BA.AE=AB+-AD2C.AE=-AB+AD2【答 案】C【解 析】B.AE=AB-AD2D.AE=-AB+AD2【分 析】利用向量加法、数乘运算直接求解.【详 解】因 为 点E为

3、。边 的 中点，所以=+=2故 选C.【点 睛】本题主要考查了向量的加法运算及数乘运算，属于基础题._ _ .5 一 2 94.已 知 儿8是 圆O：x-+J-=4上 的两个动点，AB=2,0。=3。4一 。8.若 河 是线 段4 8的中点，则无.而的 值 为（）.A.3 B.26 C.2 D.-3【答 案】A【解 析】试题分析：因 为 点M是 线 段 的 中 点，所 以 疝=；历+而）,OA=0B=AB=2,所以 A4BC是等边三角形，即=600，OJOB=2x2xcos600=2OC OA/|-O4+-5B|=-O 4：-O B2+-OA OB（3 3 人2 2 J 6 3 2=x2:-x

4、 22+x2=3，故 选A.6 3 2考 点：向量数量积【方法点睛】本题重点考察了向量数量积的运算，l.-一 般求向量数量积可用定义法求解,试卷第2页，总15页a b -co s ,一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角;2.还 可 利 用 坐 标 法 表 示 数 量 积 万$=.0（+乂“，需建立坐标系解决问题；3.还可将已知向量用未知向量表示，转化为那些知道模和夹角的向量，比如本题.5.已知非零向量4*2不 共 线，且|耳=同，则以下四个向量 中，模 最 小 的 为（）A.C.1 12 3铲21 2B 41 3D.-e,+-e2【答 案】A【解 析】【分 析】计算出四个选项中各

5、向量的模长，比较大小后可得出正确选项.【详 解】q,为不共线的非零向量，且 同=|，因此设4,2为单位向量，夹 角 为、，i r 2广，一刍 H e,3 3 -1 i i 1 u-则 耳 弓+万6,-因此四个向量中模最小者为故选：A.【点 睛】2建31 1 1 31 r，-Ci H 4 1 4 -本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于中等题.6.已 知P为A A B C内一点，且，3 P 4 +2尸B+P C =O,则为55()A.1:2B.1:3C.1:5D.1:6【答 案】D【解 析】ABD如图：设D、E：分别为A 3、AC的中点，V 3PA+2 P B +P C =Q

6、P C-P B =-3CPB+PA）B C =-3 x 2 P D =-6PD则k的 值 是（）A.-1 B.C.【答案】B【解析】【分析】试卷第4页，总15页【详解】试题分析：=(3 J)，b=(2k-Lk)al.b；.3 x (2 k -1)+k=7 k -3=03解得k =-.7故选B考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系.9.若向量8 =(1,2),则,+6=|a|2+|。，贝！|=().A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】C【解析】响量 =(/)，6 =(1,2),；.a+/?=(+l,3),又：|；+)|2=|二+|Q ,?.(+1)2+9 =+1 +5,解得=一2,故选 C

7、.1 0 .已知向量 a=(2,1),=(x,-2),若 a b,则 忖=()A.2 5/5 B.2 0 C.V5 D.5【答案】A【解析】因为a b,故由向量平行的坐标运算得到4 =x,此时。=(-4,-2),网=,1 6 +4=同=2技故答案为A.1 1 .已知向量W，E满足q=2,|%讶=2,|。讶=2代，则向量W 与4的夹角为()A.2 L B.2 Z L c.2L D.-4 3 4 6【答案】C【解析】试题分析：根据向量的夹角公式，以及向量的垂直，向量模计算即可解：设Z与b的夹角为。，al=2 a+b l=2,a-b l=2-/5 十bT a1+1 bP+2 a*b=4,I a-bl

8、2-al-+i bb-2 a*b=20,a-b=-4,|bl=272/.cos e=-1=.=-22.,|a|b|2X2加 20 W Jt,e=3 兀,4故选：c.1 2.已知向量4，匕满足时=2,忖=1,卜+2分|=2 6,那么a与的夹角为（）A.30 B.60 C.120 D.150【答案】B【解析】【分析】根据模的向量运算，将卜+2 q平方后化简，即可由平面向量的数量积定义求得a与/，的夹角.【详解】向量a，b满足卜|=2,忖=1,卜+2。=2 6,则（a+2h =（2A/3）2所以a+4a./?+（2Z?）=12,代入忖=2,忖=1,可求得a,b=1，由平面向量数量积定义可知，设与人的

9、夹角为6,则 a-Z?=|fl|-|z?|cos=l,则cos6=4，2因为（）8 0,U.Q,OP=OA+X A B+-B C，。尸=O B+-2 )(|B4|sinABC)H-则-当-|SC|sinC)2aPA+乖1bPB+2辰PC=G 时，cosC=【答案】昱2【解析】【分析】根据平面向量的运算法则可得点P在中线AD上，由正弦定理结合平面向量的加法运算法则可得P在中线BE上，从而可得点P是三角形的重心，可得PA+P8+PC=0,结合2/14+66/:.PA=AAD 点P在射线A。上，(DA RC由OP=04+,i-+|i-,由正弦定理可得BA sin A BC sinC由 网 s i n

10、 A =,4s i n C,设 18d s i n A =忸。s i nC =m ,：.O P =OA+-（BA+A C）,PA=-（BA+B C）,mv 7P A与B A+B C共线，设E是AC的中点,即尸在中线B E1上，./是A A 3 C的重心，PA+PB+P C =O又 2a P A +乖1bPB+2 瓜 P C=0.可设 2a =2拒 c-t，得 a =:力=,c =产,2 V 3 2V 30上由余弦定理可得，c o s C=4 3 产=,故 答 案 为 巫.2 xb 4 2 22 73【点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题.向量的运算有两种方法，一

11、是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1 ）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析儿何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）.14.已知,卜 忖=2,ab=-2,且（a+0）_ L（a +防），那么实数f的值为【答案】-1【解析】略15.若平面向量a,b,c两两所成的角相等，且 同=1,同=l j c|=3,则|a +b+c|等于.【答案】2或5【解析】平面向量。，dc两两所成的角相等，.其夹角为0。或120 .试卷第8页，总15页当夹角为

12、。时,|a+H c|=同+例+同=1+1+3=5；当夹角为 120 时,|a +1+c|=J(a +1+c)2=2.综上所述：|。+力+c|等于2或5.故答案为2或5.16.已知A、B、C是 直 线 上 的 不 同 的 三 个 点，点。不在直线A B上，则关于X的方程X2OA+x O B+A C=0的解集为.【答案】0【解析】【分析】根据三点共线得向量共线，再根据共线向量定理得A B=X AC，然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得 =-1,最后验证可知不符合题意，故解集为空集.【详解】因为A、B、C是 直 线 上 的 不 同 的 三 个 点，所以与A C共线，根据共线向量定理可得,

13、存在实数2 e A,使得A B =A A C，因为所以所以。8 0 4=A A C，所以 AC=LQA+LOB,2 A又由已知得A C=-d Q 4 一 XO B,1 ,1根据平面向量基本定理可得，一二=一且=%,A 2消去2得V=x且x o O,解得 x =1,2=1 ,当2=1时,A B =4 C,此时B与。两点重合，不符合题意，故舍去，UUL ULU ULlll 1故于X的方程X2OA+x O B+A C=0的解集为0,故答案为：0.【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理，三角形减法法则的逆运算，属于中档题.三、解答题1 7.(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分

14、)已知 向 量 满 足：a=1,历=4,且a、b的夹角为60.T(1)求2 a-b .a+b(2)a+b A a-2 b L 求 4 的值.【答案】(1)-12；(2)2=12【解析】试题分析：(1)由题意得am=k,q cos60=lx 4 x g =2,/.(2a-/?)(+/?)=2a+a b-b =2+2 16=12(2);(a+力)_L(4 a-2 )，.(Q+)(Q-2人)=0,2 2A Aa+(A-2)a-b-2b=0,二 2+2(2 2)32=0,4=12考点：平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积

15、的运算法则，以及向量垂直的充要条件1 8.已知A,B,C分别为4BC的三边a,b,c所对的角，向量加=(sin A,sin 8),n=(cos B,cos A),且/.=sin 2C.求 角C的大小；(2)若sin A,sin C,sin 5成等差数列，且CA-(A 3-AC)=18,求边c的长.jr【答案】(1)y;(2)6【解析】【分析】(1)由向量数量积的坐标运算及两角和的正弦公式可得：sin 2C=sinC,再结合二倍角的正弦公式即可得解；(2)由正弦定理可得2c=a+6,结合题设可得岫=36,再由余弦定理。2=/+按一2a反os试卷第10页，总15页。运算即可得解.【详解】解：（1）

16、由已知得m=sin Acos 8+cos Asin 8=sin（A+8）,因为 A+5+C=7T,所以 sin（A+B）=sin（兀 一C）=sin C,所以团=s in C,又机.=sin2C,所以 sin 2C=sin C,即 2sin Ceos C=sin C,1JI0 C 0,所以 cosC=,所以 C=一.23（2）因为sin A,sin C,sin 8 成等差数列，则 2 sinC =sin A+s i n B ,由正弦定理得2c,=a+b.因为 CA（AB AC）=18W C A-C 8=18，所以 abcos C=1 8,所以 ab=36.由余弦定理得 c2=d2+b22ahc

17、os C=（a+b）23ab,所以 c2=4c23x36,所以/=3 6,所以c=6.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算及两角和的正弦公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属中档题.UUI 1 UUU 11 9.已知。为线段A 3 （所在的直线）外一个定点，TOA=a,OB=b（1）若见鸟是线段A 3 的三等分点，试 用 表 示。1+0；（2）若线段A 3 上有若干个等分点，能得到什么结论？请证明你的结论.（注：根据结论的一般性程度予以不同得分）【答案】（工）。6 +。6=。+6（2）设 4,4,4 一，4 1 依次为线段4 8 的等分点，则+。4,+。-H 0 An_=,证明见解析.【解析

18、】【分析】（1）取 A B 的中点M，根据平行四边形法则即可得到0 片+OR=0 A+0 3 =a+。；（2）根据第一问的处理办法，取 的 中 点 M，类似参照倒序相加法，即可得出结论.【详解】（1）取 4 3的中点M，鸟 是线段4?的三等分点，则点M 也 是 的 中 点，根据平行四边形法则2 0 M =O A +OB 2 0 M =OF+OP,所以+=QA+0B=a+8（2）设 A，4,4,，A,-I 依次为线段A B的等分点，则。A+OA+QA+i+Q A i =（a+b）,证明如下：取 AB的中点M，|4 4=忸4），则点M 也是AAi的中点，OAj+=O A+O B =a+b ）.【点

19、睛】此题考查平面向量基本定理的应用，平行四边形法则的使用，熟记常见结论对于解题能够起到事半功倍的作用.2 0.已知 a =（1,2）,/?=（3,4）,c =a +4Z?（X G R）.（1）当幺为何值时，|c|最小？此时C 与人的位置关系如何？（2）当幺为何值时，c 与 a的夹角最小？此时c 与 a的位置关系如何？【答案】（1）当几=一（时J c|最小,0，c；（2）4=0时,c与。的夹角最小，。与。平行.【解析】试题分析：（1）由向量的坐标运算，可将同表示成关于丸的二次函数，利用二次函数的最值求得向何时求最小值.由丸求得6,c,进一步可得两者位置关系；（2）由 侬 6 =百/试卷第12页，

20、总15页的坐标运算，转化为关于X的表达式，由夹角最小时,余弦值最大为1,可得关于2的方程,解得；I,再求得此时。与a的坐标，可判断两者的位置关系.试题解析：(1)c =(1 3%2+44),|c|2=(l-3 4)2+(2+4团2=5 +1(M +25万=25(2+1)2+4当；1 =一1时,同最小，此时 c =(翡)Ac=(-3,4(|t)=0 j_c.当4=-1时,同最小，此时b J _ c .八 c i ,c 5 +5 4 1 +4(2)设。与。的夹角为仇则c o se=/-i=-|a|c|V 5 V 25 22+1 0 2+5 ，5力+2/1 +1要C与。的夹角最小，则c o s。最大

21、，；owes，故c o s。的最大值为1,此时6 =0,c o s 6 =1,1 十4V 5/l2+2/l +l1,解之得;l =0,c =(l,2).4 =()时，。与a的夹角最小，此时c与。平行.考点：1.向量的坐标运算；2.向量的数量积.【方法点晴】本题主要考查向量的数量积和坐标运算.求解两个向量之间的夹角的步骤:第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模；第三步，根据公式c o s(a,可=黯,求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围在 0,句 内及其余弦值，求出这两个向量的夹角.其中当向量的夹角为锐角时石0,且两向量不共线，当向量的夹角为钝角

22、时G石0且两向量不共线.2 1.设两个向量q,0 2 ,满 足 同=1,同=Lq g满足向量。=3+0 2，。=耳一左0 2若4与 的 数 量 积 用 含 有k的代数式f(k)表 示.若 忖=G忖.(1)求/伏)；(2)若4与0 2的夹角为6 0。，求左值；(3)若。与人的垂直，求实数左的值.后 之+【答案】(1)f(k)=(七0)；(2)%=1；(3)&=1.4 Z【解析】试 题 分 析：(1)根 据 平 面 向 量 的 运 算 法 则，由 忖=6忖 即：5=3/可 知：(攵4+0 2)2 =3,左0 2整理化简得到了(%);(2)因 为 是 夹 角 为6 0 的单位向k2 1量，得到q e

23、 2=/(A)=-,求得左=1；(3)因为。与b垂直即：入=0化简得4k到(1 G)e/e 2=0所以：1 二=0或q 0 2=0进而得到攵的方程，求得攵的值.2 2 2伏q+e2)2=3(q-ke2)2,k2el+2ke1e2+e2=3-6kele2+3k2e2试题解析：k2 -4=2+k?=于(k).(k w 0).4攵分(2)G与0 2的夹角为6 0,则q 0 2=，,)=仁 生=,女=1；8分2 4k 2(3)若Q+4)(4-攵=0,则(1 一 2)弓 .=0，&2+et 4 =f(k)=必 工 0,1 二=0次=1.1 2 分考点：1.平面向量的运算；2.向量的数量积.2 2.已知C

24、 1 ,e?是夹角为60的两个单位向量，且向量2 =6 +2 e 2，b =2 e,-e2.求：同，忖，a.b；(2)向量a与b夹角的余弦值.【答案】(1)同=5,忖=&，a-b =|；(2)誓【解析】【分析】(1)根据4，与是夹角为60的两个单位向量即可求出ee 2=；,然后利用向量的模的公式和数量积公式即可求得结果;根 据3 1，9=常即 可 求 出 向 量 夹 角的余弦值.【详解】(1)巧3 2是夹角为60的两个单位向量;试卷第14页，总15页1与0=2；,2 2 1/.a=e,+4Cj-e2+4e2=l+4x+4=7,2 2 2 2 3 3b2=4ej-4ej-e2+e2=4-2+l=3 a-b=2e,+3ej-e2-2e2=2+-2 =；|a|=V7,|b|=/3,a-b=-；3【点睛】本题考查向量模的公式，考查向量数量积计算公式以及向量夹角的余弦公式，属于基础题.