2021北京十三中高二（上）期中数学（教师版）.pdf

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1、2021北京十三中高二（上）期中数 学一.选择题（本大题共10小题，每题4分）1.（4分）在 直 角 坐 标 系，中，在 y 轴上截距为-1且倾斜角为?的直线方程为（）A.x+y +l =0 B.x+y-l =0 C.x-y +I =0 D.x-y-l =02.（4分）若方程V+产-x+y-2/w=0 表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A.（,一（）B,（,+o o）C.（一（,+o o）D.（o o,）3.（4分）如图：在平行六面体中，”为 AG 与 BQ的交点.A B =d,A D =b,A =c ,则下列向量中与,相等的向量是（）2 2 2 2 2 2 2 24.（4分）已知两不重合

2、的平面a与平面A8C,若平面a的法向量为瓦=（2 ,-3,1）,通=（1 ,0,-2）,X C =（1 ,1,1）,贝 i （）A.平面a/平面A B CB.平面a _ L 平面A B CC.平面a、平面A B C 相交但不垂直D.以上均有可能5.（4分）已知向量1=（1,1,0）,b=（-1,0,2）,且 赤+5 与 2&-B 互相垂直，则k 的值是（）I 3 7A.1 B.-C.-D.-5 5 56.（4分）若 P（2,-l）为圆（X I）?+9=25 的弦A3 的中点，则直线AB的方程是（）A.x-y-3=0B.2 x+y-3 =0C.x+y l =0D.2 x-5 =07.（4分）在棱

3、长为Q的正方体AbCD-AgCQ中，M ,N分别是A A,，BB的中点，则4与平面M B D的距离是（）A RG 坦 n V 6A.a D.a C.a D.a6 6 4 38.（4分）已知实数x,y满足2 x +y+5=0,那 么 正”的最小值为（）A.B.7 10C.2#D.2 M9.（4分）若P是圆C:（x +3 +（y-3产=1上任一点，则点P到直线y=履-1距离的值不可以为（）A.4B.5C.6D.710.（4分）若点N为点M在平面a上的正投影，则记N=（M）.如图，在棱长为1的正方体A 8 C -A与CQ中，记平面4片CQ为/7,平面为点P是棱CC上一动点（与C,&不重合），。=以

4、力（尸），。2 =力 力（尸）给出下列三个结论：线段PQ2长度的取值范围是；,1）；存在点P使得PQ/平面p ;存在点尸使得尸Qi PQ.其中，所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.二、填 空 题（共6小题，每小题5分）11.（5 分）若圆 G：（x-l+（y-l）2=l与 G：（X+2）2+（），+3）2 =G 外切，则正数r 的值是.12.（5分）已知直线4 :2 x +my+l=0与4 ：4 a+（，+1）y+2 =0垂直，则w的值为.13.（5分）直线/与直线y=l,犬-7 =0分别相交于、。两点，线段P Q的 中 点 坐 标 为 那 么 直 线/的斜率为.14.（5分）如图，在长方

5、体ABCO-ABCIR 中，设A O =M=1,A B=2 ,贝 力 西-西|=,15.(5 分)已知 A(4,1,3),8(2,3,1),C(3,7,一5),点 P(x ,-1,3)在平面 A B C 内，则乂=16.（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A,的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的 横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，z =1,2,3.（1）记Q,为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q2,中最大的是.（2）记p,为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则化，p2,p,中最大的是.，零件 数（

6、件）AlBi,B3Ai*51A3工作时间（小时）三、解答题(本大题共8 0分，解答需写出详细的证明过程和演算步骤)17.(12 分)如 图，已知点A(2,3),3(4,1),A A 8 C 是以43 为底边的等腰三角形，点 C在直线/:x-2 y+2 =0上.()求边上的高CE 所在直线的方程;(J)求A 4 8 C 的面积.18.(13分)如 图，在正方体中，设 例=2.M,N分别是G。，CG 的中点.(1)求异面直线AN与 MC所成角的余弦值；(2)设尸为线段AD上任意一点，求证：MC工PN.19.(13 分)已知圆C经过点A(l,3),8(5,1),且圆心C在直线x-y +l =0 上.

7、(1)求圆C的方程；(2)设直线/经过点(0,3),且/与圆C相切，求直线/的方程.20.(13 分)已知直线/过坐标原点O,圆C的方程为/+9 一 6)+4 =0.(1)当直线/的斜率为0时，求/与圆C相交所得的弦长；()设直线/与圆C交于两点A,B,且 A为 0 8的中点，求直线/的方程.21.(15分)如 图，四棱锥S-A B C 的底面是直角梯形，A B U C D,A B A D=Z A D C =90 .S _L 平面438,“是 S4 的中点，A D =SD=C D 2 A B =2.()证明：D W _ L 平面SA B；()求二面角A-S B C的大小；(口)线段S C 上是

8、否存在一点E,使得直线S4/平面E)E.若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.22.(14 分)已 知 A(-2,0),8(2,0),动点C满 足 而 觉=0.()求点C的轨迹方程；(口)若点C是 圆/+丁=4上位于x 轴上方的动点，直线A C,3c与直线=W 分别交于M,N两点,3直线机与无轴交于。点，求证：|M Q H V 0|是定值.2021北京十三中高二（上）期中数学参考答案一.选择题（本大题共10小题，每题4分）1 .【分析】由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程【解答】解：由题意可得，直线的斜率走=-1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y =-x

9、-l 即x+y +l =O故选：A.【点评】本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题2.【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得1 +1-4 x（-2 0,解可得机的取值范围，即可得答案.【解答】解：根据题意，方 程/+丁-X+）,-2%=0 表示一个圆，则有 l +l-4 x（-2m）0,解可得机-L,即加的取值范围为（-1,+00）;4 4故选：C.【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题.3.【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出丽.【解答】解：；B M=耳瓦+BtM=c+-B D2=（丽+画1 一=c+-（-a+b

10、）1 _ 1 1一=a+b+c2 2故选：A.【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决.4.【分析】计算 A月=0,1 =0,得出力11.平面A B C,从而得出平面a/平面ABC.【解答】解：由题意，计 算 A/j=2x 1 +(3)x0+1 x(2)=0,得 1_LAi；计 算 展 前=2xl+(-3)xl+1xl=0,得配；所以”；1 平面ABC,所以平面a 的法向量与平面M C 的法向量共线，则平面a 平面/WC.故选：A.【点评】本题考查了平面的法向量应用问题，是基础题.5.【分析】由向量1=(1,1,0),6=(-

11、1,0,2),求 得%+6 与2 G-6 的坐标，代入数量积的坐标表示求得女值.【解答】解：d=(l,1，0),万=(-1,0,2),hi+6=k(l,1,0)+(-1 0,2)=(%1,k,2).2d 5=2(1,1,0)-+y2=25的弦，圆心为C(l,0)设 4?的中点是P(2,-l)满足ABA.CP因此，的斜率上=不=-=1峪11-2可得直线4 3 的方程是y+l=x-2,化简得x-y-3 =O故选：A.【点评】本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.7.【分析】用等体积法计算即可.【解答】解：连接A C,交B

12、 D于O,连接设4与平面MB力的距离为6,因为是例 的中点，所以A与 平 面 的 距 离 也 为 力，因 为 乙-丽=匕-皿,所以1故选：A.【点评】本题考查了正方体结构特性，考查了点到平面距离问题，属于中档题.8.【分析】收 十 寸的最小值,实际上是求2x+y+5=0上的点到原点的距离，也就是坐标原点到直线2x+y+5=0的距离.【解答】解：求Jl+管 的最小值,就是求2x+y+5=0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x+y+5=0的距离，=6.V22+l故选：A.【点评】本题考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式，等价转化的数学思想，是一个好题目.9.【分析】由题意最远距

13、离为圆心到直线的距离加半径，当圆心与定点的连线与直线垂直时最大，求出最大值,直线与圆有交点时距离最小，由此求出距离的范围.【解答】解：因为直线丫=丘-1恒过定点A(O,-1)点，当直线与4 C垂直时，点 到直线=-1距离最大，等于A C+r,又因为圆心坐标为：(-3,3),半径为1,所以距离最大为小37X(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时距离最小为0,所以点P 到直线y=fcc-l距离的范围是：0,6,故选：D.【点评】本题考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系应用问题，是基础题.io.【分析】根据定义可设点p 在月内投影为尸 ，则PP=N CF，设P在/内投影为0,则CQ、上p

14、p=L q p,逐一进行判断即可【解答】解：设点P 在尸内投影为P,则尸产=GP,设 P 在/内 投 影 为 则CQLP P=；CP,当P为 C G 中点时，距&最 近，|PQzl=；，当p 在 G 时，I尸。/最大，此时12。21=自，因为尸与C 不重合，所以，IP Q I的范围是g,故正确;由条件可知，P,0,在平面GC。中，将其画出，假设 Q/月成立，则 P Q/C Q,设 CQ=x,贝 i P C=x,所以 G P=2CQ=2x,PC +PC,=x +2x=3x=l ,则 x=g,所以C Q=g，CD=1,即存在点P 使得P Q/，故正确；设 C Q=x,以 C 为原点建系得 Q(-x

15、,0),P(0,l-2x),Q?(g,g),假设 P Q P Q?.则%W=0,即(-x,2 x-l)(-；,2 x-；)=4 x 2-|x +g=0,此时 =r +lnr=4,故答案为：4.【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了两点间的距离公式，圆的标准方程和圆心半径的关系，考查分析解决问题的能力和计算能力，本题属于基础题.1 2【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求出机的值.【解答】解：直线4 :2 x +?y +l =0与乙：4 a +(z +l)y+2 =0垂直，/.2 x4m+m(m+)=0,解得，=0或，w =9 ,故答案为：0或-9.【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，

16、属于基础题.1 3【分析】设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、。两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线/的斜率.【解答】解：设P(a,l),.线段产。的中点坐标为a +Z 7 口 1 +Z?7.*.1 =-，且一1 =-，2 2解得，a=2 b=4,P(-2,l),Q(4,-3),直线/的斜率为：4+2 3故答案为-2.3【点评】本题考查直线的斜率公式、中点公式.14.【分析】由题意可得，CC；-BD；=CC；-(BB；+B R)=-B 0；,结合已知可求而CCi CAi=CCx(CB+BA+AAx)=CCiCB+CCx BA+CCcA A,结合长方体的性质及向量的数量积的性质即可求解

17、【解答】解：由题意可得，I 函|=71二 =百8_ BD；=不_(BB；+B 再)；.际-函R瓯r下CQ-C=Cq-(CB+BA+AA)-CC、CR+CC BA+CC,AA!-d=0+0+A4j=1故答案为：A l【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题15【分析】本题利用共面定理可以解答，即若空间中四点尸，4,B,C,满 足 用=x荏+y/，则此四点共面，于是本题可以代入点的坐标，列方程组求解.【解答】解：由共面向量定理，可 设/=yX 5+z而，其中x,y e R,于是代入点的坐标有：x-4=-2y-z x=ll(x-4,-2,0)=y(-2,2,-2)+z(-l,

18、6,-8),得方程组：(-2=2y+6z 得(y=40=-2 j-8 z z=1故答案为：11【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，空间向量的坐标运算等知识内容，考查了向量相等的性质.1 6 【分析】（1）若,为第，名工人在这一天中加工的零件总数，则=4的综坐标+用的纵坐标；进而得到答案.（2）若 P；为第，名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 P,为 A B,中点与原点连线的斜率；进而得到答案.【解答】解：（1）若。，为第，名工人在这一天中加工的零件总数，Q=A的纵坐标+用的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+用 的纵坐标，g=A的纵坐标+员的纵坐标，由己知中图象可得：0

19、2，Q 中最大的是2，（2）若 P,为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 P,为 中 点 与 原 点 连 线 的 斜 率，故 P i,p2,p?中最大的是p2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出。和 p,的几何意义，是解答的关键.三、解 答 题（本大题共8 0 分，解答需写出详细的证明过程和演算步骤）1 7 【分析】（/）由题意可知，E为 43的中点，E（3,2）,利用斜率计算公式、点斜式即可得出.（）由 2）+2 =得 c（4,3）,利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出.x-y-l =0【解答】解：(/)由题意可知，石为4?的中点，(3,2)(2 分)且%

20、:二1MB(4 分)二.CE所在直线方程为 y_ 2 =x _ 3,B P x-y-l =O .-(6 分),(x-2 y+2 =0 p/八、()由 彳 J 八 得。(4,3),-(8 分)x-y-l =O.J AC=BC=J(2 -4 +(3-3)2 =2,A C Y B C,-(1 0 分)SMBC=g l ACH8C|=2.-(1 2 分)【点评】本题考查了斜率计算公式、点斜式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 8.【分析】(1)以。为原点，分别以A4、D C、D 为x、V、z 轴，建立如图空间直角坐标系.可得。、A、A-C、M ,N各点的

21、坐标，从而得到向量而和招。的坐标，利用空间向量的夹角公式算出而和夹角的余弦之值，即可得到异面直线AN与 所 成 角 的 余 弦；(2)根 据(1)所建立的坐标系，设 P(x,0,0),从而得到PM的坐标，再求出向量枇C的坐标，从而算得M C P N =0,由此可得即得M C _ L P N 成立.【解答】解：(1).正方体A B C Q AgGA中，DA.D C、两两互相垂直，.以。为原点，分别以公4、D C、D。、为x、y、z 轴，建立如图空间直角坐标系可得。(0,0,0),A(2,0,0),4(2，0,2),C(0,2,0),M(0,1,2),N(0,2,1)向 量 而=(-2,2,-1)

22、,MC=(0 ,1,-2)根据空间向量的夹角公式，得c o s =，-二 短AtN-MC 1 5设异面直线AN与 VC所成角为。可得c o s，=|c o s|=,即异面直线A j N 与MC所成角的余弦值为生叵；(2)由(1)中所建立的坐标系，得.尸 为线段AD上任意一点，.设 P(x,0,0),其中 x e 0,2可 得 而=(_ i，2,1).砒=(0,1,-2),MC P/V =0 x(-x)+l x 2+(-2)x l =0由此可得即P为线段4)上任意一点，都有M C _ L P N 成立.【点评】本题给出正方体棱的中点，求证直线与直线垂直并求异面直线所成角，着重考查了正方体的性质、

23、空间垂直位置关系的证明和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题.19.【分析】(1)根据圆心在直线x-y +l =0 上，设出圆心坐标，设出圆的半径，得到圆的标准方程，然后把点A,8 的坐标代入圆的方程，求解方程组即可得到待求系数，则方程可求；(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时;验证知符合题意，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径可求左的值，所以圆的切线方程可求.【解答】解：(1)因为圆心C在直线x y +l=0 上，所以设圆C的圆心C(a,a +1),半径为r(r 0),所以圆的方程为(x-a)2+(y-a-l)2=产.因为圆C经过点A(l,3),仇5,1),所以，(

24、j)2+(3-。一I)、，即 2/-6。+5=产(5-a)2+(l-a-l)2=r2 2a2-104z+25=r2解得：r =5所以，圆。的方程为（x-5 y+（y-6）2=25；（2）由题意设直线/的方程为y=fcr+3,或x=0当/的方程为x=0时，验证知/与圆C相切.当/的方程为y=Ax+3,即 丘-y+3=0时，圆心C到直线/的距离为d 弘一6+3|=5,解得：Z=_15所以，/的方程为 y=2 x +3,即 8x+15y-45=0.所以，直线/的方程为x=0,或8x+15y-45=0.【点评】本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解.考查

25、了过定点的圆的切线方程的求法，注意分类讨论，利用点到直线的距离等于半径比联立方程后让判别式等于0要简洁.此题是中档题.20.【分析】（口）由已知，直线/的方程为 =&，圆C圆心为（0,3）,半 径 为 石，求出圆心到直线/的距离，即可求/与圆C相交所得的弦长；（）设直线/与圆C交于两点A,B,且A为0 8的中点，求出A的坐标，即可求直线/的方程.【解答】解：（口）由已知，直线/的方程为y=V 5 x,圆C圆心为（0,3）,半 径 为 石，（3分）所以,圆心到直线/的距离为|3|3=6 .（5 分）所以，所求弦长为2后 万=2夜.（6分）（=0设乂），因为A为0 3的中点，则8（2西，2yt）.

26、（8分）又A,3在圆C上，所以片+y：-6 y+4=0,4#+4y：-12yl+4=0.（10 分）解得 X=1 ,为 =1,（11 分）即4（1,1）或4（T/）.（12分）所以，直线/的方程为、=兀或了=一工.（13分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.21.【分析】（口）推导出Q JLZM,5 DC.D A V D C,以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DM 平面 SAB.(J)求出平面5 8 c 的法向量和平面SAB的法向量，利用向量法能求出二面角AS 3-C 大小.()求出平面瓦把的法向量，利用向量法能求出存在点E 为线段S

27、C靠近S 点的三等分点，使得直线54平面3DE.【解答】(本小题满分14分)证明：(Z J)因为S)_L平面 ABCDD4,Z)Cu平面 ABC).所以SE_LD4,S D 1 D C,又 A4_LOC.如图，以。为原点建立空间直角坐标系.由题意得 0(0,0,0),4(2，0,0),8(2,1,0),C(0,2,0),5(0,0,2),M(1,0,1),所以用0 =(1,0,1),&4=(2,0,-2),而=(0,1,0).所以。而.&4=0,DM.AB=0,所以 DM，%,DM L A B,所以2W_L平面SAB.解：(口)设平面S8C的法向量为万=(x,y,z),因 为 豆=(0,2,-

28、2),BC=(-2,1,0).所 以 忸”=,即 产 2z=。,BC./i=0-2x+y=0令=1,贝!|y =2,z=2.于是乃二(1,2,2).因为。0，平 面&止，所以DA/为平面SAB的法向量,又 丽=(1,0,1).所以cos=芹DMnJDMV22因为所求二面角为钝角，所以二面角A-S B-C 大小为135。.()SE=2SC=(0,2,-22).(/1 G0,1),DE=Z)S+5E=(0,22,2-2 2),B =(2,1,0),S A =(2,0,-2).设 平 面 的 法 向 量 叼 =5，%，z),则=0 即尸/l%+2(l /l)Z o=O DB.n2=0 2X ,+j0

29、=02 2 72令%=1,%=-2,z0=-于是沅=(1,-2,-)，1 2 1 2如果直线S A/平面双出，那么SAm=0,解得4=工.3所以，存在点为线段S C 靠近S点的三等分点，使得直线SV/平面友犯.【点评】本题考查线面垂直、二面角的大小、满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.22.【分析】(/)设 C(x,y),则/=(x +2,y),B C =(x-2,y),由 正 团=0 可得轨迹方程；()求出直线AC的方程可解得点M 的坐标，同理求出点N 的坐标，计算可得I M0 WQI 是定值.【解答】解：(/)设 C(x,y),则 A 0 =(x +2,y),BC=(x-2,y),由 前 年=0,得*2_ 4+丁=0,所以得f+y2=4,所以点C的轨迹方程为x2+y2=4,()直线=与x 轴交。点的坐标(岑，0),设 C(x。，%)直线AC的方程为之二2 =山，%-0 x0+2直线A C与直线机:x=W交点.1处3 3 3(x0+2)同理可得N的坐标为(3,仪 ),3 3(%2)|M 0 N 0=|7716y、川4%又点C在圆V+y 2=4上，所 以 石+尤=4,3(玉)+2)3(%-2)MQ-NQ=(定值).【点评】本题考查求轨迹方程的方法，以及定值问题，属中档题.