2021届全国高考数学演练试卷(理科)(一)附答案解析.pdf

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1、2021届全国高考数学演练试卷（理科）（一）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.对于集合 M,N,定义M-N =x|x 6 M,且CN,MEIN=(M-N)U(N M),设4=卜 三 号 XR,B=xx 2 b,则标 4 b 2D.若。2 =4 炉,则 Q=-2b则a H 2b9.若曲线C y =%2 与曲线C 2：y =a e*存在公切线，则1 2 的()A.最 大 值 那 B,最大值为E C,最 小 值 法 D,最 小 值%1 0 .对于函数/(%)=l g(|x 2|+1),(2)/(%)=(%2)2 (3)/(%)=c o s(x +2)判断如下三个命题的真假：命题甲：

2、f(x +2)是偶函数；命题乙：f(x)在(-8,2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数；命题丙：/(%+2)-/。)在(-8,+8)上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是()A.B.C.D.1 1 .已知ta n(8 +)=2 且一。0,则s i n 2 0 =()1 2 .在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是7 8 7A.2延 B.屈 C.一元I D.定 113 .若实数，y 满足约束条件卜一 yWO ,则z =%+4y 的 最 小 值 为 .y 514.

3、设册是(3 -V%)n(n =2,3,45)展开式中十 一次项系数，则九*8(/+-F：)=C c (0an 1)，且=，则。2017 =-.116.已知椭圆C与双曲线/?=1 的焦点相同，且与直线y =x +4有公共点，则椭圆C 的长轴长的最小值为.三、解答题(本大题共7小题，共 8 2.0分)17.在 4BC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,b =3,c=1,A =28.(1)求a 的值；(2)求s i n(2A +的值.18 .已知某中学高三文科班学生共有8 00人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩拉样统计，先将8 00人按001,002,

4、8 00进行编号.(1)如果从第8 行第7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3 个人的编号；(下面摘取了第7 行至第9 行)B4 42 17 53 31 57 24 55 06 C&7 7 7a 6 21 76 33 50 25 83 92 2 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19%10 50 71 75 12 86 73 58 07 44”52 2S 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 36 15 51 00 13 42 99 66 02 79 S4(2)抽取取100人的数学与地理的水平测试成绩如表：

5、人数数学优秀良好及格优秀1205地理良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18 +4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为3 0%,求a,b 的值.(3)在地理成绩为及格的学生中，已知a 2 10,b1 8,求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率.19 .如图，四棱锥P 力 B C D 中，底面Z B C D 是平行四边形，乙4c B=9 0,P A _ L 平面4BCD,P力=BC=1.AB=尸是B C 的中点(I )求证：DA _ L 平面P 4C；(n)试在线段P D 上确定一点G,使CG平

6、面H 4 F,并求三棱锥A-C D G 的体积.2 0.己知椭圆C：9+y 2=1,点。是坐标原点，点P 是椭圆C上任意一点，且点M 满 足 丽=4 方(4 1,4是常数).当点P在椭圆C 上运动时，点M 形成的曲线为G.(/)求曲线6的轨迹方程；()直线/是椭圆C在点P 处的切线，与曲线G 的交点为a,B 两点，探究 O AB的面积是否为定值.若是，求A O A B 的面积，若不是，请说明理由.2 1.已知函数/(%)=/n x -ax +-l(a e /?).(1)当。=1 时，求f(x)在点(1,2)处的切线方程;(H)当a N：时，讨论f(x)的单调性；(川)设g(x)=f(x)1,在

7、函数g(x)的图象上取两定点4(x i，g(x i),B(x2,5(x2)(x1 设直线4 B 的斜率为鼠 证明：存在e (%,2)，使g Q o)=k成立.2 2 .以平面直角坐标系的原点为极点，以工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆。的参数方程是7 2一2/-22+1-21-2=Xycosa和直线1 的极坐标方程是p s i n(O -)=y.sina(I )求圆。和直线/的直角坐标方程；(I I)求直线/与圆。公共点的一个极坐标.2 3 .已知a,b 0,且a+b =l,求证:(1)*+8；海+3参考答案及解析1 .答案：C解析：本题主要考查集合的应用，熟悉集合的运算法则是解答本题的关

8、键，是高考中常见的题型，属于中档题.解：由已知/=一,+8),B=(-0 0,0),9 9由于4 B=0,+8),B 71 =(-o o,-71 I 3 B=(-o o,-)u 0,+o o),故选C.2.答案：A解析：解：复数z的模为2,.z的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，如图,z-i|的几何意义为圆上的点到定点(0,1)的距离，由图可知，|2 一 4的最小值为1.故选：A.由题意画出图形，数形结合得答案.本题考查复数的模，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合思想，是基础题.3.答案:D解析：解：由题意知，本题是一个古典概率，试验发生包含的基本事件为(2,3,4)；(2,3,

9、5)；(2,4,5)；(3,4,5),共4种;而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为(2,3,4)；(2,4,5)；(3,4,5),共3种；以 这三条线段为边可以构成三角形的概率是：，4故选D试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共3种，根据古典概型概率公式得到结果.本题主要考查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系，属于基础题.4答 案:C解析：解：参加社会实践学生总数先与n在图中对应P(Sn,n)点，则前n年的年平均人数即为直线0 P的斜率，由图易得当n=9时，直线。P的斜率最

10、大.即前9年的年平均人数最高.故选：C.由已知中图象表示参加社会实践学生总数Sn与7 1之间的关系，可分析出平均人数的几何意义为原点与该点连线的斜率，结合图象可得答案.本题考查散点图，以函数的图象及图象变化为载体，考查了斜率的几何意义，正确分析出年平均人数的意义是解答此题的关键，是基础题.5.答案：B解析：解：由题意，画图如下：由抛物线方程y2 =8x,可知抛物线T的焦点坐标为(2,0),则直线，的直线方程为：y=k(x 2),设/V(x2,y2)则联 立 口 厂),消去y,整理得 一 4(f c2+2)x+4 k2=0,8故+%2 =4 +X j.%2 =4,1 yi+y2=-2)+k(x2

11、-2)=k(Xi+x2-4)=k(4 +-4)=pyi y2 =f c2(i -2)(X2-2)=/C2%IX2-2(X 1 +%2)+4 =/C24-2(4 +)+4=-1 6,丽=(X 1 +2,yi -3)，丽=(x2+2,为-3)，.P M-P N =(xx+2)(犯+2)+(%-3)(y2-3)=xI x2+2 Q i +犯)+4 +y/2 -3 出 +y2)+98 84 +2(4 +4 1 6 3 ,+9_ (3 k-4)2=i&-v P M-P N =0,生 名=0,解得/=?.k23故选：B.本题先根据题意写出直线，的直线方程，然后联立直线 与抛物线z的方程，消去y,化简整理可

12、得关于X 的一元二次方程，根据韦达定理可得与+刀 2 =4 +亮，X 1%2 =4,接着计算出丫 1+、2，关于k 的表达式，写出向量丽，丽 的 坐标式，代入并化简计 算 丽.丽，根 据 丽 丽=0可进一步计算出k 的值，得到正确选项.本题主要考查向量与解析几何的综合问题.考查了方程思想，韦达定理的应用，向量的运算能力，以及逻辑推理能力和解析几何的运算能力.本题属中档题.6.答案：D解析：试题分析：由!脾；=乳也作差化简得到：超 二 曳=曷第，同理：、搠=警时 与 一 餐 典#典-，热 一 的 兽_盛 .左 n正 见 等_ _ _ 星今 一 码 思:在典 懿:年 购，机 机魏口 麋 九 蜘=气

13、 菰:此 母 口 典 正 腮=一的眼;考点：直线与抛物线的位置关系.7.答案：D解析：试题分析：.埼，%=卜%代 工 獭之蜀，.%=%+=口，禽=*S.I 2 7嘴=，存3=工由此猜想时=工考点：数列递推式.8.答案：D解析：解：命 题“若a=-2b,则a?=4 b 2”的逆命题是“若a?=4 b2,则a =-2b”,故选：D根据已知中的原命题，结合四种命题的定义，可得答案.本题考查的知识点是四种命题的定义，难度不大，属于基础题.9 .答 案:B解析：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是较难题.分别求出两个函数的在切点处的斜率，由两

14、函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到m =2 n-2,则4 n -4 =a e 有解，即y=4 x-4,y=a e*的图象有交点.再分类讨论，由导数探究y=4 x-4,y=a e*的交点问题即可进一步求得a的最值.解：设公共切线与y=/的切点(瓶,7n 2),则切线斜率为2巾，设公共切线与y=al的切点(n,a e n),则切线斜率为a e ,则有 2 m =aen.又由斜率公式得到，2加=丝 空二 即2 m =*3m-n m-n由此得到m=2 n 2,则2 7 n =4 n 4,则4 n -4 =a e7 1 有解，则y=4 x-4,y=a e*的图象有交点即可.显然，当a W O时，

15、y=4 x-4,y=a e*的图象恒有交点.当a 0时，设y=4 x-4,y=a e*的切点为(s,t),则a e s =4,且t =4 s 4 =aes,即有切点(2,4),a=3故0 g(3),故g(x)在(-8,+8)上不是单调递增的；此时命题丙为假./(x)=(X -2)2则:2)是偶函数，此时命题甲为真：在(-8,2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数；此时命题乙为真；f(x+2)-f(x)=4 x-4在(-8,+8)上是增函数的；此时命题丙为真.若/(x)=c o s(x+2),则：/Q +2)不是偶函数，此时命题甲为假；故选D1 1 .答案：C解析：解:t a n(0+5=i,

16、且一；8 o o 1 8 x (1 )=1 8.故答案为：1 8.利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 的指数为1,求出品，再由5=百 奈 =9an C介3n 2-=-=1 8 x(-1),能求出 n 学 8(t +可+更+.+*).n(n-l)n(n-l)vn-l nz va2 a3 a4 a，本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查由函数解析式求函数值问题.解题时要注意裂项求和公式的合理运用.1 5.答案：yC c (0an 1)，且的=,.a2=zo a j =12 a.5 o 10.3 o 63=a2-1 =a4=2a3=t a5=a4-1 =a6=2

17、a5=*0n+5=an-则。2017=Q403x5+2=a2=故答案为：y.即+】=11（即 1），且为=,，可得即+5 =斯.利用周期性即可得出本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 6.答案：2 /T U解析：解：根据已知条件得到c =2,椭圆C 的方程设为：/=1;椭圆C 与直线y =x +4有公共点；.方程马+铲=1有解；a2 az-4方程变成6+六）/+六 式+含 一 1=;a4-1 4a2+40 0；解得。2 i o,或 2；a2 1 0；.椭圆C 的长轴的最小值为2m.故答案为：2同.由已知条件即可设出椭圆C 的方程为捺+右=1,而根据椭圆

18、C 和直线y =x +4有公共点即可得到方 程 三+空 空=1有解，所以判别式=0，1 4a 2 +4 0N 0,再根据a 2,所以解该不等式即得az az-4到a?1 0,所以a 的最小值为内，所以便可得到椭圆C 的长轴长的最小值.考查双曲线、椭圆的标准方程，椭圆的焦点及长轴的概念，椭圆与直线有公共点时对应的方程的关系，以及一元二次方程有解时判别式的取值情况，注意长轴的长为2 a.1 7.答案：解：（1”.由 正 弦 定 理 号=段，A =2B,bsin2B sinBa _ b ,2sinBcosB sinB a=2b-cosB,.,由余弦定理a=2b V+c f ：2ac又 6=3,C =

19、1,解得a=2解;(2)由余弦定理cos4=一 工，2bc 3./I 2V2sinA=，3 sin2A=2sinA-cosA ,9r 7cos2A=2cos24 1=,9 sm 24A +l n =V2 sm.2nA 4 d,V2 cos2CAA =-8-+-7-V-2.4/2 2 18解析：本题考查了解三角形中正弦、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，以及二倍角公式的应用.(1)由正弦定理得到a=2b cosB,结合余弦定理和条件得到Q=2V3;(2)由余弦定理可得cosA=标=_1(再得SM4=出，从而求得s讥24cos24,即可得到结果.2bc 3 318.答案:解：（1）依题意，最先检测

20、的3个人的编号依次为785,667，199.（3分）（2）由 耳 舒=0.3,解得a=14,-（5分）V 7+9+a+20+l 8+4+5+6+b=100-.b=17.（7分）（3）由题意，知a+b=31，且a:1 0,b18.：薪足条件的（a,b）有：（10，21），（11（20），（12.19）（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18 13）（19，12），（20，11），（21，10），（22.9），（23，8）共 14 组，且每组出现的可能性相同.（9分）其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10.21）（11 20）（12 19）（

21、13，18），（14，17），（15，16）共6组.（11分）数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为a=微.（12分）解析：（1）利用随机数表法直接求解.(2)由-=0.3,能求出a,再由7+9+a+20+18+4+5+6+6=1 0 0,能求出b.（3）由题意，知a+b=3 1,且a 2 10,b 8,满足条件的（a,b）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率.A D/B C,可得N4CB=/.DA C=9 0 ,即4c 1 DA P4 1 平面ABCO,0 4=平面48。，P A 1 DA,X v A C L D A,

22、力CnPA=4,DA J平面R4c.（II）设PD的中点为G,在平面24。内作GH 1PA于H,连接尸H,则PAD中，GH平行且等于“。平行四边形A B C D中，F C平行且等于:.GH/F C 旦GH =FC,四边形F C G H为平行四边形，得GC F H,：F H u 平面2 4 F,CG,平面2 4 F,CG平面P4F,即G为P D中点时，CG平面P A F.设点G到平面Z B C D的距离为d,则11由G为P C中点且PA，平面4BC D,得d =-P A=,又Rt 2 C C面积为3 x 1 x 1 =-.三棱锥 4 -CD G 的体积匕 _ CD G =VG-CDA=x i =

23、i解析：(I)平行四边形4 B C D中，证出A C 1。4结合P 4 _ L平面力BC D,得P 4 J.L M,由线面垂直的判定定理，可得1平面P A C.(I I)设P。的中点为G,在平面P A D内作G H 1 PATH,连接FH,可证出四边形F C G H为平行四边形,得GC/F H,所以CG平面P 4 F.设点G到平面4 B C D的距离为d,得结合R t A A C D面积和锥体体积公式，可算出三棱锥4-C D G的体积.2 0.答案：解：(1)设点时的坐标为(%?)，对应的点P的坐标为，由于点P在椭圆C上，得，孥+g)2 =i即曲线心的轨迹是椭圆，标准方程为条+苓=1,(4 1

24、).(n )当过点P(X i，y 1)切线的斜率存在时，设该切线的方程为y -7 1 =fc(x -%i),即y =fc x 4-O i -fc%i)联立y =k r +(%-k%i)、椭圆C：9+y 2 =i得(1 +i)%2+2kpi-kx【)x+(yt-kx1y 1 =0,由=(),得1 +4/f2 =(y i -kq)2,的k =一,此时过点4(X i，yJ的切线方程为华+为y =1过点P切线的斜率不存在时，切点为(2,0),方程为x =2,符合方程为牛+y0=L 过点P的切线方程为资+y。=1.设切点4。2，、2），8（孙,尸 3）-rx+y1y=l联立,y2 _ ,布 +17=1结

25、合科+资=1 得 4%2-Qx1x+16-16yf A2=0 x3+x4=2X1,X3X4=4-4y2A B =1+（一 粉 2 x|x3-x4|=J16y/+4-原点。到直线4B的距离弓1 _ 4J君+1 6.CMB 的面积 s=lx M l x d=：x J16/+在 -I x-y=|=一 i（定值）解析：（I）设点M的坐标为（x,y）,对应的点P的坐标为G，Q,由点P在椭圆C上得曲线0 的轨迹方程为 余+竟=1。）（n）由=（）,得 过 点 的 切 线 方 程 为 牛+yy=i,设切点4（冷/2），8（打,为）（二-人 T J lJ-l 2 Ix2 y2 _ 结合系+yf=1 得4/-8

26、%1%4-16-16yfA2=0,可得|48|=J1 4-（一蓑/X市+下-4 7 114|%3-孙|,原点。到直线4B的距离”一 点 嘉 一 志 不 装，04B的面积s=1 x 4B|x d=；xJ1 6 资+好-VA2-1 x j.I.=2442 _ 1（定值）本题考查了椭圆的方程与性质，椭圆的切线方程及用弦长、距离表示三角形面积，考查了方程思想、转化思想，属于难题.21.答案：（I）解：当a=l 时，/（%）=lnx-x-l,=点（1,一 2）在函数图象上，在点（1,一 2）的切线斜率为k=1（1）=0,所求切线方程为y=-2；（II）解：；/（x）=I nx ax+l（a e R）,(

27、=5a-X21-a ax2-x+l-a,X 6 (0,4-0 0),令h(x)=_%+1 _ Q,%w(0,+8),当QNg时，由/(x)=0,则 Q/%+1 Q=0,解得%1=1,%2=：1，当a=泄，=%2，九(%)N。恒成立，此时/(%)0,此时f Q)V 0,函数/(%)单调递减；%弓 一 1,1)时，/i(x)0,函数f(x)单调递增；%6(1,+8)时，h(x)0,此时r(%)V 0,函数f(%)单调递减；当Q Z 1 时，由于一1 4 0,%(0,1)时,h(x)0,函数/(%)单调递增;%E(l,+8)时，h(x)0,此时函数/(%)单调递减；综上所述：当Q=：时，函数/(X)

28、在(0,+8)上单调递减；当*Q V 1 时，函数/在(0 3 一1)上单调递减，在弓一 1,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减;当Q N 1时，函数f。)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减;(W)证明:由已知得g(x)=Inx-ax,k=“2一%1lnx2-lnx1x2-xta,令 0),当0 t l 时，Fz(t)l 时，F(t)0,F(t)单调递增.故当t*l 时，F(t)F(l)=0,BPt-1-Int 0.从而瓷 一1 一 1 吟 0,T1-1-In 1 0,兀1 兀1 兀2(2 0(%1)0,p(%2)0,(%2)1-g Qo)=-成立.本小题主要考查函数导数的

29、几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法.是高考试卷中的压轴题.2 2.答案：解：(I)圆。的参数方程可以化为:V 2一2V 2T-1-21-2_-Xycosasina所以圆0 的直角坐标方程是：(x-i)2+(y-1)2=|.转化为：x2+y2-x-y =0直线2 的极坐标方程可以化为：与pstn”与pcos”号,所以直线I 的直角坐标方程为：x-y+l =O；山阳储工N解 得:，故直线2 与圆。公共点为(0,1),该点的一个极坐标为(1 5).解析：(I)首先把圆的参数

30、方程转化为直角坐标方程，进一步把标准形式转化为一般式，再把直线的极坐标形式转化为直角坐标的形式.(n)利用两个方程建立方程组，解出交点坐标，最后把直角坐标形式转化为极坐标的形式.本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，解方程组的应用，点的直角坐标和极坐标的互化，主要考查学生的应用能力.23.答案：证明：（I）abW（等）2=；,当且仅当a=b时等号成立,a+b=1,a=b=,N 4.2 abV +4 8,当且仅当a=b 时等号成立,a，b,ab 2*+/2 8.(5 分)/TT、1,1.1 1.1,a+b().:+%+荔，+%+二i,i,i,i=a+b+a+b=2(a+h)(i+i)=4+2 6+4 +4lb aa b=8,当且仅当a=b=?时等号成立,T +H表 2 8.(10分)解析：（1）利用。+6=1，通过重要不等式以及基本不等式，推出2 2 4,然后证明白+专2 8；、/ab（n）利用a+b=l,利用1的代换，转 化*：+三 足+：利用基本不等式即可求证结果.利用基本不等式以及重要不等式以及“1”的代换，注 意“正、定、等”的应用.