2021届新高考地区优质数学试卷分项解析7 数列【解析版】.pdf

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1、2021届新高考地区优质数学试卷分项解析专题7 数列一、单选题1.（2021.聊城市.山东聊城一中高三一 模）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊 五 人 分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次为等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位）.这 个问题中戊所得为（）43 一3 S2A.1钱B.%钱C.钱D.一钱3【答 案】D【解 析】5a-5由题意，设丙所得为。钱，公 差 为d,结合等差数列的性质，有1 c,c 进而求戊所得.【详 解】由

2、甲、乙、丙、丁、戊所得依次为等差数列，设丙所得为。钱，公 差 为d,则：甲、乙、丁、戊分别的a 2d,a d,a+d,a+2d,由题意，5a=5，得 2a3d-3a+3da=161 2戊 所 得 为a+2d=l-=钱.3 3故 选：D.2.（2021山东高三专题练习）随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产.经统计，2020年7月 份 到12月 份 的 月 产 量（单 位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其 中7月份的产量为10吨,12月份的产量为20吨，则8月 到11月 这 四 个 月 的 产 量 之 和 为（）A.48 吨 B.54吨 C.6（）吨 D.66 吨【答 案

3、】C【解 析】利用等差数列下标和的性质可求得结果.【详 解】设2 0 2 0年 （1 1 2,6%*）的 产 量 为%,由题意可知，数列 4 是等差数列，则为=1 0，4 2=2 0，则8月到1 1月这四个月的产量之和 为%+0 9+40+6 1 =2（/+%）=6 0吨.故选：C.3.（2 0 2 1.辽宁高三一模（理）某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产3 6 0 0个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的口罩数分别为以 氏c且久 氏c构成等差数列，则第二车间生产的口罩数为（）个.A.8 0 0 B.1 0 0 C.1 2（X）D.1

4、5 0 0【答案】C【解析】根据等差数列的性质求得”,b,c,的关系，结合分层抽样的定义，建立比例关系，即可求解.【详解】由题意，从一、二、三车间抽取的口罩数分别为a、b、。且a、b、c构成等差数列，可得a+c =，b b则第二车间生产的口罩数为-X 3 6 0 0 =一 X 3 6 0 0 =1 2 0 0个.a+b+c 3b故选：C.4.（2 0 2 1湖南岳阳市高三一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2 02 1这2 02 1个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 4，则此数列所有项中，中间项的值

5、为（）A.9 9 2 B.102 2 C.1007 D.103 7【答案】C【解析】由 题 可 得=15-1 3,可判断 ,共 有13 5项，且中间项为第6 8项，即可求出.【详解】解：由题意可知，4-2既是3的倍数，乂是5的倍数，所以是15的倍数，即q 2 =15（一 1）,所以an=15 -13,当几=13 5时 4 3 5 =15 x 13 5 13 =2 012 2021,故=1,2,3,1 3 5,数列。共 有135项，因此数列中间项为第68项，且4 g=15x68-13=1007.故中间项的值为1007.故选：C.5.（2021山东青岛市高三一模）在 抛 物 线 炉 第 一 象 限

6、 内 一 点（%,%）处的切线与工轴交点横坐标记为 限,其中 eN*，已 知%=32,S“为 凡 的前项和，若加NS“恒成立，则？的最小值为（）A.16 B.32 C.64 D.128【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，即 可 得 到 用 与 勺 的关系，从而判断出 4 是以措为公比的等比数列,再根据等比数列前项和公式求出S”,得到S”的范围，即可求出.【详解】因为 y=2%2,y=4x,k=4a,所以切线：=4a“（x-a”）令 y=0,x=,：,an+,=,a,=3 2,则 q =64 H 0,有.-2 2 an 264 l-f|T z v 4 是以q为公比的等比数列，S“=

7、L ；）=128 128（；卜而2l264 4 s“1,则（）A.ax a2 B.a2 a3 C.a3 a4 D.a 0时，q+%+6+。4 4+%+6 ln（4+4+%），不满足题意；当4 一1时，等 式 左 边 4，所 以，等 式 右 边=ln（q+a 2+6）lnai 0，不满足题意，所 以，1。=2 计/+丹=2%=2 9 =5 12 .故选：C.9.(2 02 1山东德州市高三一模)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”f(x)在航空航天中应用广泛，若数列 x,J满足七+1=尤,一彳常，则称数列 毛 为牛顿数列.如果函数f(x)=x2-x-2,数列 玉

8、 为牛顿数歹I,X 2设,=l nr 且4 =1,x“2,数列 4的前项和X”+1为 S,则 S2Q2i).A.22 02 1-1C.、20214【答案】A【解析】得到r(H，计 算 加=演 一 光 十x 2然 后 计 算M,最后可得数列 4 为等比数列，最后根据公式Xn+1计算即可.【详解】由题可知：/(x)=2x-l,x“+X：f,-2 _ x j +22x-l 2x-l+2 2所以土y=2?二 一Xn+l+1 相+2+2七一1IZ+Ux i 2 x 2则两边取对数可得E 用=2.-,即4用=2anXn+1%+1所以数列%是 以1为首项2为公比的等比数列,所以邑。21=二/1=220211

9、i-q故选：A【点睛】Y关键点点睛：依 据 计 算 得 到 2=匕x-2）是解决本题的关键.Xn+1 I +1 10.（2021.全国高三专题练习（理）（文）我国古代著名的数学专著 九章算术里有一段叙述：今有良马和鸳马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐,复还迎号马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（）A.1125 B.1250 C.2250 D.2500【答案】A【解析】由题意可知，良马每日行的距离 4 以及弩马每日行的距离 2 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，良马每日行的距

10、离成等差数列，记为 4 ，其中q =1 0 3,公差4 =13.个?每H仃 为 口 制 成 等 数 列.匕 也;,-/z -9 7.-；d?=-0.5.设长安至齐为x里，贝l J a I+a 2 -a+b+b2-b9=2x,即 2x =103x 9 +9 x 8 x 132+9 7x 9-9 x 8 x Q.52=2250,解得 x =1125.故 选:A.二、多选题s11.（2021湖南衡阳市高三一模）设数列%的前项和为S,若 黄 为 常 数，则称数列 4 为“吉祥数3 4列”.则下列数列出 为“吉祥数歹 的 有（）A.hn=n B.2=（一 1）（n +1）C.bn=4/?-2 D.bn=

11、2【答案】B C【解析】按照求和方法对各个选项逐一求和验证即可得出结论.【详解】对于 A,S,=0 +；),S2n=n(l +2n),S4=2n(l+4n),S,“(l +2)1 +2所以/=C M*、=、不 为 常 数,故A不正确；S4 2(1+4 )r t(l+4n)S2n n 1对 于B,由 并 项 求 和 法 知:s2“=，%=2,五=5故B正确;对于 C,S=2 _?.x n =2n2,S9=8 n2,S4=32H2,f l 4”f tS,1所 以 黄=1,故C正确;4对 于D,S“=2(；)=2(2_I),52=2(4H-1).54=2(16H-1),所以$2 =4-1S,“6-1

12、14+l不为常数,故D错误;故选：B C.12.（2021全国高三专题练习）南 宋 数 学 家 杨 辉 所 著 的 详解九章算法商功中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第 二 层 有3个 球，第 三层有6个球，设各层球数构成一 个 数 列%,则（）A.%=1 2 B.+,=an+n+l C.al 0 0=5 0 5 0 D.2an+l-an-an+2【答 案】B C【解 析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可 得 为+=-即可判断各项的正2误.【详解】(/2 +1)由题意知：q =1,4=3,%=6,，an=+，故4,=2，.4x(4+l)

13、=w 故人错误；2*=4+1，故 B 正确；1 0 0 x(1 0 0 +1)ss 田 火al 0 0=-=5 0 5 0,故 C 正确；c /八 (+1)(+2)(+3)L,、C 山2 +|=(+1),an-an+2=-，显然 2。“+|*an-an+2，故 D 错误：故选：B C1 3.(2 0 2 1山东滨州市,高三一模)已知5“是数列 4 的前项和，且 4=。2=1，因=为 _1+2 4 一 2(2 3),则下列结论正确的是()A.数列 a.+1+a,为等比数列 B.数列 ,用 2。“为等比数列C-%=D.S2 0=|(4 0-l)【答案】A B D【解析】根据已知递推公式进行变形求解

14、判断AB.求出数列 6,前几项，验证后判断C,求出前2 0 项利可判断D,【详解】因为 an=+2an_2(7 7 3),所以 4+=2 a _1+2al t_2=2(4 _1 +an_2),又4+4=2x0,所以%+4+/是等比数列，A正确；同 理-2 a an_x+2 a“_2 an-an-+an-2 (an-i _ 2 _2)，而。2 -2%=-1 ,所以 +1-2a,是等比数列，B正确；若 为=丝苧辿，则/+,)2=3,但 4=1 工3,C错；由 A%+%_ 0是等比数列，且公比为2,因此数列4 +，%+%，%+4，仍然是等比数列，公比为4，所以 5 2 0 =（%+/）+（%+&）+

15、（%9 +a 2 0）=Z=2（4K）1），D 正确.1 4 3故选：A B D.1 4.（2 0 2 1 全国高三专题 练 习（理）已知数列 q 的前项和为S”则下列说法正确的是（）A.若 S“=2-l,则 4 是等差数列B.若 S“=2 -1,则 4 是等比数列C.若%是等差数列，则$9 9 =9 9%。D.若 4 是等比数列,且4。应 0,则S2,I-S 2 +S 2.2【答案】B C【解析】由S“求a“，根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C,取 =1时，结合等比数列求 和 公 式 作 差 比 较 S 3 与S；大小即可判断D.【详解】对于A选项，若 S“=2 -l,

16、当“22时，%=0不满足a“=2-1,故 A错误；S-S,=2,-1,n 2 ,（、对于B选项，若 S“=2 -1,则%=二 /T,由于q=l满足4=2、所以 ,是等S =1比数列，故 B正确；对于C选项，若 叫是等差数列，则 9 9 =99（；%9）=9%4 0,故 C正确.对于 D 选项，当“=1 时，S 5 3 -S；=a；（l +q +9 2）-a；（l +q）2=a 2,；不成立，所以D错误.故选：B C1 5.（2 0 2 1 辽宁铁岭市高三一模）设数列 4 满足0q g,。“+1 =4+山（2%）对 VwN*恒成立，则下列说法正确的是（）.A.121 B.4 是递增数列1 3 3

17、C.D。2 0 2 0 1【答案】A B D【解析】设，(x)=x+l n(2-x),求出/(x)导数，可得/(X)在(0,1)上为单调递增函数，得出/(0)/(力 /(；即(%1(？2),由此可依次判断各个选项.【详解】由向=%+l n(2 _a“)，0 a,-,设“x)=x+l n(2 x),则/(x)=l-,所以当0 x 0,即x)在(0,1)上为单调递增函数，所以函数“X)在(0,；)为单调递增函数，即 0)，(力 /|，B|J -=I n Ve I n 2 f(x)+l n-/=l ,所以 3“x)l,即 g a“l(N 2),则 3 1 1 3,一 生 F I n F I n y

18、一,故C 错误：22 2 2 2 3 433因此 2 0 2 0 3 -2 0 2 0 1，故 D 正确.故选：A B D.【点睛】关键点睛：本题考杳数列单调性的应用，解题的关键是构造函数/(x)=x+l n(2 x),利用导数求出单调性得出 g a“an=3 +3 +32+-+3 nEN*）用等比数列求和可得3+匚1 =3+则%3+2_3 3+2 3_=-1 222 23（31）又 3a -3 =3 3+-L2一3=9+匕工3 壬+32 2 2 2所 以an+l=3an-3,故 B 项正确:由 B 项分析可知4 =3 +21（30+1）即为 工 （2+3），故c项错误.S n=q +%+,+

19、Q 32 33-1-F,H-32(1-3)2 2=-d-=p +2-3）,故 D J贝止佛.4 2 4 4V 7故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方，认透了,钻深了，然后再上去，这就是以退为进的思想.三、填空题1 7.（20 21辽宁沈阳市高三一模）在正项等比数列应 中，%2+2 4 4+的2=1 0 0,则%+%=.【答案】1 0【解析】利用等比数列性质，将2+2牝。8+为2=

20、1 0 0,转化为%之+2%佝+a/=1 0。求解.【详解】因为火？+2a 6%+a：=1。，所以处？+2a 5 a 9 +a J =1（）（），即（4+%）2=1 0 0，因为数列 a,是正项数列，所以%+%=1 0，故答案为：1（）.1 8.（20 21河北张家口市高三一模）写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列【答案】26 （答案不唯一）【解 析】先 根 据 前3项 之 和 小 于 第3项 确 定 一 组4,4，进 而 可 得.【详 解】要满足“前3项 之 和 小 于 第3项”，则4 +。2+%，即4 +。2 0则 不 妨 设=-4,。2=-2,则=-4 +(-1)x 2=

21、2“一 6 .故答案为：2一6.1 9.（20 21河北唐山市高三二 模）设 q是 首 项 为2的等比数列，S“是 其 前 项 和.若%出+%=0,则21【答 案】1 6【解 析】根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的求和公式可求出结果.【详 解】设等比数列 q的公比为4,则，%夕3+q/=0，将4 =2代 入 得24 +1 =0 ,得q=_g,所 以 6 T.n _0 A2 7、一二1,%的 是函数,/(X)=3-6X2+32X的两个极值点，贝 I I 数歹I J 4 的前9项和是.【答案】1 0 2 2【解析】由,%是函数/(x)=$3-6/+3 2 X 的两个极值点，所以电，。

22、3 是函数r(x)=-1 2 x +3 2 的两个零点，得a2=4,%=8 ,则 4 =2 ,故前9项和可求.【详解】由 x)=g-6/+3 2 x 得:(x)=X?-1 2 x +3 2又因为a2,%是函数 x)=-6/+3 2 x 的两个极值点所以的，生 是函数/(力二炉-1 2 工+3 2 的两个零点a.+2=1 2故“因 为 4 1 所以。2=4,%=8d 二3 22（1-29）故q=2,则前9项和其210-2 =10221-2故答案为：102224.（2021辽宁高三一模（理）己知数列 为 的首项q=1,前项和为S”，且满足2+1+S=2（e N*）,则数列 a,的通项公式/=.【答案】击【解析】由已知2 川+5”=2,以一1替换再作差可得 4 的递推关系，进而可得通项公式.【详解】因为2%M+S“=2，当2 2时2%+S.T=2式减式得：又当 =1时，2 32+=2,4=；，所以数列。“是 以1为首项，公比为J的等比数列，4,=白.故答案为：与.