2021届北京市首师大附中高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析).pdf

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1、2021届北京市首师大附中高考数学模拟试卷(4月份)一、单选题(本大题共10小题，共40.0分)1.已知全集 U=0,l,2,3,4,5 ,集合 M=0,3,5 ,N=1,4,5 ,则集合 M l(C u N)等于()A.5 B.0,3C.(0,2,5)D.0,1,3,4,-5)2.设A、8、C是三个集含，则“AnB =AnC”是“B=C”的()条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要3.若。6 (0(),则函数y =l o g s in e(l -乃 2的 解 集 是()A.x 6 (l,s in20)B.x e (c o s20,1)C.x G(c o s20,|)D.

2、x 6 (1,c o s20)4 .已知样本容量为30,在样本频率分布直方图中，各小长方形的高 频率的比从左到右依次为2:4:3:1,则第2组的频率和频数分别是()A.0.4,12B.0.6,16C.0.4,16D.0.6,125.如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1,则该几何体外接球的表面积为()D.127 r6.已知定义在R上的偶函数f(x)(函数f(x)的导函数为(x)满足/(x -1)+/(x +1)=0,e3/(20 18)=1,若/(x)(一乃，则关于x的不等式/(x +2)的 解 集 为()A.(8,3)B.(3,+8)C.(一8,0)D.(0,+8)7.

3、设4 4n斗。的三边长分别是an,g，cn,418nCn的面积为Sn,?i G N*,若瓦 q,九+q=2%,bn+1=,cn+1=,则(A.S J 为递减数列B.S n 为递增数列C.S 2n _ i 为递增数列，为递减数列D.S 2n_ i 为递减数列，S 2n 为递增数列8 .一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放在这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行每列的水果种类各不相同的概率（）A.A B.B C.C D.D9 .己知而，而不共线，万=4（南+m）（/l e R）,则点P 的轨迹一定过4 8。的（）A.重心 B.内心 C.外心 D.垂

4、心10 .己知AABC是边长为2 的正三角形，则 荏.团的值为（）A.2 B.-2 C.2V 3 D.2汽二、单 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）11.若复数2 满足：忖=1 普族一库则容=_12.己知&、尸 2为双曲线C：会 卷=1（。0*0）的左、右焦点，P 为 C 上一点,。为 C 的渐近线上一点，P,Q均在第一象限，且 西 瓯=0,QF=4 Q P,双曲线C 的 离 心 率 为.13.（2%-，展 开 式 中 的 常 数 项 是.14 .设即期为实数，则 如 怫 1$/#般 =三、多 空 题（本大题共1 小题，共 5.0分）15 .已知。为的外心，AB=6,AC=10,K6=

5、x A B+yAC 且2%+6 y =3；当 =0 时，cosZ-B AC=；当 工 工 0 时，CQSZ-BAC=.四、解 答 题（本大题共6 小题，共 85.0分）1 6 .已知向量力=+/c o s%）与另=（l,y）共线，且有函数y =/（%）.（I ）求函数y =/（%）的周期与最大值；（U）已知锐角力B C 的三个内角分别是A、B、C,若有/（A-勺=%,边B C =夕，s i nB =每，求J7A C的长.17.某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为 1,2,3，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三

6、等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1,5,10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。(1)求员工甲抽奖一次所得奖金f 的分布列与期望；(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？18.在三棱锥 P-A B C 中，PA 1平面 1 4=HB=2,AC=4,。是 AC的中点，E 是线段BC上的一点，且AE=6(1)求证：DE平面PAB；(2)求点C 到平面POE的距离.19.已知函数/(X)=e*-a(x+1).(1)当a=2时,求 fQ)的单调区间;(2)求/(%)的极值.20.已知分别为椭圆l(a 6)的左、右顶点，。为椭圆E 的上顶点

7、，而 9=1.(I)求椭圆E 的方程；(H)已知动点P 在椭圆E 上，两定点N(l,-|).求 PMN的面积的最大值；若 直 线 与 NP分别与直线x=3交于C,。两点，问：是否存在点P,使得APAIN与的面积相等？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.21.已知各项均为正数的数列 an 前项和为无，首项为由,且也出上几成等差数列.(1)求数列 a”的通项公式；(2)若 匕=-2log2an,设金=空,求数列%的前(项和6.an【答案与解析】1.答案：B解析：由题意得：C y N=0,2,3)所以(0曾)=0,3 故选民2.答案：B解析：解：由4 n B=A n C,不一定有B =c,反

8、之，由8=。，一定可得4 n B=4 n c.A n B =4 n C”是“B =C”的必要非充分条件.故选：B.利用交集的运算及充分必要条件的判定得答案.本题考查集合的运算，考查充分必要条件的判断，是基础题.3.答案：B解析：解：当。6(0 卷)时，s i ne 6(0,1),函数y =l o g s m e x 递减，由lo gs b i e Q-x)2 可得，:一 /2。，解得c o s 2 0 x 2 的解集是尤 6(c o s20,1).故选B.根据。G (05)判断函数y =lo gs m e x 的单调性，然后把不等式lo gs i n e(1-x)2 转化为0 1-x A(-x

9、)=-f(x),即/(X)+o,设g(x)=exf(x),则=exf(x)+f(xj 0,g(x)在(-8,+8)上递增,由/Q-1)+/(x +l)=0,得f +/(t+|)=0 J(t+|)+f(t+3)=0,相减可得f(t)=f(t+3),f(x)的周期为3,e3/(2018)=e3/(2)=1,g(2)=e2f(2)=%/(%+2),结合f(x)的周期为3 可化为蜡-1/(x-1)i=e2/(2),g(x-l)g(2),x-1 2,%3,不等式解集为(3,+8),故选：B.设g(x)=e (x)，根据函数的奇偶性和单调性得到g(%-D g(2),去 掉“g”，解不等式即可.本题考查了函

10、数的奇偶性，单调性，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题.7.答案：B解析：解：瓦=2的一 q 且瓦J,二21-q J,a1 q,*b a12al C一Q C 0,*b,又b c Q,*20 C C Q,：C 2，由题意，bn+i+c九+i=,b?i+i+，n+i 2%i=鼻(8九 +c九-2an),A bn+cn-2an=0,bn+cn=2an=2a19：hn+cn=2ax,又由题意，%+1-d+1=吟，bn+1-(2%-bn+1)=如一丁=ai-bn,bn+1 bn)=(-1)n-1(b1-%).bn=a1+(瓦一d i)(-1)n-1 cn=2ar-bn=a1-(bj-%)(一5 f

11、=争(争 一%)学 一%(瓦 一%)(一T 争%+Si%)(一-】=|/停 一(*n T(b i-a i)2 单调递增可得 S单调递增.故选：B.由%1+1=an可知1AnB nC n的边BnCn为定值由，由bn+1+J+1-2。】=|(6n+%2an),瓦+j =2al得%+cn=2%,则在 4lB71cH中边长BnCn=%为定值，另两边41cn、4nBn的长度之和小+cn=2%为定值，由此可知顶点4n在以方、C 九为焦点的椭圆上，根据“+1-0+i=(%-勾)，得bn-cn=(一 T(瓦一 J),可知葭-+8时与t cn,据此可判断 4riB71Gl的边872Gl的高/1n随着n的增大而增

12、大，再由三角形面积公式可得到答案.本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.8.答案：A解析：试题分析：依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有4 =720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种（此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有C-C-CM =24 种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有C-C=4 种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子），因此所求的概率等于=,故选4考点：本题考查了古典概型点评：对于古典

13、概型的概率的计算，首先要分清基本事件总数及事件/包含的基本事件数，分清的方法常用列表法、画图法、列举法、列式计算等方法9.答案：A解析：解：在AB C中，分别以AB、AC为邻边作平行四边形AB OC,/连结AO、B C,由AO与 互 相 平 分，/I AB+AC=AD,/亚，不共线，屁 =4（而 +而）（4 e R），/c.万=4和 二 P-定 在 AB C 的 8 c 边的中线上，B 一 1/点尸的轨迹一定过 AB C 的重心.I/故选：A./在AAB C中，分别以4 8、4 C为邻边作平行四边形 /ABDC,则 同+而=而，从 而 酢=4而，进而 D一定在A4 B C的 8 c 边的中线上

14、，由此得到点尸的轨迹一定过 AB C 的重心.本题考查点的轨迹方程的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.10.答案：B解析：解：由于力B C 是边长为2 的正三角形，则 荏-BC=|B C|cos（7i-f i）=-2 x 2 X cos60=-4x；故选B.运用向量的数量积的定义，结合正三角形的定义，注意向量的夹角为兀-B,计算即可得到所求值.本题考查向量的数量积的定义，注意向量夹角的定义是解题的关键.11.答案：解析：试题分析：设2=需普糜，因为，忸|=N普履一4所以，有，力-抵 居窗-磁，由复数相等，得，卜 内,小 一 害，解得，故容=

15、-4 +3 i 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的相等。点评：中档题，此类问题的一般解法，是设出复数的代数形式，利用复数相等，建立方程组。12.答案:2解析：解：如图，A设Q(X o t&),F 1(-C,O),F2(C.0),N p则 强=(_ C -&,一 沁)，福=(c-一、。),_ _ _ _ _ _ _ _ _ X由 讴.弓=0，得一c2+福+捺 舄=0,即Xo=a./.Q(a,b),7 V设 P(%2 1)，则 的=(C-Q,-b)，Q P =(%1 -afyr-b)，由QF；=4 评，得(c-a,-b)=(4%-4Q,4 y l -4 b),T b =4 y i 4b，得

16、不=丁，%=7.：p在双曲线上，二 空 w-岑=1,1 6 a2 16b2则e2+6e-16=0,解得e=2.C 的离心率为2.故答案为：2.由题意画出图形，利用向量等式求出P的坐标，把 P的坐标代入双曲线方程求解.本题考查双曲线的简单性质，考查平面向量的数量积运算，考查计算能力，是中档题.13.答案:2 4解析：解：(2x-4展开式的通项公式为7升=Cr,24-r.(-l)r/4-2 r,令4 2r=0,求得r=2,可得常数项是24,故答案为：24.在二项展开式的通项公式中，令x的事指数等于0,求出/的值，即可求得常数项.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.14.

17、答案：4解析：试题分析：本题先得到x的范围，然后利用配方法将关于x的二次函数配方，进而求出最大值。解：号岸普 q屋=瞬 口 可解=it e-与斓管骸=赖士富士雷管F *式2 口 酶-谓=匏-哈-燧2哇第-蜜n?t t/A O -AC=AD-AC+DO-AC|AD|JC|cosO=5 x 1 0=50,v AV-x 通+y AC，-2 A0 AC=xAB-AC+y AC=画画COSABAC+y|初 2=60%-cosZ.BAC+lOOy,，60%-cosZ.BAC+lOOy=50,v 2%+6y=3,Q 2r 60%cosBAC+100 x=50,6 6%cosZ-BAC=x；3当 H 0时，c

18、os4 8/C=I，当 =0时，则y=g,.AO=OAB+-AC=-AC,2 2.点A,O,C共线，且点。为 AC的中点，三角形AB C是以B为直角顶点的直角三角形，BC=y/AC2 AB2 V102 62 8COS/.BAC=-；A C 5故答案为:|,|.16.答案：解：.,向量2+fc o s x)与方=(l,y)共线，aB，B p|y (|sinx+y cosx)=0,y /(x)=2sin(x+g),(I)va)=l,A T=y,v-2 2sin(x+j)即点C到平面P D E的距离为V L解析：(1)先证明E为 BC 的中点，得到0 E 4 B,即可证明结论；(2)求出 Vp-CD

19、 E =SAC DE,P 4=3 X 1 X 2 =:,由-CD E =匕:-P O E，求出点 C 到平面 P D E 的距离.考查线面平行的证明，等体积法求点到平面的距离，中档题.19.答案：解：(1)当a =2 时，/(x)=ex-2 x-2,=ex-2,令/(x)0,解得x ln2,令/(x)0,解得x ln2,故/(x)在(8,仇2)递减，在(m 2,+8)递增：(2)(x)=ex a,若a 0,无极值，若a O 则/(x)在(-8/na)递减，在(I na,+o o)递增，故 =，na时，有极小值a，na,无极大值，综上，a W O时，/(x)无极值；a 0时,/(x)有极小值-a

20、bi a,无极大值.解析：(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数，通过讨论”的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可.本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题.20.答案：解:(I)根据题意可得，Q(0,回 4(a,0),B(a,O),因 为 前 丽=1.所以(a,V5)(a,-b)=1.所以 a2 3 =1,所以a?=4,所以椭圆的方程为次+g=1.4 3(I I )(T)y/Ssina),0 a 2TT,因为N(l,-|),所以直线MW的方程为y-2 =在 氢(+1)，即3 x +2 y=

21、0,2 11所以点P到直线M N的距离为d=l 3 x 2 c*+2 x b s E a|=4 6三n竺电,V32+22 V13|M N|=J(-l-l)2+(|-(-|)2=V1 3，所以 4PMN=|-MN-d=|-V1 3 -=2 6 si n(a+，0 a2n,所以 P M N的面积的最大值为2A/T设P(&,yo)，MN=V1 3,点P到直线M N的距离由=小需叫所以SPMN=di =。|3&+2 y0|,直线A/P的方程为：y=(%+1)+I，令x =3,可得C（3,等3+1）,XQ+1 L直线P N的方程为：y=?（x-1）_|,令x =3,可得。（3,约 一|）,所以|C D|

22、=空 鳖 譬2%,出-1点尸到直线C D的距离d2 =|3-x0|,所以SM C D=弓2 =4 1絮 竽I x （3 一殉）2,因为 M P l A P C D面积相等，所以3&+2%|=；|警 誓 口（3一/）2,所以3%o+2yo=0（舍去）或|诏-1|=（3 -%0）2解得X。=去代入椭圆的方程得y0=适，3 6所以点P（l,?）或（|,一等）.解析：（I）根据题意可得，AQ QB =1，得（a,遮）（a,-遮）=1,解得a2,进而可得答案.（口）设P（2 cosa,百si na）,0 a 2TT,写出直线A/N的方程，进而可得点尸到直线MN的距离为d,由两点之间的距离公式可得|M N

23、|,进而可得SMMN=|M N|Y =2 g si n（a+0 a 即可得出答案.本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.21.答案：解：（1）由题意知1 2 an=S n+g a n。当n=1时，2 al=ax+1 a1=1.当n N 2时，S n=2即=2即_1 一两式相减得Qn=Sn-Sn_i=2an-2 an_i整理得：片=2.an-l数列 an 是以 为首项，2 为公比的等比数列.an=ar-2n-1=1 x 2n-1=2n-2.(2)W=2 一%=22Tl-4A bn=4 2n,_ bn _ 4_2n _ 1 6-8H=屋=2 =2 8 0 8 24 87i 1 6 8n7n=区+”-+wL沔=一 亨+当 一 得 加=4-8 号+专+/)一 貂=4 一 8 x 11 1 一 盆=4 (y 7-施=弟2解析：由题意知2%i-Sn+|,an 0,当n=1 时，2al=%+.当 律 2 2时，Sn-2an-g s.-i =2an,1-p利用an=Sn-Sn_i.整理利用等比数列的通项公式即可得出(2)磺=2-g=22联-4,bn=4-2 n,利用错位相减法即可得出.本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.