2021届人教a版（文科数学） 空间向 量与立体几何单元测试.pdf

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1、20 21届人教A 版（文科数学）空间向量与立体几何 单元测试1、在坐标平面内，与点A （1,2）距离为1,且与点B （3,1）距离为2 的直线共有（）A.1 B.2 C.3 D.42、过点A（-2,1,3）,且与面x o y垂直的直线上点的坐标满足（）（A）x=-2（B）y=l （C）x=-2 或 y=l （D）x=-2 且 y=l3、以下命题中，不正确的命题个数为（）已知A、B、C、D是空间任意四点，则 A+B+C+D=0若 a,b,c 为空间一个基底,则 a +b,b +c,c+a 构成空间的另一个基底；对空间任意一点0 和不共线三点A、B、C,若 0=x+y+z（其中x,y,zG R）

2、,则 P、A、B、C四点共面.A.0 B.1 C.2 D.34、直三棱柱ABC-AAG中，若a=a，函=A,工 =c,则 率=（）A.a+b c B.a c C.a+Z?+c D.a+bc5、若位标 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A.a,2b,3c B.a +）方+c,c+aC.a+b+c,b+c,c D.a +2b,2b+3c,3a-9c6、在平行六面体 ABCD ER汨 中，A G =2xAB+3yBC+3 z H D,贝 i j 尤+y +zc-iD.7、如图,在正四棱柱A B C D-A B C D 中,A A）=2,C,D.A C ,则线段P Q 长度的最

3、小值是（）._2A B=B C=1,动点P,Q 分别在线段8、已知正方体A B C D-A 1B 1C 1D 1中，若点F是侧面C D 1的中心，且A F =AD+mAB-n AAi则m,n的值分别为()1 1 1 1 1 1 1 1A.2,-2 B.-2,-2 C.-2,2 D.2,29、已知空间任意一点0和不共线三点A,B,C,若&=2&+而,则下列结论正确的是()A.0 P =O A+2O B-2O CB.0 P=-20 A -0 B+30 CC.0 P=20 A +O B-3O CD.0 P=20 A +O B-2O C10、下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是()A.点P(L-L O

4、)、2(1,2,3)的距离为(1-1)2+(-1-2)2+(0-3/=18B.点4 -3,-1,4)与点8(3,-1,-4)关于y轴对称C.点以-3,-L 4)与点8(3,-1,-4)关于平面x O z对称D.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分1 k已知勉=(L 2,3),岫=(2,1,2),1=(1,1,2),点Q在直线0 P上，那么当邮薪取得最小值时,点Q的坐标是()。金 斗 431./448,(空 4A.肩3)B.1223)C.(八勺 D.栈 勺12、已知空间向量a =（3,1,0）,B =（x,3,I）,且 _L5,则X=（）A.-3 B.-1 C.1 D.213、在长方体

5、中，A B=A At=2,AD=,E为CG的中点，则异面直线B C,与A E所 成 角 的 余 弦 值 为.14、如图,在正方体A B C D-A 1B 1C 1D 1中,M,N分别是棱C D,C C 1的中点,则异面直线A I M与D N所 成 的 角 的 大 小 是.15、已知空间四点 A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如果四边形A B C D 为梯形，则实数a 的值为.16、己知点E,F分别在正方体A B C D ABCQi 的棱B B i，CG上，且 B|E=2E B,C F=2 F G,则平面A E F 与平面A B C 所 成 的 二

6、面 角 的 正 切 值 为.17、已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).求以A B 和A C 为邻边的平行四边形的面积；若|a|,且 a 分别与冠亚垂直,求向量a的坐标.18、如图，在长方体A B C D-A 1B 1C 1D 1中,A B=3,A D=2,A A 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(D 单位向量共有多少个？(2)试写出模为由的所有向量.(3)试写出与晶相等的所有向量.(4)试写出A A 1的相反向量.19、如图，在三棱锥A-B C D 中，侧面A B D、A C D 是全等的直角三角形，A D 是公共的斜边,且A D=百

7、，B D=C D=1,另一个侧面A B C 是正三角形.(1)求证：A D 1B C；(2)求二面角B A C D的余弦值；(3)在线段A C 上是否存在一点E,使 E D 与面B C D 成 30。角？若存在，确定C E 大小；若不存在，说明理由.A20、AABC 中，A(l,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),设 M(x,y,z)是平面ABC上任一点.(1)求平面ABC的一个法向量；(2)求 x,y,z 满足的关系式.21、在正方体ABCDAIBIGDI中，求证：品 1是平面B Q C 的法向量.22、如图是圆柱体0-0 的母线，A 3 是底面圆的直径，W,N 分别是的中点，8

8、C=1,AB=A4=2.(1)求证：也N/平面ABC；(2)求点C 到平面B C M的距离；(3)求二面角8-C M-。的大小.参考答案1、答案B2、答案D3、答案B4、答 案D要 表 示 向 量 福，只需要用给出的基底a b,C表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算.解答：解:4 月 _AjA+AB=OCj+CB-CA=-a +b-c故 选D5、答 案D根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可。详解对于4:2,2瓦3 2,B:R +M b +/+2,C:怎+5 +2石+工,每组都是不共面的向量，能构成空间的一个

9、基底，对于0：0 +2瓦2 5+3乙3 2一9 2满足：3 a-=3(+2b)-(2b+3 ,是共面向量，不能构成空间的一个基底,故 选D名师点评本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题。6、答 案D .1 1v A G =AB+B C -H D 3 y =1 /.Q (1,2,3)的距离为J(1 -1 肝 +(-1 -2/+(0 _ 3)2 =3 点,A 错误；对 于 B,点 A(-3,-1,4)与 B(3,-1,-4)关 于 y轴对称，B 正确；对 于 C,点 A(-3,-1,4)与 B(3,-1,-4)不

10、关于平面x O z 对称，C 错误；对 于 D,空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，口错误.故选：B.名师点评本题考查了空间直角坐标系的概念与应用问题，是基础题.1 1、答 案 C由点Q 在直线O P 上运动，可得存在实数人使得O Q =X O P =。，入,2 人)，利用数量积可得Q AQ B,再利用二次函数的单调性即可得出.详解解：点Q 在直线。P上运动，二存在实数人使得皿=入加=(入，入，2 人)，Q A=(1-X,2-A,3-2 A),血=(2 入,1-入,2-2 人).Q A-Q B=(1-A)(2-X)+(2-X)(l-X)+(3-2 0)(2-2 人)2=4

11、 2 746 入 -1 6 入 +1 0 =6(入)+3 9,4入 二 一当且仅当 3 时，上式取得最小值，448故选：C.名师点评熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键，属于中档题.1 2、答 案 C利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值.详解由题意知，空间向量(3,1,0),6 =(X,-3,1),Ka l b,所以鼠6 =(),所以3X+1X(-3)+X1 =,即3X-3 =O,解 得X=1.故选：C.名师点评本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是

12、解答的关键，着重考查了运算与求解能力,属于基础题.13、答 案 强10建立坐标系如图，则 以1,0,0),(0,2,1),5(1,2,0),C|(O,2,2).%=(-1,0,2),AE=(1,2,1),cos _ BCi-AE _ 30f f -10 1 g li闻所以异面直线B G与A E所成角的余弦值为.14、答案 90.分 别 以DA,DC,D%所 在 直 线 为x,y,z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设D A=2,则Ai(2,0,2),M(0,l,0),A；M=(-2,1,-2),.r r AM DN(-2,1,-2)(0,2,1)N(O,2,1),DN=(0,2,1)co

13、sAM,DN)=5-3=0|AM|DN|AM|DN|nAM 1品，即异面直线A.M与DN所成角的大小是2考查目的：异面直线所成的角15、答 案9因 为 靠=(4,-8,2),BC=(8,5,7),DC=(2,-4,10-a),AD=(10,L a-1),四边形ABC D为梯形，则 还 疾，解 得a=9,此时就与病不平行.16、答 案 申如图，建立空间直角坐标系.设 D A=1,由已知条件得 A(l,0,0),EI L J,F(L J,设平面A E F的法向量为n=(x,y,z),平面A EF与平面A B C所成的二面角为。，nAE=O,I y+y=O 2由 Ln-AF=O,得-x+y+z=O.

14、令 y=l,得 z=3,x=1,则 n=(1,1,3),平面A B C的法向量为m=(0,0,-1),展 苴cos 0=cos n,m=4 ,tan 0=3.17、答 案(1)78(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)试题分析：(1)先写出两边表示向量坐标，再由向量夹角公式求角A的余弦值，由同角关系求角A的正弦值，再由面积公式可求解。(2)设！=(x,y,z),由向量垂直则数量积为0,待定系数法求得向量!坐标。详解(1)由题中条件可知,溟(-2,-1,3),辰=(1,-3,2),ABAC-2+3+6 1所以 =|的|曲|板x屈2于是 sin=2.故以M和扇为邻边的平行四边形的面积为S=

15、|AB|AC|sin=i4x 2=7湎.,2x +y2 +z 2=3c,-2x-y+3z=0,设 a=(x,y,z),由题意得I x-3y+2z=0,(X=1,/X=-1,y=1,或卜=-1,解得z=l z=-1.故 a=(l,1,1)或 a=(-l,T,T).名师点评-T-a b-cos=r-a,b 0,n-求平面向量夹角公式：|a|-|b|,若2=%4/1)力=2以222),则“x1x2+y1y2+z1z2 一cos=,=e 0,n2 2 2 2 2 2JX+y +Z .*2 +y2+Z2 o18、答案:：(1)根据定义模为1的向量即为单位向量(2)在长方体中求出对角线长为拈，即可写出所求

16、向量(3)根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出(4)大小相等，方向相反的向量即为相反向量.详解 模 为1的向量有A1A，AA1，B1B,BB,C1C,CC1，D1D,DD1,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为6因此模为拈的向量为AD】，DiA,ARDA,BC,CB,BC,CB-T-(3)与向量AB相等的向量(除它自身之外)为AB,DC及D J(4)向量AA1的相反向量为A】A,BIB,CC,DD名师点评本题主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，属于中档题.19、答案(1)坐标法，以D为原点，直线DB,DC为x,y轴，可得於万A=0.AD1BC(2)

17、平面ABC、ACD的法向量取m=(l,1,-1)、n2=(l,0,一1),可得/、_ Rcosxfii,r)2.3(3)存在，CE=1.设E(x,y,z)可 得 及=(x,1,x),又面BCD的一个法向量为n=(0一 ,0,1),由cos )E,n=cos 6 0 o,得x=.CE=1220、答案(1)设平面ABC的法向量n=(a,b,c),班=(2，4,1),AC=(2,2,1),n-A B=2a+4b-c=0.C=b 0*（1 0,1）=0,所以就1，师 1，A C j l C B p又 B i D G C B 尸 B i,所以或1是平面B,D）C的法向量22、答案证明见；（2）百；（I

18、I I）-6试题分析：以。为原点，C 3,C A C C 分别为x,y,z 轴的正方向建立空间坐标系,（1）平面ABC的法向量可取a =（0,0,1）,由 x 丽 =0,从而得证;(2)求出平面B C M的法向量疣=（0,1,-，利用d求解即可;（3）求 出 平 面 的 法 向 量 成=（2 6,1,6），平面C C M的法向量可取4=（1,0,0）,由c o s（,巧）求解二面角的余弦值即可.试题因 为 是 直 径，所以B C L A C,A C =6,又母线 C C LAB C,所以 CC L BC,C C l A C o以。为原点，CB,CA,CC 分别为x,y,z 轴的正方向建立空间坐

19、标系，可得各点坐标如C(O,O,2),A(O,O),/?(l,O,O),A(O,/3,O),M(O,l),7 V l 1,0,1平面AB C 的法向量可取 =（0,0,1）,丽=因为e x 颉=0,且M N不在平面AB C 内，所以M N/平面A B C.、fn x (J13=0%=。设平面B C M的法向量沅=(“z),则6嬴=o n 0+.0取 y =1 得根=(0,1,-6)点C 到平面B C M的距离即向量页在法向量上的投影,，的 可/2G2一f f i x BC=0 x +2 z =0设平面3 cM的法向量“=(x,y,z),则 力*而_ 0 =(6-0取 y =l 得 加=(2 6,1,6)平面C C M的法向量可取0=（1,0,0）,所以c o s 怎，石）=等=乎,TT易见二面角是锐角，所以二面角3 C M C 的大小是6