2021届新高考数学1月大数据模拟卷05（上海专用解析版）.pdf

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1、2021年1月高考大数据精选模拟卷05数学上海卷（考试时间：1 2 0 分钟试卷满分：1 5 0 分）姓名 班级 考号注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.测试范围：高中全部内容.一、填 空 题（本大题满分5 4 分）本大题共有1 2 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.每个空格填对得4 分，否则一律得零分.1.已知全集

2、U=R集合4 =yB =y l y=4 x+1 ,那么 A&8)=【答案】（F,0）【解析】因为全集。=1 1，集合A =x|x l ,所以电8 =y|y l,所以 A（Q/）=（-o o,0）.故答案为（-a）,O）；2 .不等式卜l|a 的解集为（0,2）,则。的值为一【答案】1【解析】|x-l|-x-l ,解得la x的侧面积为【答案】80【解析】正四棱锥的底面边长为2,高为 近，则侧面的高为/z =，（、万+=2啦,所以侧面积为S =4 x；x 2 x 2收=8近.故答案为：8夜5 .i是虚数单位，若z+B =8+4 i,则2=【答案】3 +4 i【解析】设复数z =a+b i,（a,

3、b e R）,ijiij|z|=|a bi=y/a2+b2.所以 z +同=a +J a?+b?+bi=8+4 t a+la2+b2-8 a =3所以根据复数相等得：,解得，所以z =3+4 i,故答案为：3 +4 i6=4 也=46 .德国心理学家艾宾浩斯（H.E bbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢.他认为 保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节（由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作为记忆材料.用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲

4、线（如图所示）.若一名学生背了 1 0 0个英语单词，一天后，该学生在这1 0 0个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为I个月后天后1小时6【答案】0.3 8【解析】根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得1 0 0个英语单词，一天后，忘记了 7 4个，还记得2 6个,则该学生恰有1个单词不会的概率P =Goo*0.3 8 .故答案为0.3 87.已知双曲线c：5=1 3 0,。0)的左焦点为 尸，以。尸为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于a b不同原点。的 A,B 两点，若四边形A O B F的面积为则双曲线C 的渐近线方程为【答案】y=xb【

5、解析】根据题意，O A Y A F,双曲线C 的焦点 F 到 C 的一条渐近线y=-x 的距离为abe a1+二b,则|A F|=，所以|Q A|=a,所以ab=L(a 2+)，所以2 =i,所以双曲线。的渐近线方程为y=x.2、/a故答案为，=x8.边长为2 的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中5，)分别为A C，C E 的中点，N 为G D 与C77的交点，则 A N-E G=7【答案】一一2uuw uni uum uun i uuir【解析】由已知得AN=2AB+CN=2A 3+A H,2UUll uu u nu n UUU UUU UULl UllU UUIU uuu uuuE

6、G =-D E+D G =-A B +C H =-A B +A H -A C =-3 A B +A H，所以uum uuu(uu i uuir uun uuir uuir i uun uuir i uuirA N E G=2 A B +-A H -3 A B+A H)=-6AB2+-A B A H +-A H|2.因为等边三角形的边长I 2 J 2 2UL 皿 uun i i 7 7为 2,所以 4V-E G =-6 x l2+x lx 2 x +x 2?=-.故答案为：一 一2 2 2 2 2UUU UUU UUIU正方形ABC。中，点 P 在以C 为圆心且与直 线 相 切 的 圆 上 运

7、动，若 A尸=4A3+MA(其中4,e R),则4+的取值范围是【答案】1,3【解析】设正方形ABCO的边长为2，以点A 为坐标原点，A B、A D 所在直线分别为X，)轴建立如下图所示平面直角坐标系,则点4(0,0)、8(2,0)、。(2,2)、0(0,2),直线B D 的方程 为 尹 卷=1，即x+y-2=(),点C到直线BO的距离为2=2=3,则以点C为圆心且与直线8D相切的圆C的方程为(x 2)2+(y 2)2=2,/f-r-inui uuu uuiu设点0的坐标为(2+5/2cosa2+/2sine),由 AP=AAB+JUAD得(2+0 cos 4 2+&sin 6)=4(2,0)

8、+/z(0,2)=(22,2),4=1 +COS02I&Au=Id-sin 夕2所以，丸+=也sm e+交2 2cos6+2=s in。+?|+2,所以 +的取值范围是1,3.7故答案为：1,39.将函数/(x)=cosx的图像先向右平移*万个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的65(0 0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，若函数g(x)在(三 当)上没有零点，则的取值范围是_【答案】H u r l【解析】将函数 X)=cosx的图像先向右平移w万个单位长度，得到y=cos(x-丁)的图像，6 6再把所得函数图像的横坐标变为原来的工(。0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=co

9、s(yx-C O 6 J2万(0 0),周期7=,con 3737r 7r T 27r上没有零点，所 以-一，得T N 2兀，得一2 2九,2 2 2 co故答案为（o,!2 8359,u10.已知直线/：y=l与y轴交于点M,Q为直线/上异于 的 动 点，记点。的横坐标为毛（毛。0）若椭圆：5 +y2=l上存在点N,使得NMQN=45。，则毛的取值范围是.【答案】F-1-A/3,0）U（0,1+V3【解析】设若QN的倾斜角为4 5 ,则直线方程为y-l=x%,即y=x-x0+l,111-y x-x0+lx2 2 1+V =1I 2-,消去y得,3x?+4（1 x（）x+2xj 4x（）=0,

10、所以 =16（1 -玉）2-12（2*一4/）2 0,解得1 百4%41+百,若。N的倾斜角为1 3 5,则直线方程为）-1=一（%一/），即y=-x+x0+l，111*）=_*+/+1/2 1+V =1 2,消去 y 得，3x2 4（1 +x（）x+2x（；+4xa=0,所以 =16（1 +x0）2 12（2x；+4/）2 0,解得-1-V 3 W/4-1+6,当/=0时，。与 重合，不合题意，综上，4的取值范围是 一1一6,0）。（0,1+6 .故答案为：一1 G,0）D（0,1+6 .11.函数/（x）=J匚/，一g *g的图像绕着原点旋转弧度。（0。,若得到的图像仍是函数图像,则。可

11、取 值 的 集 合 为.【答案】0,-U ,713 3【解析】图（3）图（4）/（X）的图像为如图（1 ）所示的一段弧,弧所在的圆的方程为：f+y 2 =1,其中A 1立2司，呜,在图像绕原点旋转的过程中，当B从 图（1）的位置旋转到（1,0），如 图（2）所示，根据函数的定义，在这7F个旋转过程所得的图形均为函数的图像，故在图像绕原点旋转的过程中，当 8从 图（2）的（1（）位置旋转到无轴下方，而 A在X 轴上，如 图（3）所示，J r 27r根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图像，故一 6（一 不 符合.3 3在图像绕原点旋转的过程中，A在左轴下方，如 图（4）所示，根据函

12、数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图像，故 系 W6W）符合.故答案为：0,1 u12.已知函数“X）定义在R 上的偶函数，在 0,+8）是增函数，且/任+分+4w/（2 x2+4 x+l）恒成立,则不等式峭工之科*-2的解集为.【答案】1【解析】由于函数“X）定义在R上的偶函数，在 0,+8）是增函数,ill/(X2+ax+bf(2x1+4x+l)可得/|x2+ax+/?|f(2x2+4x+l。，所以,x2+ax+k|2x2+4%+1|,解方程 2炉+4x+1 =0可得玉-2+V22-2-V2令8()=/+以+/7,则8-2+0、I 2,KO,g-2-0、2)22-2.n2,所以，一

13、 =玉 +%=-2,1匕=%工2 =-2x2 2x+2-1x2 2x+2 因为x?2x+2=（x+1 2 1,-1 sin 0,f(rc)0,故排除 B,C.故选：D14 .已知公差为d的等差数列 为 的前项和为S.,则“S“一 。”1,e N*恒成立”是“d0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 I).既不充分也不必要条件【答案】C【解析】S“_ na“=蓝 -nan=()0 a 0,“S 一/1,e N*恒成立”等价于“(八-1)。0”对于 1，e N*恒成立，显 然“(-1)。0”对于“1,恒成立，等价于“。0”，二“S 一 4,1,恒成立”是“d0”的充分必

14、要条件；故选：C.x+y-2 0P.V(x,y)eD,2x-y+2 其中真命题x-1的是：A.P R B.P2,P3 C.P2,P4 D.P3,P4【答案】Cx +y 2 4 0【解析】实数x,y满足 0A(2,0),8(0,2),C(-1,3),z =x +y经过可行域的点A及直线8。时分别取得最值，可得：z e -2,2,所以错误：4 =2 x-y经过可行域的5、C时分别取得最值，可得：-5,-2,所以鸟正确;Z2=,它的几何意义是可行域内的点与(1,-1)连线的斜率,一 X-1可得：DA的斜率是最大值为：-g；BO 的斜率取得最小值为：3；z2 e：所以 A 错误；Z 3=f +/，它的

15、几何意义是可行域内的点与(0,0)连线的距离的平方，最小值为原点到直线y=x +2 的距离的平方:(-M=)2=2,最大值为O C的平方：(1 -0)2+(3-0)2=10,Z 3 G 2,10.所以巴正确；故选:C.16.在平面直角坐标系中，定义d(A,8)=m a x|x-电为两点A(x，yJ,5(七,%)的“切比雪夫距离”，又设点。及/上任意一点。，称(P，。)的最小值为点。到直线/的“切比雪夫距离”，记作d(P,/),给出下列三个命题：对任意三点A、B、C,都有d(C,A)+d(C,5)2 d(都5)；4已知点尸(3,1)和直线/：2 x-y-l =0,则d(P,/)=；到定点M 的距

16、离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个【答案】C【解析】对任意三点A、B、C,若它们共线，设 A(x-y)、B(X2,%),C(x3,为)，如图，结合三角形的相似可得 d(C A),d(C,B),d(AB)为 A N ,C M、A K，或 C N ,B M，B K ,则C A)dB)d 明若 B，C或 A，C对调，可得4(。,冷+(。,8)之(48)：若 A，B,C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，如图,由矩形 C M N K 或矩形 B M N K ,J(C,A)+c/(C,B)d(A,B)；则对任意的三点A，B

17、,C,都有(0)+(。,8)2 4(48),故正确;设点。是直线y=2x 1上一点，且Q(x,2x-l),可得 d(P,Q)=/m x|x 3|,2-2x,由|x-3|2|2 2x|,解得即有 d(P,。)=|x -3,5 4 5当时，取得最小值一；由|x 3|或无 一1,即有或P,Q)=|2x 2|,3 3 344尸 的范围是(3,+0 0)。(,+8),无最值；4综上可得，P,。两点 的“切比雪夫距离”的最小值为；故正确；假设定点M(0,0),到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等且距离为1 的点为Q(x,y),则到定点”(0,0)的距离为1 的点。的轨迹为单位圆；到M 的“切比雪

18、夫距离”的距离为1 的点Q,所以MMQ)=E 用M u即器:晨器9显然点0的轨迹为正方形,所以只有四个点(1,0),(0,i),(T,o),(o,-1)符合要求,故错误；故选：c三、解答题(本大题7 4 分)本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1 7.(本题满分14 分)本题共有2 个小题，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8分.如图，已知四棱锥 A8CDE 中，A B =8 C =2,N A 6 C =120,A E =2瓜 C D/B E,BE=2 C D =4,NEBC=60E（1）求证：E C _ L平面ABC；（2）求直线AO与平面A B

19、 E所成角的正弦值.【解析】（1）在三角形ABC中，由余弦定理得A C =V22+22-2X2X2XCOS120=2百 在三角形BCE中，由余弦定理得 EC=V42+22-2 X 4 X 2XCOS60=2 6 所以 CE2+CA2=EA2,CE2+CB2=EB2,所以 EC，C 4,E C _ L C 8.而C 4 c C B =C,所以 E C _ L平面 ABC建立如图所示空间直角坐标系C 到z,则C（0,0,0）,E（0,0,2 6）,4 2 6,0,0）,B（V 3,l,0）,所 以 罚=（-8,1,0），费=（-26,0,2也）,U送U1=（一61,2石）UIHI 1 u u r,

20、CD=-B E26,-3,百,27（7 3 1 r m11所以。,ADI 2 2 J设“=（x,y,z）是 平 面 的 法 向 量，则r v u i w n-AB=-y/3x+y=0 1（厂、v uuy i-厂 取 =加A E =-2 岳+2 任=0 7设直线AD与 平 面 所 成 角 为。，则s i n。u u m rAD n-GOT-rAD-n18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m,（1）设NBOD=e,试将乙表示为夕的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义.4 八

21、 2 n八 2 2 2 2（s i n 6 +c o s e）八（八兀、【解析】（1）A 0 =-BO=L=AO+BO=-+-=-,0,c o s。s i n e c o s。s i n。s i n O c o s。I 2）（2）设工=$足6 +（：0夕=05 11 8 +7）,G 0,y j ,则 X （l,夜 ,丫2 _ j 4 x所以，s i n Bc o s。二一-,此时L（元）=二-任取予 干（/1,四r-,且凡，ri）-ri3）=声4xi一 可4X入2;4%_心&一+11）因为 X|、x2 e（l,V 2j,且玉 X 2，所以后 T）0,4X,X2（X,X2+1）0,故 不）一 天

22、）0,即L（x）在时是减函数，所以41b l=4万入最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过4夜 加，否则，铁棒无法通过.也就说,能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 0加.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知抛物线G :炉=2/2（m（），。2:丁=2 m（。）的焦点分别为月，鸟，且4/m=l.（1）当|耳国最短时，求直线 入 的方程；（2）设抛物线G，异于原点的交点为。，过点。作直线AB，分别交G，G于A，B 两 点,其中直线AB的斜率 0,且点。为线段AB的中点.当H即最短时，求抛物线G，G的方程.【解析】（1）任用=Jok

23、+O4等号当且仅当根=时成 立.此时22 m =XQ 1，于是6：/=焉 ,。2：/=下.耳心的方程为4 x+4 y-l =0.设。（事,为），则 卜 厂2 m y，解得%=L进一步%=2X o X。设 A（%A，%），设 他:y 一-=左率 T 0）,代入G ：%2=x；y得：_ 点1 +媪 一 片=（）,于是/+与=塌，xA-xo=k X o-X o,解得XA=A -X（）.（2 2 1 11c直线A3的方程可化为x-x 0=7 y-一，代入。2：，=二 彳 得：V 一 一y +T 一 =于是k xQ J x（）Xqk 5）x（）1 1 1 1 1 1 1 1 2%+丁疏，%.丁 西T孑解

24、得 犷 疏 一 二 /=高F嬴+%所以 4 +4 =V T T_/-+收=2%,整理得 1 :2 a=%（2 叱），k/k k2xl、7即 1一2而：=2攵2 M一43若.令 =点：3A/2,X。v X。所以|4却=2|4 260,当且仅当x；=l时等号成立.所以2 m=2 =1,此时q：f=y,C2:y2=x.2 0.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分4 分，第 2小题满分6分，第 3 小题满分6分.3已知数列 q 是公差不为0的等差数列，4=,数列也 是等比数列，且4=4也=一生，4 =%，数列也 的前项和为S.（1）求数列也 的通项公式；b.,n5,设C“=。，求

25、匕 的前项和小8%,2 6（3）若AS“一对eN*恒成立，求3 A的最小值.【解析】（1）设数列 4 的公差为d，d w O,因为数列 是等比数列，所以以=力 也，所以=4%，所以（4+2 4）2 =4（4+3。），所以&储+4d2=0,因为#（）,所以4+4 4 =0,3 3 3又 巧=一，所以d=，所以仇=q=-,数列也 的公比2 8 2b?-%(4+2 d)qh ax4I c /1 1 .3=-1-2 x(-)=-,所以么=&q T=j X今 z 23(2)由(1)知b=x3 3 3 15，an =a+(n-l)J =-=+，2 o o o3x所以=2“一1,n5，当1 63m)_&i

26、q1-当之6时,1丫+(1)(-3 +15一3)=2+2”盟,2)2 2 2 32所以=,1 1丫，当为奇数时,/()=1 +i v 0,且/()递减，可得2)/()的最大值为/(1)=-,6当为偶数时，)=1In市 。,且,递 增,可 得 小)的最小值为，=47 5 1所以/()的最小值为 ，最大值为二，因为A 0,/()0,且/讨 根(/升)，则称函数/(X)为“速增函数”.(1)试判断函数/；(x)=f与 力(x)=l o g 2(x+l)是否是“速增函数”；(2)若函数g(x)=2=1 +2。(2一 -1)为“速增函数”，求”的取值范围；(3)若函数/(可 为“速增函数”，且/(1)=

27、1,求证：对任意xe(2 i,2&)p e N*),都有小)-W2x【解析】(1)对于函数工(幻=/，当加0,n 0 0 4.工(施)=病0,0,又 ft(m)+fi()一 /(z +)=m2 +？一(z +)2 =2mn 0,所以(加)+于、()l o g 2 3=(m +)，故力(X)=log2(%+1)不是 速增函数.(2)当 0，m0 时,由 g(x)=2*l+2a(27 1)是“速增函数”，可知 g(n)=2 1 +2a(2 1)0,即(2 1)(2-2a)0 对一切正数 恒成立,又2-1 0，可得2a 2对一切正数恒成立，所以a 44.2由 g()+g(ni)0,即 2n(2m-l

28、)-(2m-l)+2a(2-m-l)(2-n-l)=(2 1)(2 1)+2a(2-m-l)(2-n-1)=(2m-1)(2-1)+2a-2-,n-n(2m-l)(2n-l)0,故(2m-l)(2n-l)(2m+n+2 a)0,又(2n-l)(2m-l)0,故2+2a 0，由2+2a0对一切正数？，恒 成立，可得2a+l 0,即aN-2.2综上可知，。的取值范围是-!4 .2 2(3)由函数/(x)为“速增函数”，可知对于任意正数加，,都有/(0,f(n)0,且/(附+/()2/(相)，即，,，一、，2,故时于正整数上与正数加，都有叱对任意xe(2T,2 )/e N*),可得,e(2”,2 i),X2k x所以 f(x)f(x-2*T)+/Q i )f(2k-)2k-/(1)=-,同理/(-)f(2-k)-/(2-l)/(2-4)2 /(1)=2T 2,故/(x)x x x x 2 x/(2%)八2加)：2f(2k2m)f(m)又/=1，