2021-2022学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷（解析版）.pdf

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1、2021-2022学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .如果直线人的斜率为2,A1/2,则直线，2的斜率为（）D.-22 .已知空间向量1=（1，0,1）,E=（2,0,-2）,若，=2，则k的值等于（）3 .圆C i：/+炉+2户2厂2=0与圆C 2：/+产-6/2）叶6=0的公切线有（）条4 .阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,则椭圆的面积公式为S=m也 若椭圆C的离心率为虐，面积为8

2、m则椭圆C的标准方程为（）-4 -=-4-12 4 12 4直线 y=&+l 截 圆(x -1)2+(y -4)2=4 所得弦长|A8|=(3D.2M6.如图，四面体O-AB C,G是底面 4 8 C的重心，示_ 一 不 二 斤_，则0 G=（）UA-a，UD-b，UC-c 3A-笳亭卷C B-充卓专c-於率亭 D-fa4b4c2 27.已知点尸是椭圆C：孑，-l（a b 0）上一点，点 Q、乃 是椭圆C的左、右焦点,若 P K B的内切圆半径的最大值为。-c,则椭圆C的离心率为（）A.返 B.返 C.返 D.返3 2 2 38 .如图，平面。AB _ L平面a,OAu a,O A=AB,N

3、OA3=1 2 0.平面a内一点尸满足P A，尸8,记直线O P与平面OAB所成角为。，贝I J t a n。的最大值是（）D4二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.到 直 线2 x+y+l=0的距离等于返的直线方程可能为（）5A.2 x+y-1=0 B.2 x+y-2=0 C.2 x+y=0 D.2 x+y+2=01 0.直线/：a x+y=0和圆C：/+y 2+a r+b y=0在同一坐标系中的图形不可能是（）1 1.B.7厂、世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星

4、，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F（l,0）,直线/：x=4,动点尸到点尸的距离是点尸到直线/的距离的一半.若某直线上存任这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）2 6A.点 P 的 轨 迹 方 程 是?+y 2=1B.直线小 x+2），-4=0 是“最远距离直线”C.平面上有一点A（1,1）,贝 IJ A|+2|PF|的最小值为3D.点 P 的轨迹与圆C：（+产-合+方=0 是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCC-A/C 0 1,其中，以顶点4 为端点的

5、三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是（）A.（A A 7+A B+A D）2=2（A C）2B.B Q 与 AC所成角的余弦值为逅6C.与平面ABC。所成角的余弦值为哮3D.4。到底面A B C D的距离为四3三、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分。13.已知点A（-3,2）,8（1,3）,直线/过定点（-2,0）且直线/与线段4 8 有公共点，则直线/的斜率&的取值范围是.14.已知点P（x,y）满足f -8x+V-4y+16W0,则工的取值范围是.xJT15.如图，在直三棱柱ABC-AIBIG 中，Z B A C-,A B=A C=A A ,已知G 与 E

6、 分别为4 8 和 C G 的中点，。和 F 分别为线段AC和 AB上的动点（不包括端点），若 G。LE F,则线段O尸的长度的平方取值范围为2 八16.设 P 是椭圆M：。+/=i 上的任一点，七 厂为圆M x2+(y-2)2=1的任一条直径，2 了则 而 而 的 最 大 值 为.四、解答题：本题共6 小题，共 74分。解答过程应写出文字说朋、证明过程或演算步骤。17.已知直线小 ax+(。+2)y+l=O,h：x+ay-1 =0.(1)若/1JJ2,求实数的值；(2)若 一 求 1 与/2之间的距离.18.在平面直角坐标系 xQy 中，A(-I,5),B (-2,-2),C (5,5),圆

7、 M 为aABC的外接圆.(1)求圆 的标准方程；(2)过点尸(7,2)作圆M 的切线，求切线方程.2 2 119.已知椭圆C：三&-l(a b 0)的离心率e*，椭圆C 过 点(2,0).a*/2(I)求 C 的方程；(H)斜率为微的直线/与C 交于A,B两 点,已知尸(2,I),求PA8面积的最大值.20.中国是风筝的故乡，南方称“鹘”，北方称“莺”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱I t P-A B C D,其中 AC_L8O 于 0,O A=O B=O D=4,OC=8,PO_L平面 ABCD.(I)求证：P D 1 A C；(2)试验表明，当POOA时，风筝表现最好，求此时直线尸。与平

8、面PBC所成角的正弦值.5-2 1 .如 图，正方形A 8 C O 所在平面与平面四边形A B E F 所在平面互相垂直，4 8 E 是等腰直角三角形，AB=AE,F A=F E,N 4 E F=4 5 .(1)设线段C D、AE的中点分别为P、M,求证：P M平面8 C E；(2)求二面角F-BO-A所成角的正弦值.2 2 .如图，椭圆：号三=1(a b 0)的离心率为e,F”乃分别是其左、右焦点,az I/过尸2 的直线/交椭圆于点A,B,P 是椭圆上不与A,8重合的动点，。是坐标原点.J T(I )若。是 PA 3 的外心，Z P A B=f求 e的值；4(I I )若乃是 PA B 的

9、重心，求 e的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如 果 直 线 的 斜 率 为2,则直线/2的斜率为（）A.B.2 C.D.-22 2【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出结论.解:直线人的斜率为2,/山2,则直线/2的斜率=-4,故选：A.2.已 知 空 间 向 量（1,0,1）,石=（2,。，-2）,若a W+E）（之 一 左 石）=2,则k的值等于（）A.-B.-1 C ,-D.5 5 3 3【分析】求出 kZ+E=（%+2，0,k-2）,Z-kE=（1-2鼠 0,1+2%）,由（右+E）

10、（=2,列方程能求出七解：空间向量彳=（1,0,1）,（2,0,-2）,*k-a +b=（Z+2,0,Z-2）,-k b=（1-2%,0,1+2A）,;（&a+b）（a-&b）=2,（心+E）（-）=（A+2）（1 -2k）+（八 2）（1+2%）=2,解得k=-1故选：D.3.圆 G：f+V+Zx+Zy-2=0 与圆 C 2：f+V-6 x+2）%6=0 的公切线有（）条A.1 B.2 C.3 D.4【分析】把两圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，根据两圆的圆心距与两圆半径的关系判断两圆外切，确定公切线有3条.解：圆G：/+）2+2x+2y-2=0化为标准方程是（x+1）2+（j+1）

11、2=4,其中圆心为G(-1,-1),半径为n=2；圆C 2：f+y2 3-6x+2y+6=0化为标准方程是(x-3)2+(y+l)2=4,2 2 2 2所以椭圆的方程为：工 _ 且 _ 二1或 匚16 4 16 4故选：A.5.直线 y=:+l 截 圆(x-1)2+(y-4)2=4 所得弦长|A B|=()3A.1 B.V3 C.2 D.273【分析】首先写出直线的一般式方程，然后利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，最后求解弦长即可.解：直线方程即4x-3y+3=0,其中圆心为。2 (3,-1),半径为 2=2；两圆的圆心距为|GC2|=3+1=n+2圆C 与圆C2外切，公切线有3 条.

12、故选：C.4.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为跖b,则椭圆的面积公式为S=TK必.若椭圆 C 的离心率为返，面积为8 m 则椭圆C 的标准方程为()2A.2 2 2 2仁上=1或 工 用16 4 16 4B.2 2 2 2江 上 口 或 工 上=116 12 16 12C.2 2 2 2或匚/门12 4 12 4D.2 2 2 2言学喈左1【分析】由题意可得离心率即a,C 的关系，椭圆面积可得“，匕的关系，再 由 a,b,C的关系求出椭圆的方程.解：由题意可得二二叵，8ir=iu也即 ab=8,a1=b2+c2

13、1解得：a2=1 6,加=4,a 2圆 心（1,4）到直线4x-3y+3=0的距离d-性?-*3-二1，V16+9弦长为244-1=2.故选：D.6.如图，四面体。-ABC,G 是底面 A 8C 的重心，示U A -a，UD-:b 7U C7-c ，则3枳=（）A-笳亭亭 B-方卓堂c-拳亭亭 D-fa4b4c【分析】由三角形重心的性质和空间向量基本定理、中点的向量表示，可得结论.解：四面体0-A 8 C 中，G 是底面 A 8C 的重心，连接CG并延长，交 A 8 于。,则。为线段4 8 的中点，Q D=-（丞+岳），由玩=2说 可得而一5=2 （而-而）,则 而 岩 （0 C+20 D）左

14、 玲X 4 b 0）上一点，点 F l、尸 2是椭圆c 的左、右焦点，若PR E 的内切圆半径的最大值为。-。，则椭圆。的离心率为（）A.返 B.返 C.返 D.返3 2 2 3【分析】先求出PFIB 的面积的最大值，设三角形的内切圆的半径，再用内切圆的半径与边长的关系求出面积的表达式，进而可得半径最大时的半径的值，由题意考查a,c 的关系，进而求出椭圆的离心率.解：设 的 内 切 圆 的 半 径 为r,则5&*2=当尸声2卜|片区a2Cm=儿，而 S A PF.F-=（|P尸 1+IP F2I+IF1 尸2I）T=（2a+2c）,r=（a+c）r,2 2所 以（+c）rWbc,所以a+c由题

15、意可得3=a-c,a+c即 hc=a2-b2=c2f所以 c=b,可得 a2=b2+c1=2 h2f 即 Q=可得离心率e=-=Y 0,a V2b 2故选：B.8.如图，平面。AB_L平面 a,O Atza,O A=AB,ZO AB=2 0 .平面 a 内一点 P 满足 P 4V P B,记直线。尸与平面OAB所成角为仇 则tan。的最大值是（）A.返 B.C.返 D.12 5 4 3【分析】过B作B H A.O A的延长线，垂足为H,连 接PH,OP,取A H的中点E,连接P E,过点P作尸尸，。4,垂足为F,由已知证明NAOP就是直线OP与平面0 A 8所成角0,再证明PALP”，可得点P

16、的轨迹是平面a内以线段A H为直径的圆（A点除外），设OA=a（a 0）,由已知可得AB=a,A H=,PE=豆，当且仅当PE_LOP,即O P2 4是圆E的切线时，角0有最大值，tan。有最大值，再由tanO=器 求 得tan。的最大值.解：如图，过B作的延长线，垂足为”，连接P H,OP,取A H的中点E,连接P E,过点P作PF L O 4垂足为F,.平面0A8_L平面a,且平面O4BC平面a=OA,BHu平面。AB,PF ua,：.B Ha,P F J _平面 O A B,.O P 在平面O A B 上的射影就是直线O A,故/AOP就是直线OP与平面0 4 8 所成角0,即 ZAO

17、P=G,：A P ua,：.PA1B H,又；PAL PB,P B C B H=B,平面 P B”,则 P A _L P H.点P的轨迹是平面a 内以线段4,为直径的圆（A点除外）.：O A=A B,且N O 4 B=1 2 0 ,Z B A H=60 ,设 O A=a (a 0),则 AB=a,从而 4 H=A 2*cos6 0 当且仅当P E _L O P,即 OP是圆E的切线时，角 0有最大值，tan。有最大值.tanO 的最大值为.P E P E0 P 7OE2-PEa,=4 V 6J（a铲/二、选择题：本题共4 个小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

18、目要求。全部选对的得5 分，有选错的得。分，部分选对的得2 分。9.到 直 线 2 x+y+l=0 的距离等于近的直线方程可能为（）5A.2 x+y-1=0 B.2 x+y-2=0 C.2 x+y=0 D.2 x+y+2=0【分析】设所求直线的方程，由平行线间的距离公式求出参数的值，进而求出直线的方程.解：设直线为2 x+y+c=0,且C$1,由平行线间的距离公式可得匹=卜/1,5 V 22+l2解得c=0或2,所以直线方程为；2 x+y=0或2 x+y+2=0,故选：C D.【分析】联立直线和圆的方程，得到它们交点的个数，从图中判断即可.解：联立直线和圆的方程，两式相减得到/+产=0,即x=

19、y=O,于是直线和圆只可能有一个 交 点（0,0）,结合四个选项，只有。正确,于是不正确的为A 8 C.故选：AB C.1 1.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点尸（1,0）,直线/：x=4,动点P到点F的距离是点P到直线/的距离的一半.若某直线上存任这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）2 6A.点P的轨迹方程是+y 2=iB.直线h x+2 y-4=0是“最远距离直线”C.平面上有一点A （1,1）,则I P A I+Z I

20、 P Q的最小值为3D.点P的轨迹与圆C：r+y2-2 1-+-=0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）【分析】对于A，根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解，对于3,联立直线与椭圆方程，即可依次求解，对 于C,过 点P作尸8垂直直线/：x=4,垂足为8,则由题可得，PB=2 PF,贝 I J|P A|+2|P F|=|P A|+|P 8|,再结合图形，即可求解，对于。，由炉+产-标二。可得，（x-l）2+）2=l,即圆心为（1,0）,半径为1,易得点P的轨迹与圆C 交 于 点（2,0）,即可求解.解：设 尸（x,y）,.直线/：x=4,动点尸到点尸的距离是点P到直线/的距离的一半，H（

21、x-l）2+y2=|x-4|，化简可得，“=1，故 4 正确，4 3x+2y-4=0联立方程J/v2,可 得（工-1）2=o,解得x=l,-=1 4 3故存在p （1,-1）,所 以 直 线 小 x+2y-4=0 是“最远距离直线”，故 8正确，过点P作 P B 垂直直线/：x=4,垂足为8,则由题可得，PB=2 PF,则|P A|+21 P H=|P A|+|P B|,则由图可知，.八 L 一 Ab o k Vr=4|P A|+|P 阴的最小值，即为点A到直线/：x=-4 的距离为5,故 C 正确，由3+），-2 1=0 可得，（x-1）2+产=1,即圆心为（1,0）,半径为1,易得点P的轨

22、迹与圆C 交 于 点（2,0）,故。错误.故选：AB C.1 2.如图，一个结晶体的形状为平行六面体A 8 C Q-A i S G。，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60 ,下列说法中正确的是（)A.（A A 7+A B+A D）2=2（A C）2B.2。与 AC所成角的余弦值为逅6 _C./L4|与平面ABC。所成角的余弦值为返3D.4 A 到底面ABC。的距离为返3【分析】分别计算等式两侧即可判断4由数量积求向量夹角判断以 求出线面角的余弦值 判 断C；把线面距离转化为点面距离，进一步转化为点到直线的距离，再由等面积法求解判断D解：对于 A,由题意可得，A A

23、A B=A A A D=虹）A B=1 x 1 Xc o s 60。,；（A A +A B+A D）=A A +A B+A D +2A A i A B+2A B-A D+2A A i A D=1+1 +1+3 X2X 工=6,2XA C=A B+A D A C2=（A B+A D）2=A B2+2A B-A D+A D2=1+1+1=3,A(A A+A B+A D)2=2(A C)2,故 A 正确；对于 B,BD =A D+A AA B,A C=A B+A D，；.|可|=疝+而-薪)2=4,|A C|=V(A B+A D)2=V 3 西 正=(无 1+布-靛)(踊+说)=A D ,A B+A

24、 D2+A A j A B+A A A D-A B2-A BA D=1,.*B D 1 A C i/.c o s =-=r-、:二-77-,1 i BD j-l A Cl V2XV 3 6即8。与A C所成角的余弦值为逅，故8正确；6对于C,|西|=|4|=&,则 A A C 中,A A|=1,|A C|=&,|A C|=,；.|A A|2+|AR|2=|A C|2,则 A 1 A L 4 C直线4 4 i与平面A B C D所成的角为/4 A C,则 c o s NA/C=J丝！J 故 C 错误；|A C|V 3 3对于D,4。1到底面A B C D的距离等于A i到底面A B C D的距离

25、，也等于A i到直线A C的距离，在R t ZV L 4 c中，由等面积法可得4到直线A C的 距 离 为 鸟 返 淮，故。正确.V3 3故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分。1 3 .已知点A (-3,2),8 (1,3),直线/过定点(-2,0)且直线/与线段A B有公共点，则直线I的斜率k的取值范围是(-8,+8).【分析】由题意根据直线的斜率和倾斜角，求得的范围.解：.点A (-3,2),8 (1,3),直线/过定点M (-2,0)且直线/与线段4 8有公共点，直线M A的斜率为与，=-2,直线M B的 斜 率 为 篝 =1,-3+2 1+2：.k 或&W -2

26、,则直线/的斜率k的取值范围为(-8,-2 U 1,+8).故答案为：(-8,-2J U 1 ,+8).1 4 .已知点P(.x,y)满 足/-8 x+V -4)+1 6W 0,则工的取值范围是0,.x3【分析】将已知条件中不等式f-8 x+V-4)，+1 6W 0进行化简，得(x-4)2+(一2)2W 4,则(x,y)表 示 圆(x-4)2+(y-2)2=4及其内部的点，由工表示两点(尤，y),x(0,0)的斜率4,当直线与圆相切时取最大最小值.根据圆心到直线的距离等于半径确定工的最大最小值.x解：不等式 N-8-y2-4y+1 6W0 可 化 简 为:(x-4)2+(y-2)2-2)2=4

27、及其内部的点，工可看做为两点(X,y),(0,0)连线的斜率，X设 k=-，x即 依-y=0,当直线与圆相切时，取最大最小值，此时，圆心到直线的距离。=八曲-2|即H北=2,4解得：k=0,或 仁 不，二工的取值范围是i o,41-x3J T1 5.如图，在直三棱柱ABC-AI i G中，Z B A C=,A B=A C=A At=i,已知G与E分别为A山和CG的中点，。和厂分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若 G D-L EF,则线段。尸的长度的平方取值范围为_ 0，1)_.【分析】建立空间直角坐标系，根据题设条件可得刀+2/2=1,再 表 示 出|而 利 用 二 次函数的性质即可

28、求得答案.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则F(tr 0,0)(0 tl l),E(0,1,G弓，0,1),D(O,t2 0)(0 t2 T，1）G D=（总,t2 T），;而1而，/.t+2t2=1,0 t2，又DF=(t，-t2，。)，I DF|J+t 2?W5t2?-4t2 +l=J 5(t2)2Y D D，当 时，|而|有最小值，即 为 返，显然线段。F 长度的最大值是1,但不包括45 5端点，故不能取1,2 16.设 P 是桶圆M：三一+/=1 上的任一点，E F 为圆M f+(j-2)2=1 的任一条直径,2 ，则 丽 而 的 最 大 值 为 8.【分析】由题意画出图形，利用向量

29、的加法、减法及数量积运算把质.而变形，转化为求 而 2的最大值求解.2解：设P(x。，/)，则 生+石 2=,g|JXo2=2-2 yo-P E P F=(li-NP)(NF-NP)=(-而-而)(而-而)=(-NP)2-NF2=NP2-I-由圆 M x2+(y-2)2=1,得 N(0,2),NP2=x02+(y0-2)2=2-2 yo2+(yo-2)2=(-yo+2)2+1 0.由题意，yoR-1,1,.当yo=-1时，而 2取得最大值%则丽而的最大值为8.故答案为：8.四、解答题：本题共6 小题，共 74分。解答过程应写出文字说朋、证明过程或演算步骤。1 7.已知直线/i：ax+(+2)y

30、+l=O,b：x+ay-1 =0.(1)若/山2,求实数a的值；(2)若八/2,求1与，2之间的距离.【分析】(1)由题意，利用两直线垂直的性质，求得的值.(2)由题意，利用两直线平行的性质求得a,再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果.解：(1).,直线 小 ax+(a+2)y+l=0,/2：x+ay-1=0,若则 aX l+(“+2)X a=0,求得实数 a=0 或 a=-3.(2)若 1卜,则 aX a-(a+2)X 1 =0,.,.a=2 或 a-1.当 a=2 时，直线/i：2 x+4y+l=0,h：2 x+4y-2=0,故/1与，2之间的距离为d=1 1+2|=电5V4+16

31、 10a=-l时，直线/i：-x+y+l=0,M：-x+y+l=0,此时，两直线重合，不满足条件.综上，/|与/2之间的距离为2后.101 8.在平面直角坐标系xOy中，A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),圆例为A B C的外接圆.(1)求圆M的标准方程；(2)过点P (7,2)作圆加的切线，求切线方程.【分析】(1)设出圆的一般方程，代入点的坐标，求解即可.(2)设出直线方程，利用点到直线的距离与半径的关系，求解直线方程即可.解：(1)设圆M的方程为x2+/+D x+y+F=0,A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),圆 M 为A B C 的外接圆，2 6-D

32、+5 E+F=0 b 0)的离心率e=，椭 圆C过 点(2,0).a b 2(I )求C的方程；(H)斜率为微的直线/与C交于4 B两点，已知P(2,1),求P A 8面积的最大值.2 2【分析】(I )由椭圆C：三+1 Q1)0)的离心率01，椭 圆c过点(2,0).求a b 2出a,c,求解从然后写出椭圆方程.(_1y=7 7 xtmi2(H)设直线1：联立(2 2，消 掉 丫 整 理 得 局 妙+*-3=0,利用2一工=1I 4 3 1判别式得到，的范围，利用韦达定理，通过弦长公式，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解最大值即可.解：(I )由题知a=2,因为a 2所以c=l,所以

33、b=B，所以C：2 2=1(I I)设直线 1：y=yX+ir，(_1y=yx-hn联立 2 2，且一工=1I 4 3消去y整理得fwc+m2-3=0,由 A=12-4(m2-3)0,可解得，%2V4,且 x+x2=x x2=m2-3.所以 I A B|=J 1*Nm2-4(4m、12)I =，因为尸到/的距离为(1=嗯-,所以 SV|AB|d=_Vm2(12-3m2)4当且仅当3加=2-3m2即 病=2 取到最大值2 0.中国是风筝的故乡，南方称“鹤”，北方称“莺”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱P-A B C D,其中 ACJ_B。于 O,O A=O B=O D=4,OC=8,P O_L平

34、面 A8C.(1)求证：PD AC；(2)试验表明，当P0,0 A 时，风筝表现最好，求此时直线产。与平面P BC所成角的正弦值.【分析】(1)根据条件得到PO,A C,结合AC_L8O,利用线面垂直的判定定理，得到ACJ_平面P O D,再由线面垂直的性质得到P D 1 A C；(2)方法一：分别以而，QC，而 为 X，y,Z轴正方向，建立空间直角坐标系O-孙Z,求出平面P B C的法向量，利用向量法求出直线尸。与平面P BC所成角的正弦值；方法二：根据条件求出 PBC的面积，设点。到平面P 8C的距离为儿利用等体积法求出 ，再求出直线P O与平面P 2C所成角的正弦值.解：(1)证明：平面

35、 ABC。，/IC cT ffi ABCD,：.PO AC,又 A C 工BD,P O C B D=O,P Ou平面 P OO,BOu平面 P OO,，ACJ_平面尸OO,.JO u平面 P OD：.PDAC.(2)法一：如图，以。为坐标原点，分别以根，QQ,祈 为 x，y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系 O-z,则 B(4,0,0),C(0,8,0),D(-4,0,0),P(0,0,2),P B=(4,0,-2)，P C=(O,8,-2)，P D=(-4,0,-2)，设 去（a,b,c）为平面尸8 c的法向量,m P B=0 (4 a-2 c=0贝叫一 一，即 ，m P C=0 I 8 b

36、-2 c=0令 c=4,则孟=(2,1,4),设直线P D与平面P B C所成角为e,制.a P D m .|-4 X 2+OX 1-2 X 4|8 7 1 0 5Js i n 1 i P D l Im l =J1 6+4 X V 4+1+1 6-法二：在 RtZP OB 中，由 PB2=PO2+O,得P B=2泥,在 RtZP OC 中，由 P C2nP OZ+OC2,得PC=2 jH在 RtzP O。中，由尸。2=尸。2+。2,得pD=2泥，RtBOC 中，由 8G=8。2+。（,得BC=4娓，咏 中，由c o sNP B C型2+对谴,=卮+辈)2普也 上2 P B X B C 2 X

37、2 75 X W5 5s i n Z P B C =V 1-C O S2Z P B C SA P B C=4-P B B C s i n Z P B C=y X 2 a x W5、*1=六 历N /3设点D到平面P B C的距离为h,由 v,p.liC D=V.D-PB C,得 X,XBDXOCXOPX SA P B C X h，J N On n-B D X O C X O P 8 X 8 X 2 _ 1 6萌即 2SAPBC=2 X 标 2 1 1设直线P D与平面P B C所成的角为e,1 672 12 1.如图，正方形ABC。所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，4A B E是等

38、腰直角三角形，AB=AE,F A=F E,NAEF=45.(1)设线段C。、AE的中点分别为P、M,求证：PM平面BCE；(2)求二面角尸-8。-A 所成角的正弦值.【分析】(1)取 8 E 的中点N,连接MM CN,先证明四边形CPAW为平行四边形，得到 MPC N,由线面平行的判定定理证明即可；(2)利用面面垂直的判定定理证明AE_L平面ABCZ),过点尸作FQA E,交 4 B 于点Q,过 点。作 QOJ_8D，垂足为O，连接尸0,证明NFOQ为二面角尸-8 F-A 的平面角，然后在三角形中，利用边角关系求解即可.解：(1)证明：取 BE的中点N,连接MN,C N,又 M 为AE的中点，

39、则 M N/AB 且 MN*A B,在正方形ABC。中，P 为 8 的中点,则 C P M N,且 C P=M N,故四边形CP MN为平行四边形，所以M P C N,又 MP C平面BCE,CNu平面BCE,故 P M平面BCE-(2)设 AB=AE=2,aABE为等腰直角三角形，故 AELA8,又平面ABCD_L平面A B E F,且平面ABCDA平面ABEF=AB,AEu平面ABEF,所以AE_L平面ABC。，过点F 作 FQ4E，交 A B 于点Q,贝 U FQ_L平面ABC。，因 为 必=FE,NAEF=45,所以 EFJ_AF,ZAF=45,则 4尸=&，NFAQ=45,在 RtZ

40、VIFQ 中，F Q=A Q=,BQ=3,过 点。作 QOLBO，垂足为。，连接尸0,因为 FQ_L平面 A 8C C,贝 ijF2_LB,又 FQCOQ=Q,FQ,OQu平面尸O。，所 以 平 面 尸。，又 OFu平面尸。，所以8 0,0 凡则/0。为二面角尸-B F-A 的平面角，在 RtaBOQ 中，BQ=3,ZOBQ=45,所以 OQ=&4，在 RtZXF。中，。/=在而招=孥，则 s in/F O Q=,OF 11 _故二面角尸-8。-A 所 成角 的 正弦值为返.2 22 2.如图，椭圆：35三=1 6 6 0)的离心率为e,F t,F 2分别是其左、右焦点,过B的直线/交椭圆于点

41、A,B,P是椭圆上不与A,8重合的动点，O是坐标原点.K(I )若。是P A B的外心，ZP A B=,求e的值；(I I )若 Q 是P A B的重心，求e的取值范围.【分析】(I)利用椭圆的对称性求出点A的坐标，再由已知即可求解；(I I)设出点A,B,C的坐标，并设出直线/的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理以及三角形重心的性质建立等式关系，整理后利用方程有解建立不等式关系，从而可以求解.解：(I )由椭圆的对称性可得：轴，AB VPB,由A (C,b 1),/PAB=:得 史=c，解得遍-1；a 4 a a 2(I I)设 A (x i,y),B (M,”)，C(X 3,3),直线/的方

42、程为x=m y+c,代入椭圆方程可得：(屋+。2加2)V+2 b 2 c m y+/(c2-a2)=0,-Z b m c所以匕+了2=2 a c所以,+X 2=m(y I +了2)+2 c=-2-22,a+b m 由 -y(Y i +y2+y 3)=0 ，-y X1 +x2 +x3=-c 得o o(5 a2c+3 b2c m2)2,2 2 2 _ /2,2,广)2-2-+4 b c m =(a +b 加)，a令方2加2=在(0,+o o),则(9e2-1)r2+(3 4/-2)屋/+(2 5/-1)o4=0,该方程在(0,+8)内有解，而 =2 5 6e%4 (),因此9e2-l=0 _.l-1 7e2或-(3 4 e2-2)(2 5 e2-l)0 9e2-l0或，9e -1(9e2-l)(2 5 e2-l)0解得当5 3所以e的 取 值 范 围 为 小，4).5 3