2021-2022学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷.pdf

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1、2021-2022学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷一、选 择 题（共 8 小题，每小题5 分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）2 21.（5 分）椭圆+=1的焦点坐标是（）25 169A.（5,0）B.（0,5）C.（0,1 2）D.（1 2,0）2.（5 分）在数列 斯 中,S 为前项和,若斯-什斯+1=2 斯（2 2,nN*）,2+4=4,as=8,则 S i o=（）A.95 B.1 0 5 C.1 1 5 D.1 2 53.（5分）双曲线/-彳=1 （b 0）的渐近线方程是丫=2&,则双曲线的焦距为（）b2A.3 B

2、.6 C.2A/7 D.1 24.（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=第一枚出现奇数点”，事件8=第二枚出现偶数点”，则A与 B的关系是（）A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等5.（5分）如图，在平行四边形A B C。中，是 AB的中点，0M与 AC交于点N,设标=:,A D =b）则 丽=（）C.Dc.A1 f ”3 a 3 b6.（5分）如 果 圆（x-a）2+（y-a）2=8 上总存在两个点到原点的距离为五,则实数。的取值范围是（）A.(-3,-1)U(1,3)B.(-3,3)C.-1,1 D.(-3,-1 U1,3)7.（5分）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的

3、双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如 图 1,两栋建筑第八层由一条长60机的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150”处各有一窗户，两窗户的水平距离为30办如图2,则此抛物线顶端O 到连桥AB距 离 为（）28.（5 分）已 知 椭 圆 三=1（2 1）0）与圆？+产=。2在第二象限的交点是P 点，Fia bz（-C,0）是椭圆的左焦点，。为坐标原点，。到直线P Q 的距离是lC，则椭圆的离2心 率 是（）A.&-1 B.A/3-1 C.通-1 D.遍2 2二、选 择 题（共 4 小题，每小题5 分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题

4、目要求的，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选得0 分）（多选）9.（5 分）以下四个命题表述正确的是（）A.直线加r+4y-12=0 5 e R）恒过定点（0,3）B.已知直线x+y-机=0 与直线x+（3-2?）y=0 互相垂直，则，*=2C.圆 C：/+丫2-您-8尸4 3=0 的圆心到直线4*-3 3=0 的距离为2D.两圆/+）2+4X-4 y=0 与/+）2+2x-12=0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6=0（多选）10.（5 分）已知曲线C：加 沫+）2=1.（）A.若,则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若 机=”0,则 C 是圆，其半径为行C.若如?0,则 C 是两条

5、直线（多选）II.（5 分）设 Q,22分别是双曲线C：=1 的左、右焦点，过尸2作 x 轴b的垂线与C交于A,8两点，若ABF 1为正三角形，则（）A.h=2 B.C的焦距为2遥C.C的离心率为禽 D.Z v lBF i的面积为4次（多选）1 2.（5分）已知正三棱锥P-4 8 C中，M为 的中点，PBLCM,口 “工，则)A.PBLCAB.PBYPAC.该三棱锥的体积是工3D.该三棱锥的外接球的表面积是3 1 T三、填 空 题（共 4 小题，每小题5 分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）1 3.（5分）设等差数列 斯 的前项和为S”54=-2,恁=3,则S”的最小值为.1 4.

6、（5 分）如图所示平行六面体 ABC。-Ai Bi Ci O i 中，A B=A D=,A4 i =l,Z D A B=6 0 ,/Z M Ai =/B/L 4 i=4 5 ,则 AG=.2 21 5.（5分）已知双曲线与椭圆“上=1有相同的焦点，它们离心率之和为其，则此双曲9 25 5线 的 标 准 方 程 是.1 6.（5分）己知抛物线C：J=4 x的焦点为产，过点F的直线与C交于A,B两 点,且|阿=4,则依用=.四、解 答 题（本大题共6 小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 7.（1 0分）已知在数列 斯 中，“1=1,即=2斯一代

7、1 （2 2,n e N*）.（1）记尻=lo g 2（斯+1），判断 d是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列 斯 的通项公式.1 8.（1 2分）已知 ABC的顶点A（5,1）,边A 3上的中线C M所在直线方程为2 x-y-5=0,边A C上的高8所在直线方程为x-2 y-5=0.(1)求顶点C的坐标；(2)求 ABC的面积.1 9.(1 2 分)在ABC 中，Be(,5 T r.),ABC 的外接圆半径 R=2.6 2 6(1)若s i n 8=2,求s i n C及边长AB-,7(2)求而前的取值范围.2 0.(1 2分)如 图，在四棱锥P-A B C C中，底面A8C 是正方形，

8、侧棱R1 _L底面ABC,点E,尸分别是PC,P D上的动点，且(1)求证：E F _L平面刃Q；(2)若PEPC，且P C与底面4 B C O所成角的正弦值为之，求平面A E C与平面AE D3 5夹角的余弦值.2 1.(1 2分)已知椭圆E：(a b 0)的左焦点 F (-c,0)(c0)到圆 C：(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最大值为6,且过椭圆右焦点F i(c,0)与上顶点的直线与圆O：/+/=相切.2(1)求椭圆E的方程；(2)若直线/：y=-x+m与椭圆E交于A,B两点，当以A B为直径的圆与y轴相切时,求m的值.2 2 22 2.(12分)已知椭圆C i：2-+y

9、 2=i与双曲线。2：=l(a 0,b 0)有共同4a2 b2的焦点Fi，F 2,且双曲线的实轴长为2&.(1)求双曲线C 2的标准方程；(2)若曲线C i与Q在第一象限的交点为尸，求证：N FIPF2=90.(3)过右焦点局的直线/与双曲线C 2的右支相交于的A,8两点，与椭圆。交于C,。两 点.记 AOB,CO。的面积分别为Si，S2，求电的最小值.s22021-2022学年湖南师大附中高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题(共 8 小题，每小题5 分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)2 21.(5分)椭圆2_

10、+2_=1的焦点坐标是()25 169A.(5,0)B.(0,+5)C.(0,+12)D.(12,0)【分析】由。，6,c的关系即可得出焦点坐标.2 2【解答】解：椭圆的方程2+B =1中/=1 6 9,廿=2 5,25 169=-后=14 4,又该椭圆焦点在y轴，二焦点坐标为:(0,12).故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质，正确运用4,b,C的关系是解题的关键.2.(5 分)在数列 即 中,S”为前项和,若 a”-1+。+1=2斯(2 2,n G N*),0 2+0 4=4,as8,则 S i o-()A.9 5 B.10 5 C.115 D.12 5【分析】结合等差数列的性质先求出

11、公差及首项，然后结合等差数列的求和公式可求.【解答】解：因为数列“”中，an-i+an+i=2an(n 2,N*),所以数列 斯 为等差数列，因为“2+4 4 =2 0 3 =4,所以4 3 =2,因为“5=8,所以 _ 2=3,a=-4,5-3贝I S i o=l O a i+4 5 =-4 0+13 5=9 5.故选：A.【点评】本题主要考查了等差中项的定义，等差数列的性质及求和公式，属于基础题.3.（5分）双 曲 线/-4=1（150）的渐近线方程是尸土2&,则双曲线的焦距为（）b2A.3 B.6 C.2 V 7 D.|【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出6,然后求解c,即可求解双曲线的

12、焦距.【解答】解：双曲线乂2-4=1（150）的渐近线方程是了=2&*,b2可得 所以 c=Ja 2+b 2=3,所以双曲线的焦距为6.故 选:B.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.4.（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=第一枚出现奇数点”，事件8=第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（）A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等【分析】根据互斥，对立，独立事件的定义判断即可.【解答】解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，奇数），（偶数，偶数），事件A=第一枚出现奇数点 =，,事件8

13、=第二枚出现偶数点”=，,两个事件不相等，排除A D 3 W 0,所以不是互斥事件，排除A,B,C选项，事件A=第一枚出现奇数点，P（A）=1=1,6 2事件B=第二枚出现偶数点，P（B）=1=1,6 2事件A 8=第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P（A B）=S 1=1,36 4满足 P （A B）=P （A）*P（B）,所以事件A和事件B是相互独立事件，故选：C.【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满 足P（AB）=P(4)-P (B)即独立，本题属于基础题.5.(5分)如图，在平行四边形A 8 C O中，M是4 B的中点，与A C交于点N,设 羽=Z，A

14、 D =b-则 丽=()A 2-I7 n 2-I7 r 1-*2 7 n 1-2：0，-a-S T b J -rra +7 7 0 a-rrb3 3 3 3 3 3 3 3【分析】由向量的定义，加法法则，平面向量基本定理即可解出.【解答】解：由题意可知，7MA C =A B +A D-设 点=入 菽，/.A N=X (2 A M+A D).又点。,N,例三点共线，所以氤=|1讪+(1-|1)标，.f2 X =|l葭=1 3,I,A N 7 A C)oB N =A N-AB=17C-A B=4-A D 4标二 学 总O O o 0 0故选：4.【点评】本题考查了向量的基本知识，相关的运算，学生的

15、运算能力，属于基础题.6.(5分)如 果 圆(x-a)2+(y-)2=8上总存在两个点到原点的距离为五,则实数a的取值范围是()A.(-3,-1)U (1,3)B.(-3,3)C.-1,1 D.(-3,-1 U 1,3)【分析】圆(x -a)(y -&)2=8和 圆/+)2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和.【解答】解：问题可转化为圆（X-。）2+（-“）2=8 和圆/+）2=2 相交,两圆圆心距 V(a-0)2+(a-0)2=&间-由 R-r|0 0 i|V R+r 得 2 A 巧|a|2 7 2 +7 2.解得：l|a|b 0)与圆？+)2=。2在第二象限的交点是P点，

16、F ia，y(-C,0)是椭圆的左焦点，O为坐标原点，O到直线P F i的距离是1C，则椭圆的离心 率 是()A.V 2-1 B.V 3-1 C.遥 D.娓2 2【分析】由题意画出图形，由已知求得尸尸2|,再由勾股定理求得I P Q I，然后结合椭圆定义求解椭圆的离心率.【解答】解：如图，过。作O N L P F 1，:PF4PF2,：.ON/PFi,又。为尸产2的中点，二。代为Q P F 2的中位线.又。到直线所的 距 离 是 卑C，|F,P|=2 1 0 N|=百C，则 IFJP|=V4C2-3C2=C由题意定义可得，|F P|+|F 2P 1=(正+l)c=2a，贝|J e=-2._ =

17、_/(我_ J-=73-1-a V3+1(V3+1)(V3-1)故选：B.【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.二、选 择 题（共 4 小题，每小题5 分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选得0 分）（多选）9.（5分）以下四个命题表述正确的是（）A.直线a+4），-1 2=0 （HR）恒过定点（0,3）B.已知直线x+y-m=0与直线x+（3 -2%）y=0互相垂直，则机=2C.圆C：/+/-2x-8y+1 3=0的圆心到直线4 x-3 y+3=0的距离为2D.两圆/

18、+）2+4 x-4 y=0与/+/+2x-1 2=0的公共弦所在的直线方程为x+2），+6=0【分析】直接利用直线的方程，两圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用判断A、8、C、。的结果.【解答】解：对于A：直线i r+4 y -1 2=0 （w?eR）恒过定点（0,3）故A正确；对于B：已知直线x+y-m=0与直线x+（3 -2/n）y=0互相垂直，3 -2 m=-1,解得m=2,故8正确；对 于C：圆C：?+/-2 x-8 y M 3=0的 圆 心（1,4）到直线4 x-3 y+3=0的距离d=对 于 ：两圆?+y2+4 x-4 y=0与+y2+2x-1 2=0的公共弦所在的直线方程为x-

19、2y+6=0,故。错误；故选：AB.【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，两圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.（多选）1 0.（5 分）已知曲线 C：mx1+ny2=.（）A.若根0,则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若机=，0,则C是圆，其半径为行c.若成 0,则C是两条直线【分析】根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.2 2【解答】解：4若%则工 0,则方程为f+/=工，表示半径为的圆,n V n故B错误;C.若m V O,0,则 方 程 为 亍 壬 一=1,表示焦点在），轴的双曲线，故此时渐近线方

20、m n程为 y=/W x,2 2若机 0,w 0时，则方程为y=表示两条直线,故。正确;故选：ACD.【点评】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题.2（多选）1 1.（5分）设F i，F 2分别是双曲线C：/-2 _=1的左、右焦点，过尸2作x轴b的垂线与C交于A,8两点，若 为 正 三 角 形，则（）A.h=2 B.C的焦距为2遥C.C的离心率为百 D.ABF i的面积为【分析】由题意及ABF i为正三角形可得a,c的关系，进而求出离心率的值，再由双曲线的方程可得6的值，及三角形ABF i的面积。判断出所给命题的真假。【解答】解：设依尸2|=力因为ABF 1为正三角形，所以|AFI|=2Z

21、,2C=|FIF2|=M/,由双曲线定义可得：2a=AFi-AF2=2t-t=t=2,所以双曲线的离心率6=2&=返 工=我，所以C正确；2a t由双曲线的方程可得a=l,。2=1+6,所以由离心率e=声 可 得:迎 豆=收，a1解得：人=2,所以A正确；。=行 可=代，所以焦距2c=2我,所 以B不正确；SAABF.=2,n G N*）.（1）记尻=l o g 2 3+1），判断 为 是否为等差数列，并说明理由;（2）求数列 小 的通项公式.【分析】（1）判断 与 是等差数列,计算为一仇一为常数即可证明；（2）由等差数列的通项公式求出加，再利用指数与对数的互化即可求得数列 斯 的通项公式.【

22、解答】解：（1）仇 是等差数列，理由如下：h=og2(41+1)=l o g 2 2=l ,当 N 2 时，bn-bn-l =l o g 2 (f l n+1 )-l o g 2 (f ln-1+1 )a+1 2 a 是正方形，侧 棱 底 面A B C,点、E,尸分别是P C,P D上的动点，且P E尸)=P尸E C.(1)求证：E F _L平面 PAD-,(2)若P EP C，且P C与底面A 8 C D所成角的正弦值为旦，求平面A E C与平面A E D3 5夹角的余弦值.【分析】(1)由正方形A B C O中C _LA O,侧 棱 以_L底面A 8C 得 以_LC,可证明C _L平面以。

23、；再由P E F D=P F E C得出E尸C,即可证明E F J _平面必。；(2)由N P C A是直线P C与底面A B C Z)所成的角，求出巩、AC的关系，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出平面C 4 E的一个法向量是丽，平面A E O的法向量W，再求c o s 即可.【解答】(1)证明：四棱锥尸-4 B C Z)中，底面A B C。是正方形，所以C O L 4 O；又因为侧棱B 4 J L底面A 8C,C C u 平面A 8C,所 以 以J _C Z),又因为a C I A O=A,且 以 u 平面南。，A O u平面以。，所以C)_L平面PAD；又因为P E F=P F E

24、 C,所 以 患 型，E C F D所以E F C),所以E F _L平面；(2)解：正方形A B C Z)中，A B _LA,侧 棱 出_L底面A 8C D,所以N P C 4是直线P C与底面A B C。所成的角;所以 s i n/P C 4=F A=2PC 5建立空间直角坐标系O-A yZ,如图所示:设 A 8=l,A C=&,%=,依题意知，A (0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2_),由 P E=P C知，E(A,A,X L),3 3 3 2因为 8_LA C,P A Y B D,且 B 4 n 4 C=A,所以B。，平 面%C,平面C

25、 A E的法向量是丽=(-1,1,0)；由 AE=(上，-)返)，菽=(0,1,0),3 3 2设平面A E Q的法向量为=Cx,y,z),L -1 1 V 2则 巧 过=0,可x%y w-z=on-A D=0 y=o令x=3,得z=-我，平面A E C的 法 向 量 为(3,0,-&),由二面角C-A E-O为锐角，所以二面角C -AE-D的余弦值为3岳.22【点评】本题考查了线面垂直的证明以及线面角的正弦值、二面角的余弦值计算问题，考查了利用空间向量求二面角的余弦问题，是中档题.2 221.(1 2分)已 知 椭 圆 氏 三+，=1 (4 6 0)的左焦点尸1(-c,0)(c 0)到 圆C

26、：a 2 b,2(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最大值为6,且过椭圆右焦点Fi(c,0)与上顶点的直线与圆O：/+丁=工相切.2(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线/：y=-x+?与椭圆E 交于A,8 两点，当以AB为直径的圆与y 轴相切时，求 相的值.【分析】(1)由题意，7(-C-2)2+42+1=6 可得C=1，过椭圆右焦点&(c,0)与上顶点的直线与圆O：7+/=工相切，可求6,从而可得椭圆E 的方程；2(2)/：y=-x+与椭圆E 联立，因为以AB为直径的圆与y 轴相切，所以圆心到y 轴的距离即圆心横坐标等于半径，由弦长公式可求得H B|,从而可得半径，利用韦达定理及中

27、点坐标公式可求得，徵的值.【解答】解：(1)由题意，7(-C-2)2+42+1=6：c0,过椭圆右焦点尸2(c,0)与上顶点的直线方程为申 =1，即加+y-6=0,过椭圆右焦点/2(C，0)与上顶点的直线与圆。：/+9=工相切，2-I-b|_ 7 2V 1+b2 2；.6=1,：.a=2 0,得加2V3.2设 A(xi，yi),B(X2，V2)，贝Ijxi+X2=-，X1X2=,3 3.A 3的中点横坐标为区，3 以AB为直径的圆的半径为r X2|=|空，2(X1+X2)2 8x1X2,即()2=8.2皿-2,3 32片 土 运2【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，弦

28、长公式、韦达定理是解决该类问题的基础.22.（12分）已知椭圆Ci：直+y 2=i与双曲线C2：_ _ 彳 _=1卜 0,b 0）有共同4a2 b2的焦点尸 2，且双曲线的实轴长为2&.（1）求双曲线C2的标准方程；（2）若曲线C i与 C2在第一象限的交点为尸，求证：NFIPF2=90.（3）过右焦点尸2的直线/与双曲线C2的右支相交于的4,B 两点，与椭圆C i交于C,S,。两 点.记408,C。的面积分别为S1，S2，求一L的最小值.S2【分析】（1）根据题意可得的关于。，匕的方程组，解方程组，可得a,b,进而可得双曲线的方程.（2）联立曲线C i和 C2的方程，可得尸点坐标，再 由 向

29、 量 的 数 量 积 可 得 用 庭=0,即可得答案.（3）当直线/的斜率不存在时，分别计算依引，CD,再 计 算 _ 出=，叫即可得答案,S2|CD I当直线/的斜率存在时，设方程为y=k（x f 巧），联立椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得用+及，x ix 2,由弦长公式可得|C|,同理联立双曲线的方程可得H B|,再计算笆，即可得答案.S2|CD If 2 2【解答】解：（1）由已知可得，|a+b=3（2a=2爽解之得卜二加，lb=l2 八双曲线C2的标准方程为之 一一v2=i.2 y 1（2 门V Y T（2）证明：联立方程组。，x=解之得y=2 7 63近，3所以

30、点P（，券）F （-百，0）F2（V 3,0,2遥 +3百 V3、丁5 （2娓-3百 V3、%P=（三）F 2 P=（，亍）-.9 4-2 7 1/.ZFIPF2=90.（3）当直线/的斜率不存在时，|A B|班，|C D|=1此 时 包=S2 C D当直线/的斜率存在H寸，设方程为y=k（x-V ）,C（xi，yi）,。（及，然）,代入椭圆方程得（+4卜2）*2 _ 8点 卜2*_ 2卜2 _ 4=0,刁 3=，小2二l+4 k2 l+4 k2由弦长公式得|C D|=1+k2 J(X +X 2)2-4 X X?=8 7 3 k2 x2 八1 2 k 2-4 =4(l+k 2)斤)-4 X -l+4 k*l+4 k”l+4 k 把直线方程y=k （x-百）代入双曲线方程得（l_ 2 k 2）x2+4 xQ k 2 x_ 6 k 2 _ 2=0,l-2 k 2 K o 0所以:拿 0*涛|A B I I孚dl2 k 1-01-2/.S1 _ A B，-S7-C D：2的(l+4 k 2):1 34(2 k2-l)V 2 2 k2-l)(V 2.+8)，综上可知，包的最小值为我.S2【点评】本题考查椭圆的方程，双曲线的方程，向量的数量积，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.