2021-2022学年西南名校联盟“3+3+3”高三（上）诊断性数学试卷（理科）（一）（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年西南名校联盟“3+3+3”高 三（上）诊断性数学试卷（理科）（一）一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合4=x|x 2+4x-120,x Z ,B =xyx+2 0,6.在满足不等式组x+y-2 4 0,的平面区域内随机取一点P Q o，%),设事件4 为y o“y o x o ，那么事件4 发生的概率为()8.已知0 p a 0)的图象向右平移卷个单位得到函数/(%),且/(%)在(兀2兀)内没有零点，则3的取值范围是()A.(0,|)B.(0,i U i|11 12C.(0 i)D.(0 i)U p|)12.已知Q=3 5,b=(1+e)*，c=4另

2、，则a，b,c的大小关系为()A.b a c B.c b a C.c a b D.a b c二、填 空 题(本大题共4 小题，共 20.0 分)13 .已知 an 为等差数列，571为其前几项和.若%=-7,S3=-1 5,则 劭=14.(1+2/)(工 一6 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为.15.已知,y 是正实数，且+y =2,则+的最小值为_ _ _ _.x y16 .已知A A B C 中，点4(一1,0),点B(l,0),内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为S,S.a2+b2=c2+-S，则满足条件的点C 的 轨 迹 长 度 为.3三、解 答 题(本大题共7 小题，

3、共 82.0 分)17.设又是数列 即 的前n 项和，an 0,%=1,当n 2 2时，Sn_x=an.(1)求数列 即 的通项公式：(2)若q=an+1+2 n,求数列 7 的前n 项和图.18.某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为10 0 万件的生产线，已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准.为估算其经济效益,该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了 10 0 件该产品，统计了每个产品的质量指标值鼠并分成以下5 组,其统计结果如表所示：质量指标值5 6)6,7)7,8)8,9)9,10频数163040104试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：(注：每组数据取

4、区间的中点值)(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布N(R 2),其中近似为样本平均数呈，。近似为样本的标准差s,并已求得s 0.82.记 X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间(5.42,7.88 之外的个数，求P(X=1)及X的数学期望(精确到0.001)；(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y(单位：万元)的关系如表所示(t e(6,7)：质量指标值k5 6)叵7)7,8)8,9)9,10利润ySt3t2tt-5 t2假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由

5、.参考数据:若随机变量Z N(,a2),贝(1P(-a Z n +ff)=0.6827,PQi 2aZ n+2a)=0.9545,P(-3a x-j.22.在平面直角坐标系如中，曲线C的参数方程为甯ss为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，4(3,0),B(0,3),M点是曲线C上任意点，求AABM面积的最大值，并求此时M的极径.23.已知a 0,b 0,c 0.函数/(x)=|x+a|b-x|+c的最大值为4.(1)求a+b+c的值；(2)求 卷 年 二+c2的 最 小 值,并 求 此 时/b,c的值.Z 5 lo

6、第6页，共21页答案和解析1.【答案】D【解析】解：由 /+4x-12 0得(x-2)(*+6)0,得-6 x 2,则4=5,-4,3,2,1,0,1由得0 S x +2 4,即一2 S x 即y =0.3 x +0.5,当 =1 2 0时，y=3 6.5,故选：A.4.【答案】B【解析】解：a,0是两个不同平面，m,n是两条不同直线，给出下列命题：对于，若m 1 a,m u 0,则由面面垂直的判定定理得a 16，故正确；对于，若a 1 0,m/a,则?n与0相交、平行或r n u S，故错误；对于，若m u a,n u a,m/?,n/3,则a与0相交或平行，故错误；对于，若ml a,n/a

7、,则由线面垂直的性质得m 1 n,故正确.故选：B.对于，由面面垂直的判定定理得a 1仪 对于，m与 相交、平行或m u 0；对于，a与/?相交或平行；对于，由线面垂直的性质得m _ L n.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.5.【答案】C【解析】解：根据题意，从1 0人中选出3人，有/o =1 2 O种选法，其中没有女科学家的选法有的=3 5种，则所选的三人中至少有一名女科学家的选法有1 2 0 -3 5 =8 5种，故选：C.根据题意，用间接法分析：先计算“从1 0人中选出3人”的选法，排除其中“没有女科学家”的选法，即可

8、得答案.本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题.第8页，共21页6.【答案】C 0【解析】解：不等式组x +y-2so所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为1 x(y 0满足y o x。的点构件成的图形为图中的三角形。OC的区域，其面积为S&ODC=5 X 2 X ,=23，所以根据几何概型事件4发生的概率为P(A)=雪=需=2SJABC-27故选：C.先根据不等式组画出平面区域，然后求出区域的面积，求出、0 2沏的区域的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可.本题主要考查了二元一次不等式(组)与平面区域，以及几何概型的概率，同时考查了画图能力，属于中档题.7.【答案】B【解

9、析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥;如图所示:所以S表 Ex2xl +N2xl+N2x+：x2xZ +2 x 2 =6 +2 .故选：B.首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积.本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.8 .【答案】D【解析】解：因为0/?a PG-QG =PG-1,(当且仅当P,G,Q共线且.Q在尸，G之间时取等号)，PQ+PF2 PG -1 +PFr+4=PF1 +G E +3|G&|+3=、5 +4 +3 =6，当且仅当P是线段Q F i与双曲线

10、的交点时取等号.PQ+|P四的最小值是6.故选：A.求得双曲线的a,b,c,可得焦点坐标，求得圆E的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.本题考查双曲线的定义和方程、性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.1 1.【答案】B【解析】解：根据函数g(x)=s i n(3 x)(a 0)的图象向右平移裔个单位得到函数/(x)=s i n(3 x -g)的图象，由于x G(7 T,2兀)，所以3 兀 2Tt3 G Z),由于函数/(x)在(兀,2兀)内没有零点，所以0 3 kn所以 3兀 (f c e Z),2

11、 3兀-g (k+1)兀解得 k+由于/c +g T+|,所以k|,当左=一1时，0,3 6所以0 V 3 W6当k=0 时，|co|,故0 3 W ,或!(0 c=4 s =(1 +3)5T设/(x)=i a。)，则/=金二等令g(久)m(i+x)，则g ()=常(,g(x)在(0,+8)上单调递减，g(x)(g(o)=0,f(x)0,/(x)在(0,+8)上单调递减，V 2 e /(e)”3),即 ln(l+2)ln(l+e)ln(l+3)a b C,故选：D.先得到a=3?=(1+2 加，b=(1+e)e c =4=(1+3 6，再 构 造 函 数=皿：2并判断单调性即可求解.本题考查了

12、构造函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题.13.【答案】7【解析】解：根据题意，等差数列 即 中，设其公差为d,S 3 =%+。2 +=-1 5,则有3 a2 =-15,变形可得。2 =-5，第12页，共21页则 d=a2 ai =5 (7)=2,则 ag =%+7 d=(-7)+2 x 7 =7,故答案为：7.根据题意，等差数列 即 中，设其公差为d,由等差数列的性质可得3 a2 =-15,变形可 得 的 值，结合等差数列的通项公式计算可得答案.本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题.14.【答案】10【解析】解：因为(X -2 6的通项公式为。+1 =%=q.(一l

13、)6-2 r,令6-2 r =0,解得r =3,令6-2 r =-2,解得r =4,所以原二项式的展开式的常数项为1 x /x (-1)3+2奥(一=-2 0+3 0=10,故答案为：10.先求出二项式(x -6的展开式中的常数项与含广2项，进而可以求解.本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.15.【答案】2【解析】解：已知x,y是正实数，且x +y =2,则：要=1，则：那，x+y x+y-1-2x 2y工+2+工+三2十2%+2 y+2 1+2-22x 2y当且仅当=y=1时等号成立.所以：1勺最小值为2.x y故答案为：2首先对关系式进行恒等变换，进一步利用均值不

14、等式求出对应的结果.本题考查的知识点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，属于基础题型.16.【答案】曳红【解析】解：如图，a?+炉=2+更s,二a?+炉 2=越.sinC,3 3 2a+匕-c=型slnC,A tanC=V3,*=p 又c=A B =2,2ab 3 3y/B C外接圆半径为 公，C=p所以点C的轨迹长度为2 x型x =竺出TT，33 3 3 9故答案为：竺旦.9根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题.17.【答案】解：(1)：%=1,当n N 2时，=an,Sn=2),又a?=S=%=1,数列 a j从第二项起是。2=1

15、-公比为2的等比数列，_(l,n=1a n =(2n-2,n 2:(2)cn=an+1+2n,：Tn=(如+Q3+Qn+1)+2(1+2+3+?1)=T-2X31-2 2第14页，共21页=2n+n2+n 1.【解析】(1)利用数列的递推关系式的=1,当ri 2 2时，S“_i=an,可 求 得 数 列 的通项公式；(2)依题意，利用分组求和法可求得数列 cn的前n项和本题考查数列递推式的应用及分组求和，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)由题意知，样本的平均数为x=5.5 x 0.16+6.5 x 0.3+7.5 x 0.4+8.5 x 0.1+9.5 x 0

16、.04=7.06,所以(2a，n+a=(7.06-1.64,7.06+0.82=(5.42,7.88,而 P(2 a k n +a)=-a k/j.+a)+2a k 500,所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.【解析】(1)首先求出样本的平均数，然后根据正态分布求出质量指标k在区间(5.42,7.88之内的概率，从而得到质量指标k在区间(5.42,7.88之外的概率；然后根据二项分布即可求出答案.(2)首先求出每件产品的平均利润，然后再求平均利润的最大值，从而可求出该生产线的年盈利的最大值，把年利润的最大值与500进行比较即可得出答案.本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，

17、属于中档题.19.【答案】解：（1）证明：.前=前，.EG/B F,且EG=BF,BF A.BE,BF 1 BD,BE CBD=B,BE、BD u 平面ABDE,BF J 平面ABDE,；.EG _L 平面力BDE,EG u 平面4BDE,EG LEB,:AE=ED=DB=1,EDAB,.四边形4BDE是等腰梯形，/.EAB=6 0 ,乙BDE=Z.AED=120,/.DEB=30/-AEB=90 二 AE 1 BE,：AEEG =E,AE,EG u 平面4EG,BE1 平面A E G,BE u 平面G E B F,二 平面GEBF 1 平面AEG.(2)由(1)知瓦4,EB,EG两两垂直,以

18、E为坐标原点，E4为x轴，EB为y轴，EG为z轴，建立空间直角坐标系，如图,：AE=ED=DB=BF=1,四边形GEB尸是矩形，则FG=BE=百,二4(1,0,0),F(0,V3,0),G(0,0,l),令 GM=4(0 S/IS 遮)，则 M(0,4,l),AM=(-1,2,1).AB=(-1,7 3,0)，设平面M4B的一个法向量为访=(x,y,z),则产野FF 取 得记=(v u，6T)，m-AB=x+V3y=0平面AEG的一个法向量记=(0,1,0),则1 8 s(也 元|=繇=忘芥，。j w W，设平面AMB与平面4EG所成锐二面角为仇 则cos。=卜(一 犷0 A AB=2,.P的

19、轨迹E是以4,B为焦点，长轴长为4的椭圆，由2a=4,则a=2,c=1,b2=32 2二 点P的轨迹E的 方 程 为 匕+二=1.4 3(2)直线 与轨迹E交于C,C两 点,设 C(/yi)D(%2y2)，如图，整理得(3 +4 m2)y2+8mny+4 n2 1 2 =0,8mn 4n2-12%+为=一 玄 先=7 ，因为C Q 与O Q 关于B Q 对称，B Q x 轴，所以kcQ+D Q=Q，Q(|1)，乂 1 力|，X2*|Q+募 i =，G P(y i-l)(x2-)+(y2-1)(%1-)=0,人 1 2 人 2 2 NNv=m y1+n,x2=mV2+n则2 z n y i y

20、2 +(n -m-)(y i +y2)-2 n +3 =0,n2 z n-4-n2-127 +.(z n -3、,8mn.n o nTH )(-r)2 n +3 =0,3+4m2 2 八 3+4m27即4 7 n 2 +(4 n -8)m 2 n 4-3 =0,即(2 m -l)(2 m +2 九-3)=0,若2 m +2 n-3 =0,点Q(|1)满足I：x=m y +n,即C,D,Q 三点共线，不合题意,2m 1 =0,即z n =直线，中?n 为定值【解析】(1)根据题意得P 的轨迹E 是以4 B 为焦点，长轴长为4 的椭圆，进而根据椭圆的定义求解即可；(2)根据题意A：CQ+/CDQ=

21、0,再设。(与 丫 1)。(%2%)，进而直线2 与椭圆联立方程，结合韦第1 8页，共2 1 页达定理得整理得(2 m-l)(2 7 n +2 n-3)=0,再根据C,D,Q 三点不共线得m=1.本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，直线恒过定点问题，圆锥曲线中的定值问题等知识，属于中等题.2 1.【答案】解：(l)/(x)=/n x-2 a x +1,尤 0,由题意得/(无)=I nx-2ax+1 =0 在x 0 时有两个不同实数解，即2 a =在x 0时有两个不同实数解，当0v%vl时,g (x)0,g(x)单调递增,当 1时,g (x)0,g(%)单调递减,所以g C O

22、 m a x =g(i)=1，g g)=，x-o时，。(%)-8,%-+8 时，。(乃-。,所以0 2 a 1,即0 a 3故a 的取值范围为 a 0 a%-|,即证明工 m 4-2%一;在%。时成立，即证仇久+2%+-0 在x 0 时成立，x2 7令九Q)=+2%+或 0,%0,则 九(%)=伍 3，令皿久)=I nx-&则M(x)=：+/=0,所以九(X)在(0,+8)上单调递增，(1)=一 2 0,所以存在唯一&e (l,e),使得存%0)=&一系=0,当OVxVx。时，”(%)V 0,九(%)单调递减，当%时，(%)0,九(%)单调递增,2 2 2 4所以 h(%)m i n =九(0

23、)=XQITIXQ+2%04-=-+2 x0+=2%0+2 x0 x0 XO XO4e+-0,e所以E )o,所以【解析】(1)先对函数求导，由题意得/(%)=Inx-2ax+1 =0 在 0 时有两个不同实数解，即2 a =上 处 在 x0时有两个不同实数解，然后构造函数，结合导数分析新构X造函数的性质，进而可求；(2)要证明f (x)x -即证以几%+2 -x +j 0 在x 0 时成立，结合不等式特点构造函数，转化为求解新函数的最值，结合导数分析函数的性质，然后结合函数零点判定定理可求.本题主要考查了导数与单调性关系的应用，函数性质的应用，体现了转化化归思想的应用，属于中档题.2 2.【

24、答案】解：(1)曲线C 的参数方程为二黑s ”为参数)，转换为直角坐标方程y+y2=1：(PX pcosOy=pcosd 转换为极坐标方程为座理+p 2 si n 2。=1；x2+y2=p2(2)由于4(3,0),8(0,3),所以直线A B 的直角坐标方程为：+；=1,整理得x +y 3 =0；根 据 两 点 间 的 距 离 公 式=V 32+32=3 V 2;点M(V 5C O S Qs in g 利用点M到直线4 B 的距离d =的 的 甯 叱3|=12cos(肮)-3,当*=筌时，dm ax=强所以所以0”=(一|)2 +(-/=?,则(SAABM)E=：X 3 近 x 会=最【解析】

25、(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.第20页，共21页2 3.【答案】解：(l)/(x)=x+a-b-x+c 0,b 0,所以/(x)的最大值为a +6 +c.已知/(x)的最大值为4,所以a +b +c =4.(2)由(1)知a +b+c=4,由柯西不等式得已a?+-b2+c2)(52+42+I2)(a +6 4-25 16c)2=16,即於扶25 16 21当且仅当幺=%=,即a =黑b=,c=5时等号成立.5 4 1 2 1 2 1 2 1所以2 a 2+2 b 2 +c 2的最小值为3N5 16 Z1【解析】(1)利用绝对值不等式，求出/(X)的最大值为a +b+c,即可求a +b+c的值；(2)利用柯西不等式即可求解最小值.本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.