2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学试卷.pdf

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1、2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1.（5分）过平面外一点与这个平面平行的直线有 条.2.（5分）若正三棱锥的高和底面边长相等，则 侧 棱 和 底 面 所 成 角 为.3.（5分）一个与球心距离为I 的平面截球所得的圆面面积为m 则该球 的 表 面 积 是.4.（5分）设,匕是平面例外两条直线，且 a M,那么。是 的 条件.5.（5分）将一段长1 2 c m 的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3cm、4cm 5cni,则原铁丝的两个端点之间的距离为 cm.6.（5分）在无穷等比数列 a”中，“1=1,公比q=L 记 T =a 2 2+a

2、J+a 6 2+。2”2.则 鼠血了”2n-o o7.（5分）九章算术中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖腌，如图，若四面体A B C D为 鳖%且 4 8 _ L 平面B C D,A B=B C=C D,则 A。与平面A B C 所 成 角 大 小 为（结8.（5分）已知两条异面直线a与人所成角为3 0,尸是空间一点，若过点尸与。和人所成角都是0的直线有4条,则 0的范围是.9.（5分）设数列“”的 前 项和为S”，且 如=k）g 2 （1+1）,则满足S 1 0 的 最小值n为.1 0.（5分）我们知道，在平面几何中，已知AABC三边边长分别为a、b、c,面积为5,在 4 B C 内一点到

3、三条边的距离相等设为r,则有-Ir （。+c）=S.现有三棱锥A -B C D2的两条棱A8=C O=6,其余各棱长均为5,三棱锥A-BCC内有一点。到四个面的距离相等，则此距离等于AH1 1.(5 分)若集合 A =(?,r i )|(m+1)+(m+2)+,+(m+n)=2 0 2 0,，=Z,n G N*,则集合A中 的 元 素 个 数 为.1 2.(5 分)如图所示，在棱长为2的正方体4 8 C D-AIBICIDI中，E为棱C。的中点，点P，。分别为面AIBICIOI和线段5 1 c 上的动点，则 PE Q 周 长 的 最 小 值 为.二.选择题1 3.(5 分)设 尸1、尸2、尸3

4、、尸4为空间中的四个不同点，则“Pl、P2、P3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P l、P2、P3、尸4在同一个平面上”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件1 4.(5 分)用数学归纳法证明关于/()=(/t+1)(n+2)”(+)的命题时，f(k+1)=f(k)X,及为正整数，则空格处应填()A.2 H 1 B,(2 k+l)(2 k+2)k+1C.2 k L D.2 k 1 2 _k+1 k+11 5.(5 分)如 图 1,点 E为正方形A B C。边 8c上异于点8、C的动点，将A A B E 沿 AE翻折，得到如图2所示的四棱锥B-A

5、E C。，且 平 面 平 面 4 E C D,点尸为线段8。上异于点8、。的动点，则在四棱锥B-A E C Z)中，下列说法：直线B E与直线C F必不在同一平面上；存在点E使得直线B E J _ 平面D C E；存在点F使得直线C F与平面B A E平行;存在点E使得直线B E与直线C D垂直.1 6.（5 分）在三棱锥 A-B C D 中，AB=B C=C D=D A=S，B D=2 4 3,二面角 A-8。-C是钝角.若三棱锥A -B C D的体积为2.则三棱锥A-B C D的外接球的表面积是（）A.1 2 n B.C.1 3 n D.星 n3 4三、解答题1 7.（1 2 分）在S =

6、/+c；。3+5=1 6 且 S 3+S 5=4 2；四且$7=56.an n这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.设等差数列 的 的前项和为S”阮）是等比数列，,4=0,历=上 2.2（1）求数列 ”的通项公式；（2）求数列-L+为 的前项和.1 8.（2 0 分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6 cm,圆柱筒长2 c m.（1）这 种“浮球”的体积是多少c 户（结果精确到0.1）?（2）要在这样2 50 0 个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶1 0 0 克，共需1 9.（1 2 分）如图，长方体 A 8C D-A 1B 1

7、C 1D 1 中，0 A=C=2,DD=愿，E 是 C i 的中点，F是C E的中点.（1）求证：A平面B O F；（2）求证：平面8。尺L平面B CE；（3）求二面角。-E B-C的正切值.2 0.（1 2分）如图所示，圆锥的顶点为P,底面中心为O,母线P B=5,底面半径0 A与的夹角为仇 且。8=4.（1）求该圆锥的表面积；（2）求过顶点P的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值；（3）点E在线段0 P上，且0 E=l,是否存在。使得异面直线A E与 尸8所成角大小为6 0?若不存在，请说明理由，若存在，请求出。.（结果用反三角函数值表示）2 1.（1 4分）已知数列 斯 与 晟 满足斯+1

8、-即=入（“+1-b”）（人为非零常数），（1）若 加 是等差数列，求证：数列“也是等差数列；（2）若m=2,入=3,b n=si n.n 2 L,求数列“”的前2 0 2 1项和；（3）设m=6 i=入，b zt，1 二 岂 甘 立2（3,G N*）,若对 ”中的任意两项ai、aj Ci,J e N*,iW j）,依-勾|5cm,则原铁丝的两个端点之间的距离为_ 5 历C 7 7 2.【分析】作图，根据题设条件可证C。，A C,再直接计算求解即可.【解答】解：如图所示，铁丝被折成了两两垂直的三段AB,BC,C D,其中AB=5,BC=4,8=3,由 CQ_LA8,CDLBC,ABC BC=B

9、,可知 CQ_L平面 ABC,：.CDLAC,于是=cnr+AC2=CD2+AB2+BC2=52+42+32=50,；.A D=5后.故答案为：5&.【点评】本题考查线面垂直的判定以及空间中两点间距离的求解，考查运算求解能力，属于中档题.6.（5 分）在无穷等比数列。“中，。1 =1,公比 0 0=4一 记 一,【分析】利用等比数列的性质，判断。22 是等比数列，然后利用数列和的极限的运算法则求解即可.【解答】解：在无穷等比数列“中，6 1 1 =1,公比4=工，记 力 1=422+042+062+。2”2.2可知“2/是等比数列，公比为：A,首项为：1,1 6 42-y所以：n8 1-q 1

10、-151 6故答案为：1 5【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，等比数列的性质的应用，是中档题.7.（5 分）九章算术中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖席，如图，若四面体ABCO为 鳖 麻 且A B _L平面8 C。，A B=B C C D,则A D与平面A B C所 成 角 大 小 为arc s i n返【分析】推导出B C L O C,以C为原点，C。为无轴，C B为y轴，过C作平面B O C的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A。与平面A 8 C所成角大小.【解答】解：四面体A BC。为鳖腌，且A B L平面BCD,A 8=BC=C,：.BCLDC,以C为原点，C

11、D为x轴，C 8为y轴，过C作平面B D C的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设 A B=BC=C=1,则 A (0,1,1),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),AD=(1，-1-1)，平面 A BC 的法向量吗=(1,0,0),设A。与平面A 8 C所成角为0,则 s i n=I 他.n-1_=_ 1I A D I ,I n I V3 30=a r c s i n /,3.A Q与平面A B C所成角大小为a r c s i n返.3故答案为：a r c s i n义!.【点评】本题考查线面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查

12、数形结合思想，是中档题.8.（5分）已知两条异面直线a与人所成角为3 0,P 是空间一点，若过点尸与。和人所成角都是0的直线有4 条，则 9 的范围是 7 5 。90 .【分析】过点。作 a i a，b/b,则相交直线a i,从确定一个平面a,且“1,所成的角 为 1 5 0 或 3 0 ,设直线OA与 m,从均成。角，作平面a于点8,B C L a i 于点 C,8 O _ Lb i 于点。，记乙4。8=。1,/8 O C=e 2,（。2=1 5 或 7 5 ），利用 c o s e=c o s 9iCO S0 2,进行角之间的大小比较，从而得到答案.【解答】解：过点。作b/b,则相交直线m

13、,6确定一个平面a,且 a i,4 所成的角为1 5 0 或 3 0 ,设直线。4 与 a i,历均成。角，作 A B_ L平面a于点B,B C L m于点C,B D L b i 于点D,记NA O B=6 i,N 8 O C=6 2 （0 2=1 5 或 7 5 ）,则有 COS0=CO S01 ,CO S02,因为 0 We i W90 ,所以 O Wc o s O Wc o s。2，当 0 2=1 5 时，由 0 Wc o s 6 Wc o s l 5 ,可得 1 5 W9W90 ；当。2=7 5 时，由 0 Wc o s BWc o s 7 5 ,可得 7 5 ；故当。1 5 时，直线

14、/不存在：当。=1 5 时，直线/有且仅有1 条；当 1 5 。7 5 时，直线有且仅有2 条；当 6=7 5 时，直线/有且仅有3条；当 7 5 9 90 时，直线有且仅有4 条；当。=90 时，直线/有且仅有1 条.综上所述，0的范围是7 5 6 90 .故答案为：7 5 6 1 0的最小值为n1 0 24.【分析】根据题意可得 4 =l O g 2(1+)=1 0 g 2(尸+L),则 Sn =1 0 g 2()+1 0 g 2()+n n 1 2+l o g 2(E L)=l o g 2(2 x3x X_p+1_)=l o g 2(n+1),从而令 S”=l o g 2(n+1)1 0

15、,n 1 2 n结合”eN*即可求出满足S n 1 0的”最小值.【解答】解：根据题意，=1 0 g 2(1+1)=1 0 g 2(止1),n n所以 Sn =l o g 2()+1 0 g 2()+1 0 g 2(-RL)=l o g 2(X-2.X X _+k)=l o g 2(a+1 ),1 2 n 1 2 n令 S=l o g 2(”+l)10,则+1 2叫 由于 6 N*,所以“21 0 24(6N),所以满足Sn10的n最小值为1 0 24.故答案为：1 0 24.【点评】本题考查数列与不等式的综合问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.1 0.(5分)我们知道，在平

16、面几何中，已知 A BC三边边长分别为。、b、c,面积为S,在 4 B C内一点到三条边的距离相等设为/,则有工r (a+f t+c)=S.现有三棱锥A -BCD2的两条棱A 8=C Z)=6,其余各棱长均为5,三棱锥A-8C D内有一点。到四个面的距离相等，则 此 距 离 等 于 色 互.-8 一B【分析】把三棱锥4-B C D放置在一个长方体中，设四面体所在长方体的棱长分别为x,y,z,由已知对角线长列式求得x,y,z的值，得到四面体A-8C。的体积，再求出四面体的表面积，由等体积法求点。到四个面的距离.【解答】解：如图，把三棱锥A-B C Z)放置在一个长方体中，设四面体所在长方体的棱长

17、分别为x,y,Z,则由 7+y2=3 6,7+z 2=2 5，V+z 2=2 5,解得x=y=3&,z=J ，则四面体A-B C D的体积V=x 3 X为巧 X 长3方体体积的工)，3又四面体的表面积为S=4X1X6X7 52-32=48(每个面都是腰长为5,底边长为6的等腰三角形)，.点。到四个面的距离为2 上 上 3 互旦2.S 4 8 8故答案为：近.8【点评】本题考查空间中点、线、面见的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题.11.(5 分)若集合 A=(m,n)|(/n+1)+(?+2)+(，+)=2 0 2 0,?=Z,

18、n GN*,则集合4中的元素个数为8 .【分析】(加+2),(加+)构成等差数列，2/%+1与 的奇偶性不同.【解答】解：(2 m+”n=2 O 2 o,即(2 任 +1 )n4 0 4 0,又；4 0 4 0=2 3 X 5 X 10 1,而 2?+1与的奇偶性不同,.只能有数5或 10 1,所以有2 X 2 X 2=8 种，分别为：(2 4 8,8),(-2 4 1,5 0 5),(3 0,4 0),(-3 1,10 1),(-4 0 2,8 0 8),(4 0 1,5),(-2 0 2 0 ,4 0 4 0),(2 0 19,1),共 8 种.【点评】本题在集合的基础上考查了等差数列的求

19、和，属于中档题.12.(5 分)如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-AIBICIDI中，E 为棱CCi 的中点，点P,。分别为面AIBICIDI和线段B iC上的动点，则 P E Q周长的最小值为【分析】由题意，PE。周长取得最小值时，尸在8 1。上，在平面8 1。C B上，设E关于81 c的对称点为M关于8 1 c l的对称点为M,求 出 即 可 得 出 结 论.【解答】解：由题意，P E Q周长取得最小值时，P在Bi。上，在平面B 1 C 1 C 8上，设E关于81 c的对称点为N,关于B i C i的对称点为M,则EM=2.E N=,NMEN=135 ,，M N=,4+2-2 X 2

20、X在 X故答案为。记.【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题.二.选择题13.（5分）设P、尸2、尸3、尸4为空间中的四个不同点，则“P1、尸2、P3、尸4中有三点在同一条直线上”是“Pl、P2、P3、P 4在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【分析】“Pl、P2、P3、P 4中有三点在同一条直线上”=a、P2、P3、尸4在同一个平面上，P、尸2、P3、P 4在同一个平面上”知“尸1、P2、P3、P 4中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果.【解答】解：设尸1、P2、

21、尸3、P 4为空间中的四个不同点，则“Pl、P2、P3、P 4中有三点在同一条直线上”=Pl、P2、P3、P 4在同一个平面上”,“Pl、P2、P3、P 4在同一个平面上”知“P、尸2、P3、P 4中可以任意三点不在同一条直线上“，“Pl、P2、P3、尸4中有三点在同一条直线上”是“尸1、P2、尸3、P 4在同一个平面上”的充分非必要条件.故 选:A.【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查空间中四点共面等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题.14.(5分)用数学归纳法证明关于/()(+1)(+2)(+)的命题时，./(k+1)=f(k)X,&

22、为正整数，则空格处应填()A.2k+B.(2 k+l)(2 k+2)k+1C.2 k L D.2 k i 2k+1 k+1【分析】分别求出=*时左边的式子，n=k+时左边的式子，用=左+1时左边的式子,除以=4时左边的式子，即得所求.【解答】解：由题意可得当=上时，左 边 等 于(KI)(A+2)(k+k)=(Hl)32)(2k),当 n=k+l 时，左 边 等 于(A+2)(&+3)(k+k)(2)1+1)(2 A+2),故 从 k 到 k+1”的证明，左边需增添的代数式是(2k+l)(2k+2),k+1故选：B.【点评】本题的考点是数学归纳法，主要考查用数学归纳法证明等式，用=%+1时，左

23、边的式子除以=&时，左边的式子，是简化解题的关键.1 5.(5分)如 图1,点 为正方形A B C D边B C上异于点&C的动点，将A B E沿4 E翻折，得到如图2所示的四棱锥8-A EC C,且 平 面 平 面A ECZ),点尸为线段8。上异于点B、。的动点，则在四棱锥8-A E C D中，下列说法：直线B E与直线C F必不在同一平面上；存在点E使得直线B E,平面D C E；存在点F使得直线C F与平面B A E平行；存在点E使得直线B E与直线C D垂直.以上叙述正确的是()【分析】在中，若直线8 E 与直线C F共面，则点8,E,C,F,。五点共面，由已知得B在平面D C E外，从

24、而直线BE与直线C F必不在同一平面上;在中，当 BE_LCE时，BE必同时垂直4 E,但 AE与 BE不垂直，从而不存在点E 使得直线BE_L平面DCE-,在中，当 E 是 8 c 中点，且 F 为 8。中点时，直线C F与平面84E 平行；在中，C。与平面BCE不垂直，从而不存在点E 使得直线BE与直线C。垂直.【解答】解：在中，若直线8 E 与直线C F共面，则点8,E,C,F,。五点共面,由已知得B在平面D C E外，所以直线BE与直线C F必不在同一平面上，故正确；在中，若存在点E 使 得 直 线 平 面。CE,贝|JBE_LCE,且 BE_LC,因 为 平 面 平 面A E C D

25、,平面8AEC平面AECD=AE,所以当BE_LCE时，BE必同时垂直AE,由于AE与 BE不垂直，所以不存在点E 使 得 直 线 平 面D C E,故错误；在中，当 E 是 8 c 中点，且尸为BO中点时，直线C F与平面BAE平行，故正确；在中，因为NAEB是锐角，ZDCE=90 ,所以C D与平面B C E不垂直，所以不存在点E 使得直线8E，C,故错误，故选：B.【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.16.（5 分）在三棱锥 A-BCQ 中，A B=B C=C D=D A=S，B D=2 0 二面角 A-8。-C

26、是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2.则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是()A.12n B.&4T C.13T T D.显 T T3 4【分析】取 3 0 的中点K,连结AK,C K,得到/4 K C 为二面角A-8 O-C 的平面角，V X x lA K X CKX sinZA7CCX B D 2,进而求得NAKC=120,数形结合，得到外接3 2球半径即可.【解答】解：取 B。的中点K,连结AK,C K,由已知ABO和8CD是全等的等腰三角形，所以 AKJ_8O,CKLBD,；./A K C 为二面角A-B-C的平面角，且 BO_L平面AKC,AK=CK,所以 V=A x XA/TX C

27、KX sinZAKCX BD=2,3 2 _又 A=VAD2-KD2=2,故 sin/A K C=零，因为/A K C 为钝角，所以 NAKC=120,设A8Z),BCD的外接圆的圆心分别为M,N,则 M,N 分别在AK,CK上且M K=N K,连结由(2-AM)2+3=DM2,其中 4M=D M,解得 AM=工，同理 CN=工，4 4所以MK=NK=上，4过 M,N 分别作平面A B D,平面BC。的垂线，两垂线的交点O 为四面体A8CO的外接球的球心，连结 O K,则 OK 平分 NAKC,:.NOKN=60,从而0 2 返，O K=L4 2在 RtZXONC 中，0 2=退，CN=AM=

28、1,4 4_ _夕卜接球的半径为o c=而俞=舟|=隼，所以四面体ABCO外接球的表面积S=4nr2=4iTX J-=13ir,4故选：C.【点评】本题考查球的表面积公式，考查三棱锥体积公式，数形结合思想，属于中档偏难题.三、解答题1 7.（1 2 分）在S =2+c；如+纺=1 6 且 5 3+S 5=4 2；二史文=空工且 5 7=5 6.an n这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.设等差数列”“的前项和为S”，加 是等比数列，,b=a,2（1）求数列 的 的通项公式;（2）求数列 工+为 的前 项和.%S，n=l【分析】（1）在选择条件的情况下根据公式劭=|1、代入初步计

29、算即瓜 鼻1，的表达式，并根据等差数列的性质计 算 出 c 的值，即可计算出数列“的通项公式：在选择条件的情况下先根据题意设等差数列 ”的公差为d,然后根据已知条件列出关于首项m与公差d的方程组，解出 小 与 d的值，即可推导出数列 加 的通项公式；在选择条件的情况下先根据递推公式的特点运用累乘法推导出数列“的通项公式，然后根据 5 7=5 6 计算出a的值，进一步可推导出数列。”的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出等比数列 为 的通项公式，进一步计算出工的表达Sn式，再运用分组求和法、裂项相消法、以及等比数列的求和公式即可计算出数列 1-+为的前项和.【解答】解：（1）方案一：选择

30、条件由题意,当=1 时,a=S 1 =12+1+C=C+2,当 2 2 时，an S n-S n-=l+n+C-（7 7 -1 ）2 -1 ）-0=2 ，故 4 2=2 X 2=4,4 3 =2 X 3=6,Ac+2+6=2X4,解得 c=0,an=2nf.方案二：选择条件由题意，设等差数列仅,的公差为乩a+2d+a j+4d=16则 3X 2 5X 4，3 a +2-d+5al+y d=42ai+3d=8整理，得J,8 a1+13d=42 a 1 =2解得I 1,d=2*Cln=2z?J N*.方案三：选择条件由题意，可得 2=2,氏=旦,，al 1 a2 2 an-l n-1各项相乘，可

31、得 氏=2旦 3 _=小at 1 2 n-1*Cln=HCl,故 S7=ai+2+,+7=m+2m+7 i=28a i,:57=56,即 28m=56,/.an=2n,/iGN*.(2)由(1),可知历=m=2,历=皿=绰=4,2 2设等比数列 为 的公比为q,则 勺=些=2,bl.也=2211=2,X/S n=2n+nn 2=n(”+l),2 -1 _ 1 _ 1 _ 1,Sn n(n+l)n n+1；.数列 4+尻 的前n项和为：S n(+/?1 )+(+/7 2 )+(1+加)S 1 2 S n=+_ _!_)+(+b2+加)$1$2 Sn=(i -A+A-A+A-_ L _)+(21+

32、22+*+2/?)2 2 3 n n+11 Q 1 Q i H 1=1 -l+2 2 2n+1 1-2=2 +i 1.n+1【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求前项和问题.考查了方程思想，转化与化归，累乘法求通项公式，分组求和法、裂项相消法求和问题，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.1 8.(2 0 分)如 图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6 cm,圆柱筒长2cm.(1)这 种“浮球”的体积是多少c/(结果精确到().1)?(2)要在这样2 5 00个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶1 00克，共需【分析】(1)根据圆柱筒的直

33、径，可得半球的半径R=3 c?，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；(2)由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积S,进而得到2 5 00个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶1 00克，即可算出总共需要胶的质量.【解答】解：(1)该“浮球”的圆柱筒直径d=6 cm,半 球的直径也是6 c m,可得半径R=3cm,，两个半球的体积之和为V 球=/兀R 3 V兀,2 7=3 6 兀。（2分）而V 圆柱=兀区2 小=兀 X 9 X 2=8 兀（2分）.该“浮球”的体积是：V=V 然+V 网 桂=3 6 n+1 8 7

34、 T=5 4 n七1 6 9.6 c/（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S 球表=4 冗R2=4X兀 X 9=3 6 兀c病 （6分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：5砒恻=如 的=2X7TX3X2=12FCW （8分）.-1 个“浮球”的表面积为s=36兀+12兀 兀川1 04 1 04因此，2 5 00个“浮球”的表面积的和为2 5 005=2 5 00 兀=1 2 兀川（1 0分）1 04.每平方米需要涂胶1 00克，总共需要胶的质量为：1 00X 1 2 n=1 2 00n（克）（1 2 分）答：这种浮球的体积约为1 6 9.6 c机 3；供需胶1 2 00n克.（1 3 分）

35、【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题.1 9.（1 2 分）如图，长方体 A B C。-4 B 1 C 1 O 1 中，D A=D C 2,D D 1=百，E 是 C i D i 的中点，F是 CE的中点.（1）求证：4 平面8。2；（2）求证：平面8。尺L 平面B CE；（3）求二面角-EB-C的正切值.【分析】（1）连接AC交 BO于。点，连接。兄 欲证E A 平面B D F,在平面8。尸内寻找一直线与直线E4平行即可，而。尸是ACE的中位线，。尸A E,又 AEC平面8DF,OFu平面B

36、D F,满足定理条件；（2）欲证平面8F_L平面8C E,找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知。平面B C E,又 DRz平面8。凡 从而得到结论；（3）由（2）知 QF_L平面BCE,过 F 作尸G_LBE于 G 点，连接。G,则。G 在平面BCE中的射影为F G,则NQGF即为二面角。-E B-C 的平面角，在三角形。GF中求出此角的正切值即可.【解答】解：（1）连接AC交 8。于。点，连 接 O F,可 得。尸是ACE的中位线，OF/AE,又 AEC平面BDF,OFu平面B D F,所以EA 平面B D F（4 分）；（2）计算可得。E=O C=2,又 F 是 CE的中点，所以。尸，C

37、E又 BC_L平面。Q1C1,所以 D F L B C,又 B C C C E=C,所以。F_L平面 BCE又 DFu平面8。尸，所以平面BQF_L平面BCE（理）（8 分）；（3）由（2）知。F_L平面8C E,过 P 作 FG_L2E于 G 点，连接G,则 DG在平面8CE中的射影为F G,从而D G L B E,所以/O G F 即为二面角。-E B-C 的平面角，设其大小为 0,计算得DF=V，FG平，tanS=*=（12 分）5 小C5【点评】考查线面平行的判定以及线面角的求法，利用线面垂直证线线垂直，求二面角，本题考查的是立几中的重点知识，基本技能.20.（12分）如图所示，圆锥的

38、顶点为P,底面中心为O,母线P B=5,底面半径OA与。8的夹角为。，且。8=4.（1）求该圆锥的表面积；（2）求过顶点P的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值；(3)点 E在线段OP上，且 OE=1,是否存在0使得异面直线AE与 P B 所成角大小为6 0?若不存在，请说明理由，若存在，请求出。.(结果用反三角函数值表示)【分析】(1)利用圆锥的表面积公式求直接解.设 截 面 的 顶 角 为 a,则截面面积M=/x5X 5 s i n a=与 s i n a，则当a=9 0 时，截面面积最大，从而求出最大值.(3)取 的 靠 近 点。的三等分点尸，连接E F,AF,由 E 尸P 8 可知N A

39、 E F 或其补角为异面直线AE与 PB所成角，从而得到N A E 尸=6 0 或 1 20 ,再利用余弦定理，即可求 出 0的值.【解答】解：(1)圆锥的表面积 S=ITXP BX O B+PX0 8 2=201 T+6 n=3 6 n.(2)过顶点尸的平面截该圆锥所得的截面为等腰三角形，腰长为母线长，即腰长为5,设截面的顶角为a,则截面面积5 X 5 s i n a =-1-sina，易知轴截面 P C B 为钝角三角形，.当a=9 0 时，截面面积最大，最大值为空.2(3),；PB=5,O B=4,.,.P O=4P B2 _ 0B2=3,又；O E=1,.点E为 PO的靠近点0的三等分

40、点，取。8的靠近点。的三等分点凡 连接E F,AF,如图所示，贝“。尸=母后尸=而识禧=,以=仙 2 或2=收，：EF/PB,：./A E F 或其补角为异面直线AE与P B所成角A Z A E F=6 0 或 1 20 ,当N A E F=6 0 时，在 A E F 中，由余弦定理可得 A F2=A E2+EF2-2A EE F c o s 6 0 =1 7 -殳 反，9 3在 A O 尸中，由余弦定理得c o s e i Q A、虫I2二 32一=8U 工,20A-0F 32 16.Q-actcos _ _?_）,32 16当N A E F=1 20 时，在 A E F 中，由余弦定理可得

41、 A F2=A E1+EF2-2A E F C O S 1 20 =1 7 +员 叵，9 3在AA。尸中，由余弦定理得8$。=述句已=且立1 _,_ 20A-0F 32 16/.0=T t -a r c c o s（）,32 16_综上所述，存在。使得异面直线4E与 P B 所成角大小为6 0 ,0=a r c c o s （包 叵 一 1）_32 16或 7 T -a r c c o s （5 v 1732 16【点评】本题主要考查了圆锥的表面积公式余弦定理和异面直线所成的角，考查了分类讨论思想，是中档题.21.（1 4 分）已知数列。与 为 满足劭+1-劭=入（“+1-（人为非零常数），”

42、6 N*.（1）若 加 是等差数列,求证：数列 丽 也是等差数列；（2）若 m=2,入=3,bn=si n味，求数列 所 的前2 0 2 1 项和；（3）设 0=入，b 2,.=哈1；唯2（心 3,6N*）,若对 祈 中的任意两项ai.aj Ci,j 6 N%*j）,依-勾|可得加+4=”，为 是周期为4的数列；Cln+。”=入(历+1-b),可得“也是周期为4的数列；J T%=si n-1 4 1=2,入=3,cin+-a”=3 (bn+bn)2a2=-1,2 3=-4,74=-1,2 5 =2,那么 S n a+(4 2+3+。4+。5)+.+(0 2 0 1 8+0 2 0 1 9+2

43、0 2 0+0 2 0 2 1)=4 1+5 0 5 X (-4)=-2 0 1 8.(3)设 例=入，b=1，b J1 rl巴 庄2 (23,/?eN*)02 2n 2可 得(bn+l-bn)=可2S-bn)是 为 2-bl)为首项，公比为 的等比数列，2：.b“+i-尿=-A (_1)-1=入.pl)n,2 2 2 那么加=(bn-bn-1)+(hn-1-hn-2)+.+(历-4)+1=X .（卷 尸+X .（总 产 2+入（卷）1+入=入 2+工 1 二）nT3 3 1 2，1 1 4=入(bn-1)可得 an=*bn+a-A Z?i=2 入 _3 2 3由 4 +1 Cln 3入2（总

44、尸舁2（9尸当n为偶数时,an+、2X-W a V2由 an+-an=3入一-=卷 入 2 呜）|_ 入 2或 严 1,可知所是单调递增，那么入2-,3入2（房产尹2 尸当为奇数时，an+i-an=-（1.X2.（-1）n+|-X 2（-l）n-1）,可知如是单调递减,入2那 么 X 一 v 如人;3：V 0,入2 x 2可 得 X/一V 入入，/2 3X 2可得 4 中的最大值。1=入，最小值为a=X -2 2对 中的任意两项人勾(i,jEN*,iWj),依-勾|V 2 都成立，入2即_2，2解得：-2 入 2故得实数人的取值范围是(-2,0)U (0,2).【点评】本题考查了数列的综合问题，等差等比的应用，构造，求和以及单调性，属于难题.