2021-2022学年海南省高三（下）诊断数学试卷（三）（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年海南省高三（下）诊断数学试卷（三）一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.己知集合4=x|l 4%W 5,B-xx2-2%-3 0,则A n (CRB)=()A.(3,5B.-1,5 C.(3,+o o)D.(-o o,-l 2 .已知复数z 满足z（l +i）=2-泣 为 虚数单位），则复数z 的虚部为3.函数/。）=8$（2 乂-9 +1的图象的一个对称中心为（）A.（一 停 0）B.（詈,0）C.（-患,1）D.（詈,1）4.设a=l o g2 0.4,b=20-6,c=0.82,贝 4（）A.a b c B.b c a C.c a b D.a c b

2、5.若a 6（；,7r）且c o s 2 a=|,则t c m a=（）A.7 B.；C.D.77 76.两个不同的圆锥的底面是球。的同一截面，顶点均在球。表面上，若球。的体积为V,则这两个圆锥体积之和的最大值为（）112aA.V B.-K C,-K D.-V7.设随机变量X 服从正态分布N（l 82）,若p（x 2 -a）=0.3,则P(X a)=()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.88.海口钟楼的历史悠久，最早是为适应对外通商而建立,已成为海口的最重要的标志性与象征性建筑物之如图所示，海口钟楼的主体结构可以看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内

3、，相邻两面钟的分针所成角为60。的次数为（）A.2B.4C.6D.8二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)9.已知向量为=(l,g),b=(-1,0).则()A.a-2 6 =(2,V3)B.|a|=2bC.(a+b)L b D.五与石的夹角为g10.下列双曲线的渐近线方程为y=1 x 的是()A.-y2=l B.-=1 C.-x2=l D.g 一日=14 z 4 2 4 4 1611.环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的力Q/(空气质量指数)，数据按照(0,50,(50,100,(200,250进行分组得到下面的频率分布直方图,已知0 4Q/W 50时控气质量等级为优，贝 I J(

4、)A.甲、乙两城市ZQ/的中位数的估计值相等B.甲、乙两城市4Q/的平均数的估计值相等C.甲城市4Q/的方差比乙城市4Q/的方差小D.甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多12.“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如:取第一项为1,将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”,则第三项为21；将21描述为“1个2,1个1，则第四项为1211；将1211描述为“1个1,1个2,2个1，则第五项为111221.这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列 斯，下列说法正

5、确的是()A.若%=3,则从开始出现数字2B.若的=k(k=1,2,3,.,9),则a.(ri G N*)的最后一个数字均为kC.即 不可能为等差数列或等比数列D.若%=1 2 3,则即5 G N*)均不包含数字4第2页，共20页三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3 .已知函数/(X)=，2*-1 的定义域为 2,+8),则。=.1 4 .(2 x-专产的 展 开 式 中;的 系 数 为.(结果用数字表示)1 5 .已知椭圆C：9+，=1(0 b 0.若存在斜率为1 的直线与曲线y =/(x),y =g(x)同时相切，则 蓝 的 最 小 值 为.四、解答题(本大题共6 小题，共

6、 70.0分)1 7 .设等差数列 a j 的公差为d,前n项和为,己知$4 5 1 =3.(1)若4 =2,求 a(的通项公式;(II)若|S io l 0)的焦点为F,过F作圆M：Q+2)2+y2=4 的切线,切线长为2 遍.(I)求。的方程；(II)过F 的直线屿C 交于A,B两点,点P 在C 的准线上，满足伊川=|P B|=争 4 司,求I的方程.2 1 .如图是游乐场中一款抽奖游戏机的示意图，玩家投入一枚游戏币后，机器从上方随机放下一颗半径适当的小球，小球沿着缝隙下落，最后落入久 入 这 6 个区域中.假设小球从最上层4 个缝隙落下的概率都相同，且下落过程中遇到障碍物会等可能地从左边

7、或右边继续下落.(I )分别求小球落入以和。2 的概率；(口)已知游戏币售价为2 元/枚.若小球落入。3 和。4,则本次游戏中三等奖，小球落入 和。5,则本次游戏中二等奖，小球落入。和。6,则本次游戏中一等奖.假设第 4 页，共 20页给玩家准备的一、二、三等奖奖品的成本价格之比为3：2：1,若要使玩家平均每玩一次该游戏，商家至少获利0.7元，那么三等奖奖品的成本价格最多为多少元？小球2 2.已知函数/(无)=%-。/一2小,a E R.(1)若。=1,求/(%)的最值；(H)若a=-1,设g(x)=/(x)+2%+1,证明：当 】+x2 0时，5(xi)+-4.答案和解析1.【答案】A【解析

8、】解：B=xx2 2%3 0=x|-1%3,1 CRB=(-o o,-l)u(3,+oo),又r 4=x|l x 5,C l(CfiB)=(3,5,故选：A.解不等式化简集合B,再求CR8,进而求出4 C(CRB).本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.【答案】C【解析】解:z(l+i)=2-i(i为虚数单位),.-.z(l+=(2-1 3.贝 Ijz的虚部为一|.故选：C.z(l+i)=2-为虚数单位)，可得z(l+i)(lT)=(2 T)(l _ J),利用复数的运算法则化简即可得出.本题考查了复数的运算法则化简、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.【答案】第6页，共

9、20页D【解 析】解：对于函数%)=8$(2%-今+1的图象，令2%7 =/兀+1,k e Z,可得x =+工，k Z,故 函 数 的 对 称 中 心 为(与k e z,根据选项可知。符合.故 选：D.由题意，利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.4.【答 案】D【解 析】解：由a =l o g?。，2 =1,0 c =0.82 1,即a c b,故选：D.结合对数函数、指数函数的单调性判断大小即可.本题考查了对数值，指数值比较大小，属基础题.5.【答 案】B【解 析】解：因为c o s 2 a =cos2a-sin2a l-tan2a 24co

10、s2a+sin2a l+tan2a 25所以解得t a n?a =M又a E(p 7 T),tana 0,所以 t c m a =-7故选：B.利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得t a n 2 a =2，结合49范围a e g,兀），可得t a n a 0,即可求解t a n a的值.本题考查了二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想，属于基础题.6.【答案】B【解析】解：根据题意，两圆锥的位置如图所示时，体积最大;故L锥体=2 xX 7 r-R 2.R=故选：B.直接利用球的体积公式和锥体的体积公式的应用求出结果.本题考查的

11、知识要点：球的体积公式，锥体的体枳公式，主要考查学生的运算能力和数第8页，共20页学思维能力，属于基础题.7.【答 案】C【解 析】解：随机变量X服从正态分布N(1,M),正态曲线关于直线X=1对 称，P(X a)=P(X 2-a)=0.3,P(X a)=1-0.3=0.7.故选：C.根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.本题主要考查正态分布的对称性，考查计算能力，属于基础题.8.【答 案】D【解 析】解：在长方体/中，以点4为坐标原点，AB.AD,4公 所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设分针长为a,设矩形4&当8的对角线的交点为E,矩形4 4 1 5。的对角

12、线的交点为产，考查8：00到9：00这个时间段，设t时刻，侧面4 4$1 8、4为。山 内的钟的分针的针点的位置分别为M、N,设E”=(asin9,0,acosd)其中 360 0 0,则 前=(0,-asind,acosd),EM-F/V=a2cos2。，由已知可得|cos I=器=cos20=I，则cos。=*因为一 360。W。WO。，故。的取值为-45。、-135。、-225%-315,即在8：00到9：00这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为60。的次数为4,因此，从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为60。的次数为8.故选：D.在长方体4BC。一 4B1GD1中

13、，以点4为坐标原点，4 8、4 0、441所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设分针长为a,设矩形A A&B 的对角线的交点为E,矩形44D1。的对角线的交点为F,考查8：00到9：00这个时间段，设t时刻，侧面力力避避、441DW内的钟的分针的针点的位置分别为M、N,设 前=(asin0,0,acos。)，其中 360 0 0 ,则可7=(0,-asin。,acos。)，利用空间向量法求出9的可能取值,即可得解.本题考查了异面直线所成角，属于中档题.9【答案】BC【解析】解：向量3=(1,g)，b=(-1,0)，：.a-2 b =(3,V3)故 A 错误；|a|=2=2|K|)故

14、B 正确；v(a+K)-b=a-b 4-b=-1 +0+1=0，.+B)1 3，故 C 正确；,t 7+、Wb-1 1 cos =，ab 2x1 2.,=y,故。错误，故选：BC.由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，分别判断各选项即可.第10页，共20页本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，属于基础题.1 0 .【答 案】A D【解 析】解：?_ y 2 =1的渐近线方程为y =|x；9一?=1的渐近线方程为y =X；叱 一%2=1的渐近线方程为y =2x；4艺 一 丈=1的渐近线方程为y =；x；故 选:AD.利用双曲

15、线方程求解渐近线方程即可判断选项.本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题.1 1.【答 案】A B D【解 析】解:选 项4根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的4Q/的中位数均为1 25,故 选 项A正确；选 项B：设 甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，则a x 50 x 2+b x 50 +c x 50 x 2=1,即50(2a +b +2c)=1,同理 50(2x +z+2y)=1,甲城市的4Q/的平均数为：50 c x 25.5+50 a x 75.5+50 b x 1 25.5+50 a x 1 75.5+50 c x 225.5=50(

16、250 c +250 a +1 25.5b)=50 x 1 25.5 x (2c +2a +b)=50 x 1 25.5,乙城市的A Q/的平均数为：5O x x 25.5+5O y x 75.5+50 z x 1 25.5+50 y x 1 75.5+50 x x 225.5=50(250%+250 y +1 25.5z)=50 X 1 25.5 X (2x+2y +z)=50 X 1 25.5,所以甲、乙两城市4Q/的平均数的估计值相等，故选项8 正确；选 项 C：由图可知，乙城市A Q/的数据更集中，即方差更小，所以选项C错误；选项。：由图可知甲城市4Q/在(0,50 的频率大于0.2,

17、乙城市4Q/在(0,50 的频率小于0.2,所以甲城市A Q/在(0,50 的频率大于乙城市4Q/在(0,50 的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多，故。正确.故选：ABD.根据给出的频率分布直方图，对各个选项进行分析，判断作出正误，得出答案.本题考查了频率分布直方图的应用，属于中档题.12.【答案】BD【解析】解：对于4,%=3,即“1 个3，a2=1 3,即“1 个 1,1 个“3,=1 1 1 3,即“3 个1,1 个”，故=3 1 1 3,4 错；对于B,若%=2,3,9),即“1 个k，a2=1 k,即“1 个1,1个k”,a3=111k,即“3 个 1,1

18、个k，a4=311k,以此类推可知，a n(n e N*)的最后一个数字均为k,若a 1=1,则a 2 =11,a3=2 1 a4=12 11,以此类推可知，a(n e N*)的最后一个数字均为1.综上所述,若%=k(k=1,2,3,-,9),则a/n e N*)的最后一个数字均为k,B 对；对于C,取%=2 2,则a 2 =2 2,此时数列 斯 既是等差数列，又是等比数列，C 错；第12页，共20页对于D,%=1 2 3,则a 2 =1112 13,a3=3 112 1113,a4=1321123113,若数列 斯 中，a，k 2 5,k e N*)中为第一次出现数字4,则以一】中必出现了4

19、 个连续的相同数字，如a k _ i，则在以_ 2 的描述中必包含“口 1个，1个1”，即以-2 =11，显然以_ 2 的描述是不合平要求的，若以_ 1=2 2 2 2 或a _ i=-3 3 3 3-,同理可知均不合平题意，故a K n e N*)不包含数字4,。对.故选：BD.求出。4,可判断4 选项；分k=l、k。1两种情况讨论，逐项递推可判断B 选项；取=2 2可判断C 选项；利用假设法可判断。选项.本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题.13.【答案】4【解析】解：函 数/()=什 一 a 的定义域为 2,+8),22 a =0 则a =4,故答案为：4.由题意，根据函数

20、的定义域为 2,+8),可得2 2-a =0,然后求出a.本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题.14.【答案】112【解析】解：二项式的展开式的通项公式为4+1=C g(2 x)8-(一套)r =Cr,2S-r .(一 1厂-一 手，令8=一 1,解得r =6,所以:的系数为旗 22 (-1)6=112,故答案为：112.求出展开式的通项公式，令x的 指 数 为-1,进而可以求解.本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.15.【答 案】12【解 析】解：如 图，设椭圆的另一个焦点为心，因为|M N|+MF =MN-MF0 +2a c=1,所以椭圆的离心率为 =

21、：.a 2故答案为：p设椭圆的另一个焦点为力，利 用|M N|+MF =MN-MF0+2 a 4 2 a +|N&I可得NF0 =2,即可求解.本题考查椭圆离心率公式及点与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题.16.【答 案】2【解 析】解：函数/(%)的定义域为R，g(x)的定义域为(-%+8),fx)=ex,g(%)=吉，设/(x)的切点为4(与,/1-b),则e*i=1,=0,可得4(0,1 b),设g(x)的切点为B(%2/n(x 2 +a)庐)，则=1，x2=1 a,-a,-i(3),第14页，共20页.b-b+l=i,可得Q=庐 _ 8 +2(匕 0),a-1-=b-2=Z 7

22、2+-1=&24-+-1 3 3 Z?2-1=2.b b b b b-b b当且仅当炉=：,即b =l,a =2 时等号成立.故答案为：2.分别设出切点，利用导数的几何意义求得两切点的坐标，再由斜率相等得到a 与b 的关系,再由基本不等式求?的最小值.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.17 .【答案】解：(/4 -S 1=+03 +=3 a 3 =3，则 Q 3 =1，所以an=a3+(n 3)d =1 4-2(n -3)=2 n 5.()由(/)知，a3=1,所以 的=1 2 d,S i。I O。1 H-d=1 0(1 2 d)+4 5 d

23、2 5 d+1 0,因为F i o l 6 0,所以|2 5 d+1 0|6 0,所以-6 0 2 5 d+1 0 6 0,解得一 d 0,所以尸在x轴正半轴上，于是F(2,0),所以9=2,所以p =4,故抛物线C 的方程为y 2 =8 x；()设线段4 B 的中点为Q，由题意可知P Q 为4 B 的中垂线，且在直角A P A Q 中，由PA=-AB，即|P A|=b|A Q|,可得|P Q|=&M Q|,设I 的方程为 =m y +2,设B(x2,y2)由。2 =8%，得y 2-8 m y -1 6 =0,则为+先=8 zn,+g=m(yi+%)+4 =8 7 n 2 +4,所以Q(4 m

24、 2 +2,4 m),所以直线P Q 的方程为y =-m(x-4 m2-2)+4 m,令 =2,可得y =4 m3+8m,即P(2,4 m 3 +8 m),所以|P Q|=y/(4m2 4-4)2 4-(4 m3 4-4 m)2=(4 m2+4)V 1 +m2,又|4 B|=p +&=4 +/+%2 =8 m2+8,AQ=；AB=4 m2+4,所以(4 m 2 +4)7 1 +M =V 2(4 m2+4),解得m=1,所以 的方程为+y 2 =0,x-y-2=0.【解析】(/)点F 到圆心M的距离为J(2百尸+22=4,可求尸的坐标，从而可求C 的方程；()设线段4 B 的中点为Q,由|P*=

25、争 4 8|,可得|P Q|=在|颂|,设I 的方程为x=m y +2,设4 Q i，y i),B(x2,y2),联立方程|P Q|=7(4 m2+4)2+(4 m3+4 m)2=(4 m2+4)V 1 +m2 从而可得(4-2 +4)1 +m 2 =a(4+2 +4),求解即可.本题考抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属中档题.21.【答案】解：(I)记第一层障碍物之间的缝隙从左到右分别为A2,4 3,4 4,小球落入缝隙4为事件4(1 i 4),第二层障碍物之间的缝隙从左到右分别为B i，B2,，B s，小球落入缝隙身为事件今(1 J 5),第三层障碍物之间的缝隙从左到右分别为

26、G，C2,，。6,小球落入缝隙小为事件嬴(1 k 6),由题意，P(4)=P(i 42)=P(43)=P(?U)=：，则 P 0 1)=P(CJ=G)2P(&)=A,P(D2)=P(C2)=”(为)+(%)=(*(&)+第 p )+(4)=2(n)设三等奖奖品成本为a 元，玩家玩一次游戏获得的奖品成本为随机变量X,则X的所有可能取值为a,2a,3a,P(X=3a)=P(DD+P“6)=2 P(J)=3P(x=2d)=P(D2)+P(D5)=2P(。2)=京o第18页，共20页P(x =a)=1-P(X=2a)-P(X=3a)=%所以X的分布列为：Xa2a3ap183812所以X的数学期望为E(

27、X)=a +|x2 a+：x 3a =等,Z o o a由题意，E(X)2-0.7 =1.3,解得a W 0.8,因此三等奖奖品的成本价格最多为0.8元.(I)由题设，落入第一层各峰隙的概率为%进入下一层障碍物两侧缝隙概率均为右应用独立事件的乘法公式求落入功和。2的概率；(U)设三等奖奖品成本为a 元，X 可能取值为a,2a,3 a,进而求各可能值对应的概率并写出分布列，根据分布列求期望E(X),由E(X)W 1.3求a 的值即可.本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.22.【答案】解：(1)若。=1,则/(x)=x e*-yz(x)=1 ex x,当x 0；当 0 时，/(%)

28、0；所以/(%)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，所以/(%)的极大值，也是最大值为f(0)=-1,没有最小值.证明：(U)由题意得g(x)=ex+3%4-1,所以g(%)=ex-%4-3.令0(%)=ex%4-3,则/(%)=ex 1,当x 0时，(pf(x)0时，(pf(x)0；所以9(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递减增，所以9(%)0(0)=4,即g(%)0,于是g(x)在R 上单调递增.设F(x)=g(x)+g(x)=e +ex%2+2,则/(%)=ex-e-x 2x,令G(%)=ex-ex-2%,则=ex+e-x-2 2Jex-2 =0,所以G(x)在R 上单调递增,而G(0)=0,所以当x 0时，F(x)=G(x)0时,F(x)=G(x)0；所以F(x)F(0)=4,即g(x)+g(-x)4.当 了i +小 0时，X -x2 所以 g i)g(f)-所以 g Q。+g(%2)g(f)+g(%2)n 4.【解析】(i)求导数，确实单调性得最值；(I I)由导数确定g(x)的单调性，构造新函数尸(x)=g(x)+g(-x)=ex+ex-x2+2,再由导数确定其单调性(需要二次求导)，得最小值，利用两个单调性可得证不等式成立.本题考查用导数求函数的最值、证明不等式，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.第20页，共20页