2021-2022学年西南名校联盟“3+3+3”高三（上）诊断性数学试卷（文科）（一）（附详解）.pdf

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1、2021-2022学年西南名校联盟“3+3+3”高 三（上）诊断性数学试卷（文科）（一）一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合4=x|x 2+4x-120,x Z,B =xyx+2 o“y ：x o ，那么事件4 发生的概率为()A.?B.C.D.；27 25 27 48.已知0 0 a 0)的图象向右平移卷个单位得到函数/(x),且/(x)在(兀,2兀)内没有零点，则3的取值范围是()第2页，共20页A.(0,|)B.(O,i U|,|c.(0 i)D.(0 i)U i|)12.已知la =3伉2,b c =2m 3,则a,b,c的大小关系为()A.b c a B.c b

2、a C.b a c D.a b c二、单空题(本大题共4 小题，共 20.()分)13 .已知 a j为等差数列，5.为其前n项和.若的=-7,S 3 =-15,则a g=.14 .已知曲线C：y=2x-x3,则在点(1,1)处且与C相 切 的 直 线 方 程 为.15 .若点2(0,/?0)在直线2刀+)/1=0上，则：+3的 最 小 值 是.16 .已知AAB C中，点4(-1,0),点B(l,0),内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且。2+炉=c 2+旭S,则满足条件的点C的 轨 迹 长 度 为.3三、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17 .设又是数列 斯 的前n

3、项和，斯 羊0，a-i -1,当n N 2时，Sn_!=an.(1)求数列 即 的通项公式；(2)若=an+1+2n,求数列%的前n项和图.18 .学校文印中心计划购买一台复印机，该机器使用三年报废.在购买时，可一次性额外购买几次维护，每次维护费100元，另外实际维护一次还需向维护人员支付上门费5 0元.在机器使用期间，如果维护次数超过购机时购买的维护次数，则超出每维护一次需支付维护费3 00元，但无需再支付上门费，现需决策在购买复印机时应同时一次性购买几次维护划算，为此搜集并整理了 10台这种复印机在两年使用期间的维护次数，得如下统计表：维护次数 34 5 6 7频数2 2 3 2 1记表示

4、1台复印机在两年使用期内的维护次数，y表示1台复印机在维护上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的维护次数.(1)若?i=5,求y关于x 的函数解析式;(2)假设这10台复印机在购机的同时每台都购买5 次或6 次维护，分别计算这10台复印机在维护上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台复印机的同时应购买5 次还是6 次维护划算？19.如图甲，平面图形4 B C O E 中，A E=ED =D B =B C =1,C B 1 B D,ED/A B,N E4 B =6 0。.沿8。将4 B C D 折起，使点C 到F 的位置，如图乙，使B F 1 B E,EG/B F,且EG

5、=2B F.(1)求证：平面G EB F 1平面4 E G；(2)点M是线段FG 上的动点，当点M在什么位置时，三棱锥4 一 M B E 的体积为日?第4页，共20页2 0 .已知函数/(x)=|ax2-x bix/C r)是/(x)的导函数.(1)若函数/(X)在x =1处取得极值，3%6 (0,+oo),使得尸(久)x2 a时,证明：eXlX2 黑.2 1.如图，点M是圆4 园+3+1)2 =16 上任意点，点以0,1),线段MB的垂直平分线交半径于点P,当点M在圆A上运动时.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)B Q x 轴，交轨迹后于。点(Q 点在y 轴的右侧)，直线八刀=机丁+?1

6、与5 交于。，不过Q 点)两点，且C Q 与D Q 关于8 Q 对称，则直线，具备以下哪个性质？证明你的结论？直线，恒过定点；?n 为定值；n 为定值.2 2 .在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为1:甯S3 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)在平面直角坐标系x O y 中，4(3,0),B(0,3),M点是曲线C 上任意点，求 4 B M 面积的最大值，并求此时M的极径.2 3.已知a 0,h 0,c 0,函数/(%)=|%+可-%|+c的最大值为4.(1)求Q +b+c的值；(2)求卷a 2+白b2 +c2 的最小

7、值，并求此时a,b,c的值.2 5 l o第6页，共20页答案和解析1.【答案】D【解析】解：由 /+4x-12 0得(x-2)(*+6)0,得-6 x 2,则4=5,-4,3,2,1,0,1由得0 S x +2 4,即一2 S x 0满足的点构件成的图形为图中的三角形ODC的区域，其面积为S&OD C =-x 2 x-=29所以根据几何概型事件4发生的概率为PQ4)=受生bABC故选：C.8一2 7=2-3-9-4=先根据不等式组画出平面区域，然后求出区域的面积，求出y 0：xo的区域的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可.本题主要考查了二元一次不等式(组)与平面区域，以及几何概型的概率

8、，同时考查了画图能力，属于中档题.7.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥;所以 S*.=-x 2 x l+ix 2 x l+ix 2 x V 5+ix 2 x V 5 +2 x 2 =6+2V5.，八/衣 2 2 2 2故选：B.首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积.本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，儿何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.8 .【答案】D【解析】解：因为0aPG-QG=PG-1,（当且仅当P,G,Q共线且Q在P,G之间时取等号），PQ+PF2|PG|-l+|P F/+

9、4=PF1 +GE+3|G F/+3=V 5T4+3 =6.当且仅当P是线段Q Fi与双曲线的交点时取等号.PQ+I PF2 I的最小值是6.故选：A.求得双曲线的a,b,c,可得焦点坐标，求得圆E的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.本题考查双曲线的定义和方程、性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.1 1.【答案】B【解析】解：根据函数gO）=s i n（3%）（3 0）的图象向右平移9个单位得到函数/（x）=s i n（3x-g）的图象，由于 E（7 T,2 7 T）,所以3 7 T （D X 三

10、 2 7 r3 （/c G Z）,由于函数/（无）在（7 T,2兀）内没有零点，所以0 V 3 一限7T-3以所力e(fc2-3+k-23-1-32-3+fc-23于由1-6-3-2一3所以0 V 3 W当k=0时，|co|,故0 3 W ,或 9 (0 0),当 e (0,e)时，f(x)0,/(x)单调递增，当 x G (e,+8)时，f(x)C a,故选：A.先构造函数/(x)=手，再利用函数的单调性求解即可.本题考查了构造函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题.13.【答案】7【解析】解：根据题意，等差数列 须 中，设其公差为d,S 3 =%+a2 +=-1 5,则有3 a2 =-1

11、 5,变形可得。2 =-5,则d=a2-ai=5 (7)=2,则=a1+7d=(-7)+2x7=7,故答案为：7.根据题意，等差数列 an 中，设其公差为d,由等差数列的性质可得3 a2 =-1 5,变形第12页，共20页可得a2的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案.本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题.1 4.【答案】x +y-2 =0【解析】解：由y =2 x-%3,得了=2-3 7,y lx=i =2 3 x l2=-1,.在点(1,1)处且与C相切的直线方程为y -1 =-1 x (x-1),即 x +y 2 =0.故答案为：x+y-2=0.求出原函数的导函数

12、得到函数在x =1处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数,是基础题.1 5.【答案】8【解析】【分析】本题考查了“乘1法”和基本不等式，考查了推理能力和计算能力，属于基础题.利 用“乘1法”和基本不等式即可得出.【解答】解：若点Z(a,b)(a 0,b 0)在直线2 x +y-1 =0,则 2 a+b =1,则5 +W=+a(2 a+b)=4.+，匕I-z 4+2 ,4a =8o，a b ya b当且仅当5 =三,即b =2a =泄=”成立，故答案为：8.1 6.【答案】曳红9【解析】解：如图，+人 2=c?+炉.工

13、时 S h l C，3 3 2,.Q2ab*=sinC tanC=次，:,C=三,又c =AB=2,3 3y.4B C外 接 圆 半 径 为 C=g,所以点C 的轨迹长度为2 x型 x=竺西兀,3 3 3 3 9故答案为：到包.9根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题.1 7.【答案】解：(1)%=1,当n N 2时,Sn_!=an,:，Sn=an+lf 一 得：an=an+1-an fun=2(几-2),又a 2=S i =%=1,数 列 a.从第二项起是。2=1-公比为2的等比数列，_(l,n=1an=2n2,n 2;(2)cn=an

14、+1+2n,Tn=(a 2+。3+即+1)+2(1 +2+3+.+H)_ 1-2“、(i+n)n-Z X-1-2 2=2n+n2+n-l.【解析】(1)利用数列的递推关系式的=1,当n 2 2时，S“_ i =an,可求得数列 厮 的通项公式；(2)依题意，利用分组求和法可求得数列%的前n项和乙.第14页，共20页本题考查数列递推式的应用及分组求和，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)由题意可得，当时，y=100 x 5+50%=500+50%,当x 5时，y=150 x 5+300(%-5)=300%-750,I，_ (50 x+500,x 5(2)解：若每台

15、复印件都购买5次维护，则维护费用如表所示：维护次数34567频数22321费用y/元65070075010501350此时这10台复印机在维护上所需费用的平均数为。=*x(2 x 650+700 x 2+750 x3+0150 x 2+1350 x 1)=840,若每台复印件都购买6次维护，则维护费用如表所示：此时这10台复印机在维护上所需费用的平均数为=2 x(750 X 2+800 X 2+850 X维护次数34567频数22321费用y/元75080085090012003+900 x 2+1200 x 1)=865元，为 5 两种情况讨论，即可求出分段函数.(2)根据已知条件，分别列出

16、购买5次或6次维护费用，再结合平均数公式，即可求解.本题主要考查函数的实际应用，掌握分段函数的思想是解本题的关键，属于基础题.19.【答案】解：(1)证明：平面图形4BCOE中，4E=EO=BC=1,CB 1 BD,ED/AB,EAB=60,沿BO将BCO折起，使点C到尸的位置，使B F 1 B E,E G/B F,且EG=2BF,：.GE 1 B E,乙DEB=KDBE=30,：/.AEB=90,:.AE 1 BE,v AE A GE=E,:.BE _L 平面/CE,BE u 平面G E 8 F,工平面GEBF(2)ZA EB 中，Z,BAE=60,AEB=90,AE=1,A AB=2,BE

17、=W，S&ABE=5 X 1 X V3=设当点M到平面ABE的距离为/i时，三棱锥A-MBE的体积为立，4则三XSM B EX%=3,即，理 仁 名 解 得 九=:，3 AABb 432 4 2V GE=2BF=2BC=2,九=等，：M是G尸中点.【解析】(1)推导出GE J.BE,AE 1 B E,从而BE _L 平面4 C E,由此能证明平面GEBF _ L平面4EG.(2)求出S-BE=?，设当点M到平面4BE的距离为八 时，三棱锥4 一 MBE的体积为手，贝 为X SMBE Xh=争 求出八=|,由此能求出“是GF中点本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的判断与求法，考查空间

18、中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2 0.【答案】解：(1),(%)=ax 1 I n x,令t(%)=f(x)=ax 1 Inx,赃 G)笠 1,由题意 t(l)=0,则 Q 1=0,Q=1,则t(%)=X-1 一仇X,满足条件，v 3%G(0,+00),使(%)bx-2,即三%E(0,4-oo),使 1 Inx Z?%+2 1+-,X X令即b 九(X)max，/.l,(,X)x=-1-1-l-n-x-=lnx-2,/X2 X2 X2令()=0,则冗=e2,当%E(0,e2)时,(%)0,九(%)递增,第16页，共20页 hmin=九)=1 一2，.b

19、1 1ez实数b的取值范围是(1 一。+8);(2)证明：.*是g Q)的一个零点，%-1 =0,即/-1-吟-1=0,Q=e,则与 x2 e,要证婚厂必 詈 1,即证：/卢二lnx2 lnxr lnx2令?n(%)=e),即证m(%)在(e,+8)上递增.ex(Znx-)m、(x)=lnzx?备，令0(%)=Inx-p则易知0(x)在(e,+8)上递增，(p(x)乎(e)=1-0,M(x)0在(e,+8)上成立，7H(%)在(e,+8)上递增.v x2 e,m Qi)m(x2)即 广 号，lnx lnx2 3lnx2【解析】(1)根据函数/1(%)在x=1处取得极值得a=1,进而mx e(0

20、,+oo),b 1+：-詈，再令h(x)=1+：-？。0),求函数最小值即可得答案；(2)由:是函数g(x)=f(x)-1的一个零点得a=e,进而将问题转化为证明m(x)在(e,+8)上递增，再结合导数证明即可.本题考查了利用导数证明函数的单调性及求最值，第(2)的难点在于转化为证m(x)在(e,+8)上递增，属于中档题.P 在B M的垂直平分线上，.P =P B,所以|P 4+PB =PA +PM=A M=4 A B =2,.P 的轨迹E 是以4 B 为焦点，长轴长为4 的椭圆，由2 a=4,则a=2,c =1,b2=3,二点P 的轨迹E 的 方 程 好+?=】(2)直线2 与轨迹E 交于C

21、,C 两点,设(亚)。(%2%)，如图，(m y+n)2%=m y 4-n 2y2,x2 1 消得一+,T+T=1 4=1,3整理得(3 +4 m2)y2+8 mny+4 n2 1 2 =0,8 mn 4n2-12%+为=一 力y2=7因为C Q 与。Q 关于B Q 对称，BQ x 轴，所以kcQ+kD Q=0,Q(|1)，X l=|，*2 吗第18页，共20页1 y7 i Q QQ+二 I =，BP(y i-i)(x2-|)+(y2-1)。一|)=o,1 2 2 2 N N x1=m y1+TI,x2=my2+九,则2 n l y i%+(n -m-|)(i +y 2)-2 荏 +3 =0,

22、2 m4n 4-(n-m-)(-8 m n)-2 n +3 =0,3+4m2 2 八 3+4m2/即4 7n 2 +(4n 8)m 2 n 4-3 =0,即(2 m -l)(2 m +2 n-3)=0,若2 m +2 n 3 =0,点Q(|1)满足七%=m y 4-n,即C,D,Q 三点共线，不合题意,:.2m 1 =0,即m=I，二直线I 中m为定值a【解析】(1)根据题意得P 的轨迹E 是以4 B 为焦点，长轴长为4 的椭圆，进而根据椭圆的定义求解即可；(2)根据题意/CCQ+ADQ=0,再设。0 4 1)0(小丫2)，进而直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得整理得(2 m -l)(2 m

23、 +2 n -3)=0,再根据C,D,Q 三点不共线得m=：.本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，直线恒过定点问题，圆锥曲线中的定值问题等知识，属于中等题.2 2.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为；;就1s为参数)，转换为直角坐标方程X,7 yy+y =1;9(X=pcosOy=pcose 转换为极坐标方程为贮等+p 2s i n20 =i；x2+y2=p2(2)由于A (3,0),B(0,3),所以直线A B 的直角坐标方程为：+：=1,整理得x +y 3 =0；根据两点间的距离公式|4 B|=V 32+32=3 应；点、Mgcoscp,sincp),利用点M到直线A

24、 B 的距离d =叵空罩.皿型=!竺噌吧,v 2 v 2当w =等时，dm a x=所以M(一|,一与,所以PM=J(|)2 +(-/=竽则(S B M)ma x=T X 3/X .吟【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.2 3.【

25、答案】解：(1)/(乃=x+a-b-x+c 0,&0,所以f(x)的最大值为Q +b +c.已知/(%)的最大值为4,所以a +b +c =4.(2)由(1)知a +b +c =4,由柯西不等式得(工小+f t2+c2)(52+42 4-l2)(a +h +25 16c)2=1 6,即白&2+白 川+225，25 16 21当且仅当理=走=,即a =*b=,c =5时等号成立.5 4 1 2 1 2 1 2 1所以A a 2 +白川+c 2的最小值为今25 16 21【解析】(1)利用绝对值不等式，求 出 的 最 大 值 为 a +b +c,即可求a +b+c 的值；(2)利用柯西不等式即可求解最小值.本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.第20页，共20页