2021-2022学年上海市虹口高级中学高考数学押题试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）Tlrl、32 石,A,-+643326 16兀3 3B.8 6+6乃D.8 6 +殍2.九章算术“少广”算

2、法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：=2 及“=3 时，如图：w =3记S,为每个序列中最后一列数之和，则 S6为（）A.147 B.294 C.882 D.17643.如图所示，三国时代数学家在 周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30。，若向弦图内随机抛掷200颗 米 粒（大小忽略不计，取x/3 1,7

3、3 2）.则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）B.27C.54D.64Z J V*4 .已知 0,若对任意/e（0,+8）,关于x的 不 等 式 -/n-l n（/w +l）-l （e 为自然对数的底数）至e少有2 个正整数解，则实数。的取值范围是（A.e3+ee，2e3+e2 ，+0 e3 4-e0,-2D.+e5.X已知函数f(x)=3 +I n xQ 1在区间（Ly）上恰有四个不同的零点，则实数。的取值范围是（）xA.(e,3)11(3 收)B.0,e)C.2,+0 0)D.(-o o,e)U 3 6.已知y =o x +Z?与函数于（x）=2 1n l+5和g（x）=x2+4都相

4、切，则不等式组 0c八所确定的平面区域在x+by-2 0/+/+28 一2 y 一2 2 =0 内的面积为（）A.2兀B.3兀C.6兀D.12 47.如图，长方体45c o-中,2AB=3AAl=6,卒=2%,点 7 在棱A4上，若 7 P L平面P B C.则UU UUUTPBlB=()A.1B.-1C.28.在长方体A B C。-4AG2中，AB=,AD=0,A&=J ,则 直 线 与 平 面 A B C；所成角的余弦值为（）V15L -5A62R百1 5.-3D半9.设 a=0.82 s,Z?=s in l,c=l g 3,则 a,b,c 三数的大小关系是A.a c bB.a b cC.

5、c h a D.b c（）,y Q,x+2y=3,则 士 电 的 最 小 值 为（）孙A.3-2 后 B.2 夜+1 C.V 2-1 D.V2 +112 .如图是2 017年第一季度五省G Z）尸情况图，则下列陈述中不正确的是（）一 总量 T-与 去 年 同 期 相 比 地 长 率A.2 017年第一季度G D P增速由高到低排位第5的是浙江省.B.与去年同期相比，2 017年第一季度的G Z）尸总量实现了增长.C.2 017年第一季度G DP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1 个D.去年同期河南省的尸总量不超过4 000亿元.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0分。13

6、.已知复数2 =。+初（a/e R）,且满足iz =9+z.（其中i为虚数单位），则 a+h=.14 .已知集合4 =幻%=%+父3+。2-3 2+%-3 3 ,其 中 为 e 0,1,2 ,%=。1,2,3.且 4 工0,则集合A中所有元素的和为.15 .在三棱锥S ABC中，SA,SB,S C两两垂直且以=S3 =S C =2,点”为ABC的外接球上任意一点,则M A-M B的 最 大 值 为.人2 21 6.已知实数。力 之 一,且/一“=6 由 加=幺+_的最大值是_2 a b三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)在三棱锥二一二二二中，二二二

7、二=二二二二=二二二二=901 二二二二=4 5。,二二二二=60。,二为棱二二的中点,证明：二二1 二 二;()求直线二二与平面二二二所成角的正弦值.18.(12分)第 7 届世界军人运动会于2019年 10月 18日至27日在湖北武汉举行，赛 期 10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从

8、大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分(满分100分)数 据，统计结果如下：组另IJ30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)频数5304050452010(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，。分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求，a 的 值(，o 的值四舍五入取整数)，并计算P(5 1 X 9 3)；(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1 次抽奖机会，得分不低于的可获得2 次抽奖机会，在一次

9、抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A2I的概率为一，抽中价值为30元的纪念品3 的概率为；.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 y3 3为他参加活动获得纪念品的总价值，求 y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.(参考数据：5 X +5)a0.6827；P(-25 X +25)0.9545；P(-35 X 0,b 0,S.a+b-1.1 2(1)求一+7 的最小值;a b(2)证明:ab+2h x/5-o-0),求导可得/(加)在(0,+?)上单调递增，则/(加)/(0)=1,问题转化为(-1度-竺-1,即(x-l)e”竺-1至少有2个正整数解，构造函数g(x)

10、=(x-l)e*，M x)=-l,通过e e e导数研究单调性，由g(o)=及(0)可知，要使得g(X)0),贝!=l-彳=所以/(?)在(0,+?)上单调递增，所以/(加)/()=-1,故问题转化为至少存在两个正整数x,使得(x-l)e 竺-1成立，设eg(x)=(x-l)e*,/(%)=-1,贝iJ g(x)=A e*,当x0时g x)0,g(x)单调递增；当x 0时，力()单调递增.g(2)W(2),整理得a z曰 上.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用，考查不等式成立问题中求解参数问题，考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力，难度较难.5.A【解析】X 3/7 In

11、Y X 3/7 In x x函数/(%)=;-3+-一的零点就是方程;-3+-。=0的解，设g(x)=L，方程可化为Inx x Inx x Inx(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的导数g(x),利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出。的范围.【详解】X 3 In x x由题意得一-3+-。=0有四个大于1的不等实根，记g(x)=,则上述方程转化为Inx x In x(3)(g(x)3)+a-1 =0,I g(x)P(g(x)-3)(g(x)-a)=(),所以 g(x)=3或g(x)=a.因为g(x)=M，当xe(l,e)时，g

12、(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在x=e处取得最小值，最小值为g(e)=e.因为3 e,所以g(x)=3有两个符合条件的实数解，故X 3 In x/*)=一-3+-。在区间(1,钟)上恰有四个不相等的零点，需a e且Inx x故选：A.【点睛】本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力.【解析】根据直线旷=依+人与“X)和g(x)都相切，求得。，力的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆x2+y2+2 x-2 y-2 2 =0,由此求得正确选项.【详解】2 2/(x)=-，g(x)=2x.

13、设直线y=与/(x)相切于点A(x0,21nM+5),斜率为一，所以切线方程为XX02 2 2 1y-（21nXo+5）=（%一%）,化简得y=-x +Zlnx。+3.令g（无）=2x=,解得x=一X。/X。X。=!+4,玉）f i 1 2（11 2 1 1所以切线方程为y +4=x ,化简得y=X-r+4.由对比系数得21nxo+3=-二+4,yxo J xo k xo J X。X。X。化简得21nXo+=-1 =0.构造函数（x）=21nx+4 -l（x0）,“=2一 之=生 1或 二11,所以在o X X X X(0,1)上递减，在(l,xo)上递增，所以(X)在无=1处取得极小值也即是

14、最小值，而M1)=O,所以(力=0有唯一解 也 即 方 程 有 唯 一 解 小=1.所以切线方程为丁=2尤+3.即。=22=3.不 等 式 组 X-6FV+30*即彳x+Z?y-20 x-2y+30 x+3-2 0 画出其对应的区域如下图所示.圆f +/+2x 2y 22=0可 化 为（x+l）2 +（y 1）2 =2 4,圆 心 为A（1,1）.而方程组%.2y-+c3=0八 的解也是0/+：/+2；1-23；-22=0内的部分如下图阴影部分所示.直线工一2丁 +3=0的斜率为；，直 线x+3y-2=0的斜率1 1为 一.所 以1加/84。=1加（24即+24）=%=1,所 以/B4C=工，

15、而 圆A的 半 径 为 值 =2#，所3l-x-12 3以 阴 影 部 分 的 面 积 是:x?x（2几）=3万.【点 睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.7.D【解 析】根据线面垂直的性质，可 知7 P lp 3;结 合 羸=2函 即 可 证 明“小 三 凶 尸 用，进 而 求 得 研.由 线 段 关 系 及 平UH UUU面向量数量积定义即可求得7P-B0.【详 解】长方体 A B C D-4 用CQI 中，2AB=3A4=6,点7在棱A

16、R上，若7P_L平面PBC.则7PJ_P8，帚=2函则 NPL4=N B P B,所以 PTA s B P BX,贝4研=231=1,uir uuir|Uii|iuuir所以T P耳8=T尸 耳Bcos/PTX(1 )=V22+12X2X-=一2,I V?TFJ故选：D.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.8.C【解析】在长方体中A 8/G 2，得。与 平 面 交 于A，过。做DOLAR于。，可证。，平面A8GA，可得/。质为所求解的角，解放AAOR,即可求出结论.【详解】在长方体中AB I I C R,平面A B C,即为平面A B C R ,过。做

17、。OJ.AR 于。，QABJ_ 平面 A4Q。，(?匚平面/141。|。,，A B 1 DO,A B Q A D,=D,：.D O 1平面A B C.，,ADD,A为D R与平面ABC,所成角，在 R t A D D、,D D、A4,=6,A D y/2,A D1 5“人D R C岳：.cos Z D D,A =-=-7=-,i A R#5直线D Q与平面ABC,所 成 角 的 余 弦 值 为 半.故选:C.【点 睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.9.C【解 析】利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将 用c 与1

18、比较即可.5 2【详 解】由a =0.8 2 5 0.8 5=J|,1 ,.,.兀 乖)B 4/?=sinl sin=J 2 3 2 V 4 V 5c=i g 3 i g v nj=(i g i o=；,所 以 有c 匕 a.选 C.【点 睛】本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.10.D【解 析】通过条件判断直线二与平面二相交，于 是 可 以 判 断 A B C D 的正误.【详 解】根据直线二不平行于平面二，且 二v二可知直线二与平面二相交，于 是 A B C 错 误，故 选 D.【点 睛】本题主要考查直线与平面的位置

19、关系，直线与直线的位置关系，难度不大.11.B【解 析】八3），=炉+。+2加+2y 21+2 归互=1+20，选 Bxy 孙 y%Y y x12.c【解析】利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对 于 A 选项：2017年第一季度5 省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故 A 正确；对 于 B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5 省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故 B 正确;对 于 C 选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、

20、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2 个，故 C 错误；对 于 D 选项：去年同期河南省的GDP总量4067.4X!3815.57 所以 a=l,匕=9,所以。+匕=一8.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.14.2889【解析】先计算集合中最小的数为2 7,最大的数为8 0,可得A=27,28,8 0 ,求和即得解.【详解】当%=1,生=4 =4 =。时，集合中最小数=2 7；当q =。2 =q =%=2时，得到集合中最大的数2 x（一 二）=8 0；1 3n A.=（2c7r,2c8o,.,o8 0n1 n （2-7-+-8-0-）-X-5-

21、4-=c2o8o8c9（=2 7 2故答案为：2889【点睛】本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.1 5.2 0+2【解析】先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到-S A C 外心距离最大的问题，即可求得结果.【详解】因为S A SB,S C两两垂直且SA=SB=S C =2,故三棱锥S-A B C的外接球就是对应棱长为2 的正方体的外接球.且外接球的球心为正方体的体对角线的中点。，如下图所示：容易知外接球半径为由.设 线 段 的 中 点 为。一故 可 得 凉.砺=（丽+印）（必 可+用）=（函+利

22、.（丽-印）=|画丽2=|西 2一 2,故当|仞。|取得最大值时，血.用后取得最大值.而当M,A,B 在同一个大圆上，且 M Q L A B,点M与线段AB在球心的异侧时，|丽|取得最大值，如图所示：此时，M O =V 3,0 0,3=-2 +了一=+故答案为：26+2.【点睛】本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.1 6 3及42【解析】将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值【详解】由 /化简得2)2)a2-a =b-b2 可得。？=a +。一/，=“，b2 a2 a+b-a2 a+b-b2a b a b由几何意义得+则，=，

23、,又实数图形为,圆，如图：T2 2 4 口、a+b ciH-b-Q+I.a t b a 7 cH-b=l-c i -b+2a b a b-V2-L 1 +V 2 ,为求最大值则当过点A或点B时。+/取最小值，可得M=7 2-1 +1 +72-+2 =+12 2 2 2所 以 朋=贵+的 最 大 值 是 还+1a b 2【点睛】本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题,后求出最值问题，本题有一定难度。三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.证明见解析；（”）；对要求的二元二次表达式进行化简，然【解析】过二作二二，二 二 于 二，连接二二

24、根据勾股定理得到二二J.二二二二1.二二得到二二一平面二二 二，得到证明.()过点二作二二二二于二 证明二二一平面二二二，故 二 二 二 二 为直线二 二 与 平面二二 二 所 成角，计算夹角得到答案.【详解】过二作二二1二二于二 连接二二 根据角度的垂直关系易知：二二=1,二二=二二=:,二二=二二=逐，故二二=二 二cos二 二 二 二_ _ _ a 为 弓-=-S 1 Q-=7 根据余弦定理：”:二=一二:妾,解得二二；=:,故 二 二；=二 二；+二二;，/3/j故 二 二 J.二 二，二 二 _ L 二 二，二 二 C 二二=二，故二 二 二 平面二二 二，二 二 U 平面二 二:故

25、 二 二 1 二 二.(/)过点二作二二1二 二 于二，二二，平面二二 二，二二匚平面二二 二，故 二 二 J.二 二，二 二 1 二 二，二 二 C 二二=二,故二二-平面二二二故二二 二 二 为直线二 二 与 平面二二 二 所 成角，:=二 二；+二二；=：,根据余弦定理：cos二 二 二 二=三 三 三 =，1./,J?Rsin_=【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.(1)=65,cr14,P=0.8186；(2)详见解析.【解 析】(1)根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从 而XN(65,142),计 算 尸(51VXV93)即可；

26、(2)列出丫所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额.【详 解】解：(1)由已知频数表得:、5 30-40 50.45 20“10 E(X)=35 x-F 45 x-F 55 x-F 65 x-F 75 x-F 85 x-F 95 x-65,200 200 200 200 200 200 200Z)(X)=(35 65)2 X 0.025+(45-65)2 x0.15+(55-65)2 x 0.2+(65-65)2x 0.25+(75-65)2x 0.225+(85 65 x 0.1+(95-65)2 x0 0 5 =210,由 1 9 6 b 2

27、 2 2 5,贝！I14cr 2 1 0,所 以d4,则X服 从 正 态 分 布N(65,14),所以P(51X 93)=P(b X +2b)=P(/z-2 a X +2T)+P(/z-a X +b)20.9545+0.6827 n o i o r-=U.o 1 oO；2(2)显 然，P(X )=0.5,所 以 所 有Y的 取 值 为1 5,3 0,4 5,6 0,P（y =1 5）=l x-=1,2 3 3“、1 1 1 2 2 7P（Y=3 0）=x-+x x=，2 3 2 3 3 1 81 2 1 112 2p（y =4 5）=-x-x-+-x-x-=-,2 3 3 2 3 3 9p（y

28、 =6 0）=H L-L,2 3 3 1 8所以丫的分布列为:Y1 53 04 56 0P_37T i2911 817 2 1所以 E（y）=1 5 x +3 0 x +4 5 x +6 0 x =3 0,3 1 8 9 1 8需要的总金额为：2 0 0 x 3 0 =6 0 0 0.【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方 差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望,主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题.1 9.(1)3 +2夜(2)证明见解析【解 析】(1)利用基本不等式即可求得最小值;(2)关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证.【详 解】(1)!+?=(

29、4 +与(1 +马=3 +孕+幺.3 +2、佟2=3 +2正，当且仅当“人=&/，时取等号,a b a b b a b aI 9故 一+7的最小 值 为3 +2友；a bab+2b _ ab+2b ab+2b a2+b2+2 b2 Ab-r ab+2b2-7=（ab+2b）V5Ji2 ,当 且 仅 当。=时取等号，此 时Q +/?W 1.2 2ab+2b/+/+i 2【点 睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题.2。.工（6=.2+户）、%皿 法+0,人（力=（储+）0口 疝 伽+29）；,（x）=（a?+p e p s i n（云+证明见解析【解析】（1）对函数/（力进行求导,并通过三

30、角恒等变换进行转化求得工（X）的表达式，对函数工（X）再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得f2（X）的表达式；（2）根据（1）中工（x），力（%）的表达式进行归纳猜想，再利用数学归纳法证明即可.【详解】(1)fx(x)=(x)=aeax sin bx)4-be c os(f e r)=ya2+b2 eM j ：，:sin(Zzx)+,?,c os(f e x).b a.其中 sin 0 =/,c os(p=/其中“2 +从，”2 +从f2(x)=fx(x)=yja2+Z?2 a*sin+9)+be c os(=J/+sin(bx+(p)+b c os(hx+)b-(a-+Z?-)eKsm(

31、x+2),其中sin0=j 1,(2)猜 想/=(2+/)5*s i n(bx+nN*下面用数学归纳法证明：当=1 时,工(%)=(/+2)5 sin(/?x+/)成立，假设=攵时，猜想成立k即 力()=(a?+/I e(lx sin(b x+%夕)当=攵+1时，加(x)=4(x)k=(/+/)2 a*sin(/zx+%9)+*8S(Z7X +%9)巾+4,后%sm的+/)+一=ja2+Z?2*sin(b x+)ac os 9=厂?Ja +/T)s(bx+k(p)k+1=(a2+2)2 sin(b x+A(左+l)o),当 =左+1时，猜想成立由力(%)=(2 +2 y sin(b x+o)对

32、n e N”成立【点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.21.(1)证明见解析(0,2)；(2)存在，理由见解析【解析】(1)设直线/的方程为广奴+b代入抛物线的方程，利用求出6,即可知直线过定点(2)由斜率公式分别求 出 勺+%,%+%，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得玉+，XX2,七+匕，七匕代入匕+%2,七+%,化简即可求解.【详解】(1)证明：由题知，直线/的斜率存在且不过原点，故设/:y=Ax+6 3片0),4(刃,%)，B(x2,y2)y=k

33、x+b由2 c 可得x?-2履一2 =，X =2yx,+x2=2k,xtx2=-2b.-.O A 1 O B,.-.OA.OB=Q,(x,x2)2X /+y%=xx2=0，故b =2所以直线/的方程为y=+2故直线/恒过定点(0,2).(2)由(1)知X+工2=2幺玉工2=-4/.+=+%尤2kx.+2 kx3+2=-L+=工2C,2 22k+%乙二2左+2(3+)二女中2设C(W，K),。(王,乂)由0.(2)利 用(1)中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin Ac os A c o s C的值，又由sin 8 =sin(A+C)=sin Ac osC+c os Asin C求

34、出sin B的值，最后由正弦定理求出的值，根据三角形的面积公式即可计算得出.【详解】3(1)由已知可得c os2c =l-2sir c =一一,497所以 sin2，=,8因为在锐角 A6C中，sinC0,所以sin C=乂叵4(2)因为 c=2a 9所以 sin A=sin C=，2 8因为 ABC是锐角三角形，所以c os。=,c os A-5史,4 8所以 sin B=sin(A+C)=sin A c os C+c os A sin CV14 V2 572 V14 377=-x-1-x-=-8 4 8 4 8由正弦定理可得：里=，所以a =Ji4,sin B sin A所以 S ABc=o/?sinC=x/1 4x3/7=2 1 s/sc 2 2 4 4【点睛】此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.