江西省上饶市第一中学2024届高三上学期10月月考数学含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司上饶市一中上饶市一中 2023-2024 学年上学期高三第一次月考数学试卷学年上学期高三第一次月考数学试卷考试时间：考试时间：2023 年年 10 月 考试时长：月 考试时长：120 分钟 满分：分钟 满分：150 分=分=注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时

2、，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，上交答题卡考试结束后，上交答题卡.一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2230Ax xx，0Bx x，则10 xx（）A.RABB.RABC.RABD.RAB2.“lnln0ab”是“110ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充

3、分也不必要条件3.已知5cos45，则sin2（）A.15B.15C.25D.354.已知函数 22log3f xxaxa在区间2,上递增，则实数a的取值范围是（）A.,4B.4,4C.4,4D.4,5.函数 2442xxf xxx的图象大致为（）A.B.C.D.学科网（北京）股份有限公司6.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为2 3，60C，225abab，则c（）A.2 2B.4 2C.4D.2 37.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残

4、留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0e0ktPPt，其中k为常数，0k，0P为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 80%，那么再继续过滤 3 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）参考数据：1310.5855.A.9%B.10%C.12%D.14%8.已知sin16a，0.25b，2ln2ln3c 则a，b，c的大小关系是（）A.acbB.bacC.abcD.bca二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项

5、中，有多项有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知a、b、c、d均为实数，则下列命题中正确的是（）A.若0ab，0bcad，则0cdabB.若0ab，0cdab，则0bcadC.若0bcad，0cdab，则0ab D.若110ab，则11abab10.函数 sin0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.2B.yf x的图象关于直线512x 对称学科网（北京）股份有限公司C.将 yf x的图象向右平移3个单位长度后，得到的图象关于原点对称D.若0yfx在0

6、,上有且仅有一个零点，则1 5,3 611.已知定义在 R 上的函数 fx，其导函数 fx的定义域也为 R.若 2f xf x，且1f x为奇函数，则（）A.10fB.20240fC.fxfx D.2022fxfx12.定义在 R 上的函数 fx的导函数为 fx，且 30f xxfx，则对任意12xx，下列结论成立的是（）A.321321f xxxf xB.113ee0 xxfC.不存在1x，2x，使得62621122x f xx f xD.存在1x，2x，使得 3113221xxffxx三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）1

7、3.已知函数 e sin2xf xx，则2f_.14.已知命题p：4xa，命题q：120 xx，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.15.已知0 x，0y 且111211xy，则xy的最小值为_.16.已知定义在0,上的函数 fx满足 220 xf xx fx，324f，则关于x的不等式 23f xx的解集为_.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.等比数列 na的各项均为正数，且12231aa，23269aa a.（1）求数列 na的通项公式；（2）设3

8、1323logloglognnbaaa，求数列1nb的前n项和nT.学科网（北京）股份有限公司18.已知函数 4sin sin36f xxx（1）求 fx的最小正周期及单调递减区间；（2）函数 fx在区间0,m内有三个零点，求m的取值范围.19.如图，在多面体ABCDE中，AB 平面BCD，平面ECD 平面BCD，其中ECD是边长为 2 的正三角形，BCD是以BDC为直角的等腰三角形，3AB.（1）证明：AE平面BCD.（2）求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.20.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.皇冠图形（图 1）是

9、一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形ABCD（图 2）中，5AB，8BC，60ABC.图 1图 2（1）若5CD，3AD，求平面凹四边形ABCD的面积；（2）若120ADC，求平面凹四边形ABCD的面积的最小值.21.某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润 fx（单位：万元）与投资成本x（单位：万元）满足：ln5axf xbxx（a，b为常数，a，bR）；乙产品的平均成本利润 g x（单位：万元）与投资成本x（单位：万元）满足：2 xg xx.已知投资甲产品为 1 万元，10 万元时，获得的利润分别为 5 万元

10、，16.515 万元.（利润平均成本利润投资成本）学科网（北京）股份有限公司（1）求a，b的值；（2）若该工厂计划投入 50 万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于 10 万元，问怎样分配这50 万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？（参考数据：ln102.303，ln51.609）22.已知函数 e1xf xax.（1）讨论 fx的单调性；（2）当1x 时，1lnxf xxa，求实数a的取值范围.考考场场班班级级姓姓名名准考证号准考证号一、一、单项单项选择题选择题（共共 40 分分）二、多项二、多项选择题（选择题（共共 2020 分分）1A B C D5A B C

11、D9A B C D2A B C D6A B C D10A B C D3A B C D7A B C D11A B C D4A B C D8A B C D12A B C D正确填涂注意事项1答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用黑色水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。3考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4答选考题时，考生须先用 2B 铅笔在答题卡上按照要求把所选题目

12、对应的题号涂黑，再用黑色水签字笔按照题目要求作答。答题内容与所选题号不符，答题无效。作答的选考题号未涂，答题无效。选考题多答，按考生在答题卡上答题位置最前的题计分。5保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。1818、（1212 分）分）19、（12 分）分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效填涂样例1111000033332222444466665555888877779999111100

13、0033332222444466665555888877779999三、三、填空题填空题（共（共 20 分）分）1313、1414、1515、1616、1717、（1010 分）分）贴条码处贴条码处上饶市一中上饶市一中 2023-20242023-2024 学年上学期高三第一次月考学年上学期高三第一次月考数学答题卡数学答题卡#QQABCQQAogCIQBAAAQgCUwXQCAOQkBCCAIoORBAMIAIAQBNABAA=#QQABLQaUggggAhBAAAhCAwWACEMQkBACAIoORAAAIAAAgANABAA=#20、（12 分）分）21、（12 分）分）22、（12 分

14、）分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效#QQABCQQAogCIQBAAAQgCUwXQCAOQkBCCAIoORBAMIAIAQBNABAA=#QQABLQaUggggAhBAAAhCAwWACEMQkBACAIoORAAAIAAAgANABAA=#学科网（

15、北京）股份有限公司高三第一次月考数学参考答案与解析高三第一次月考数学参考答案与解析123456789101112DADCDBCCBCDABDACDBD13.22e14.2,515.216.0,2一一.选择题（共选择题（共 9 小题）小题）1.【分析】解不等式求出集合A，再利用集合的运算求出各选项的结果进行验证.【解答】解：由题意可得13Axx，0Bx x，则03ABxx，1ABx x，0Bx xR，所以03ABx xxR或，1ABx x R，3ABx xR，10ABxx R，故选：D.【点评】本题考查了集合的运算，是基础题.2.【答案】A【解析】【分析】通过不等式性质分别求解出lnln0ab与

16、110ab的范围，从而再进行判断.【详解】由lnln0ab，可得ln0ln0ab或ln0ln0ab，即11ab或0101ab，由110ab，可得1010ab 或1010ab ，即11ab或11ab，所以“lnln0ab”是“110ab”的充分不必要条件.故选：A.3.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用22sincos1，sin22sincos，去进行整理可得sin2.【详解】因为5cos45，所以225cossin225，平方后可得2211cossinsincos25，整理得111sin2225，所以3sin25.故选：D.4.【分析】由题意知函数 22l

17、og3f xxaxa是由2logyt和 23t xxaxa复合而来，由复合函数单调性结论，只要 t x在区间2,上单调递增且 0t x 即可.学科网（北京）股份有限公司【解答】解：令 23t xxaxa，由题意知：t x在区间2,上单调递增且 0t x，2224230ataa，又Ra解得：44a 则实数a的取值范围是4,4.故选：C.【点评】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本.5.【分析】先检验函数图象的奇偶性，然后检验0 x 和12x 即可判断.【解答】解：根据题意，2442xxf xxx的定义域为1x x ，可得 2442xxfxf xxx.故

18、fx为奇函数，排除 A，令 24402xxf xxx，解得0 x，排除 C，当12x 时，12620115242y，排除 B.故选：D.【点评】本题考查了函数图象的变换，是基础题.6.【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.【解答】解：因为ABC的面积为2 3，60C，所以13sin2 324ABCSabCab，即8ab.所以222222cos432cababCababac，所以4 2c.故选：B.【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于基础题.7.【分析】根据题意可得9001e5kPP，解得1331e5k，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t 代

19、入即可求得答案.【解答】解：因为前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 80%，所以9001e5kPP，即91e5k，所以1331e5k，再继续过滤 3 小时，废气中污染物的残留量约为4341230000011ee0.58512%55kkPPPPP，所以废气中污染物的残留量约为原污染物的 12%.故选：C.学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了指数的基本运算，也考查了函数在生活中的实际运用，属于中档题.8.【分析】a，b之间的比较通过构造函数，b，c之间的比较通过乘方运算.【解答】解：令 sin4f xxx，则 1cos44fxx，由于1cos14x，即cos4444x，所以 0fx，

20、fx在Rx上单调递增，又 0f x，所以当0 x，0f x，所以有11sin0444，即0.25sin16，即ba，由于4ln4ln3ln3c，要比较b，c，只需比较14和4ln3，只需比较14e和43，只需比较 e 和443，由于44256e3381，所以bc，所以abc.故选：C.【点评】本题主要考查对数的大小比较，属中档题.9.【分析】由不等式的性质逐一判断即可得出结论.【解答】解：A 中，0ab，10ab，又0bcad，10bcadab，即0cdab，故 A 不正确；B 中，0ab，0cdab，0cdabab，即0bcad，故 B 正确；C 中，0cdab，0bcadab，又0bcad

21、，0ab，故 C 正确；D 中，由110ab，可知0ba，0ab，0ab，11abab成立，故 D 正确.故选：BCD.【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.10.【答案】ABD【解析】【分析】由最值求A，由周期求，再由212f，可求，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断.学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得，2A，43124T，故T，2，2sin 2f xx，A 正确；又因为2sin2126f，故262k，Zk，所以23k，Zk，2所以 2sin 23f xx.对于 B，当512x 时，232x，yf x的图象关于直线512x 对称，B 正确；对于

22、 C，将 yf x的图象向右平移3个单位长度后，2sin 22sin 2333yxx得到的图象不关于原点对称，C 错误；对于 D，2sin 23fxx在0,上有且仅有一个零点0,x，2,2333x，223，1536，D 正确.故选：ABD.11.【答案】ACD【解析】【分析】由题意可以推出 fx的周期以及对称中心，根据 244f xf xf xf x ，可得 fx的周期是 4，又 fx是由1f x向左平移 1 个单位得到的，且注意到1f x为奇函数，因此 fx的对称中心为1,0；然后对每一选项逐一验证判断即可.【详解】对于 A 选项：注意到 1121fff ，又 fx是由1f x向左平移 1

23、个单位得到的，且注意到1f x为奇函数，因此 fx的对称中心为1,0即10f，因此 110ff；故 A 选项符合题意.对于 B 选项：令 cos2xf x，此时 fx满足题意，但2024cos 101210f，故 B 选项不符题意.对于 C 选项：因为 fx的对称中心为1,0，所以 20f xfx，又已知 2f xf x，所以22f xfx，这表明了 fx关于直线0 x 对称，即 f xfx，由复合函数求导法则且学科网（北京）股份有限公司同时两边对x求导得 fxfx；故 C 选项符合题意.对于 D 选项：由 fx的对称中心为1,0，即11fxfx ，两边对x求导得11fxfx ，结合 C 选项

24、分析结论 fxfx，可知111fxfxfx ，所以113fxfxfx 这表明了 fx的周期为 4，因此202224fxfxfxfx ，注意到 fxfx，所以 2022fxfx；故 D 选项符合题意.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面：fx的周期以及对称中心并举反例排除 B 选项；另一方面：得出 fx的对称轴，进而求出 fx的奇偶性、周期性.12.【分析】构造函数 3g xx f x，由题意得 0gx在 R 上恒成立，即 g x在 R 上单调递增，逐一分析选项，即可得出答案.【解答】解：令 3g xx f x，则 23233gxx f xx fxxf xxfx，30

25、f xxfx，230 xf xxfx，所以 0gx在 R 上恒成立，且 gx不恒为 0，g x在 R 上单调递增，对于 A：12xx，即12g xg x，即331122x f xx f x，但不能推得 321321f xxxf x，故 A 错误；对于 B：1e0 x，1e0 xgg，即113ee0 xxf，即113ee0 xxf.故 B 正确；对于 C：假设62621122x f xx f x，则2212g xg x，又 g x在 R 上单调递增，2212xx，取11x ，21x 能使等式成立，故存在1x，2x，使得62621122x f xx f x.故 C 错误；对于 D 中，存在1x，2

26、x，使得121xx（如11x，22x 满足12xx且121xx），则 121xggx，即 11221xxffxx，即 3113221xxffxx，故 D 正确.故选：BD.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）学科网（北京）股份有限公司13.【答案】22e【解析】【分析】根据导数的运算法则及复合函数求导的知识求得正确答案.【详解】由于 esin2esin2esin22cos2xxxfxxxxx，所以22esin2cos2e2f.故答案

27、为：22e14.【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，求出a的范围即可.【解答】解：由4xa，解得：44axa，得p：44axa；由120 xx，解得：12x，故q：12x，若p是q的必要不充分条件，即1,24,4aa，故4142aa，解得：2,5a，故答案为：2,5.【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题.15.【答案】2【解析】【分析】令21ax，1by，将已知条件简化为111ab；将xy用a，b表示，分离常数，再使用“乘 1 法”转化后利用基本不等式即可求得最小值.【详解】解：令21ax，1by，因为0 x，0y，所以1a，1b，则12ax

28、，1yb，所以111ab，所以13113122222aaaxybbbab 1312222222bababaababab，当且仅当2111baabab，即222b，21a，即22xy时取“=”，所以xy的最小值为2.16.【分析】构造函数 2g xx f x，0,x，由题意可得 g x在0,上单调递减，不等式转化学科网（北京）股份有限公司为 2g xg，利用 g x单调性，即可得出答案.【解答】解：令 2g xx f x，0,x，则 22gxxf xx fx，所以当0 x 时，220 xf xx fx，即当0 x 时，0gx，所以 g x在0,上单调递减，又 324f，所以 2423gf，因为

29、23f xx，即 23g xf x x，所以 2g xg，所以原不等式的解集为0,2.故答案为：0,2.【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性解不等式，化归转化思想，属中档题.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.【答案】（1）13nna；（2）21nn.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；（2）由13nna 化简31323logloglognnbaaa，可得到nb的通项公式，求出1

30、nb的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列 na的公比为q，由23269aa a得22349aa，所以219q.由条件可知0q，故13q.由12231aa得11231aa q，所以113a.故数列 na的通项公式为13nna.（2）313231logloglog1 22nnn nbaaan .故1211211nbn nnn .121111111122122311nnbbbnnn 学科网（北京）股份有限公司所以数列1nb的前n项和为21nn18.【分析】（1）先化简 22sin cos2 3sin3f xxxx，得 2sin 23f xx，利用周期公式2T可得周期，由正弦函数性质知

31、在3222232kxk，Zk 上递减，即可求减区间；（2）应用整体法求23x的区间，再由正弦函数的零点列出不等式求解即可.【解答】解：（1）因为 22sin cos2 3sin3sin23cos22sin 23f xxxxxxx，所以 fx的最小正周期22T，3222232kxk，Zk，5111212kxk，所以 fx的单调递减区间为511,Z1212kkk；（2）因为当0,xm时，2,2333xm，所以2233m，化简得7563m，即m的取值范围7563mm.【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题19.【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判

32、定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【解答】解：（1）取CD的中点F，连接EF，BF.因为ECD是边长为 2 的正三角形，所以EFCD，且3EF.因为平面ECD 平面BCD，且平面ECD平面BCDCD，EF 平面ECD，所以EF 平面BCD.因为AB 平面BCD，所以ABEF.因为3ABEF，所以四边形ABFE为平行四边形，所以AEBF.因为AE 平面BCD，BF 平面BCD，所以AE平面BCD.（2）过点B作BPCD，以B为坐标原点，分别以BP，BD，BA 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司则0,0,3A，0,0,0B

33、，2,2,0C，0,2,0D，1,2,3E，故2,2,3AC，1,0,3CE ，0,2,0BD ，1,2,3BE .设平面ACE的一个法向量为111,mx y z，则11111223030m ACxyzm CExz ，令12 3x，所以平面ACE的一个法向量为2 3,3,2m.设平面BDE的一个法向量为222,nxy z，则222220230n BDyn BExyz ，令23x，所以平面BDE的一个法向量为3,0,1n.设平面ACE与平面BDE的夹角为，则6222 19coscos,192 123419n mm nn m .所以平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值为2 1919.【点评】本题考

34、查线面平行的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题.20.【答案】（1）25 34；（2）71 312.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得7AC，然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得；（2）利用余弦定理及基本不等式可得49 312ADCS，进而可得平面凹四边形ABCD面积的最小值.【小问 1 详解】如图，连接AC，学科网（北京）股份有限公司在ABC中，5AB，8BC，60ABC，由余弦定理，得，222cos7ACABBCAB BCABC，在ACD中，3AD，5CD，7AC，2222223571cos22 3 52ADCDACADCAD CD ，3sin2ADC，1315 33

35、 5224ADCS ，又138 510 322ABCS ，15 325 310 344ABCADCABCDSSS四边形；【小问 2 详解】由（1）知，7AC，ACD中，2222cosACADCDAD CDADC，22493ADCDAD CDAD CD，当且仅当7 33ADCD时等号成立，493AD CD，149 3sin120212ADCSAD CD，71 310 312ABCADCADCABCDSSSS四边形，当且仅当7 33ADCD时，平面凹四边形ABCD面积取得最小值71 312.21.【分析】（1）根据投资甲产品为 1 万元，10 万元时，获得的利润列出方程，即可求得答案；（2）设甲产

36、品投资x万元，乙产品投资50 x万元，由此列出获得利润的表达式，利用导数求得最大值，可得答案.【解答】解：（1）由题意知，155ln10510101016.5151010fbafb，学科网（北京）股份有限公司整理得55ln105 1016.515bab，解得5a，0b；（2）设甲产品投资x万元，乙产品投资50 x万元，且10,40 x，则该公司获得的利润 5ln52 50505ln52 5050 xxxxxxxxxx，10,40 x；则 515 505050 xxxxxxx在10,40上单调递减，令 0 x，解得25x 或50 x （舍去），当1025x时，0 x，x单调递增，当2540 x时

37、，0 x，x单调递减，max2510ln5 1510 1.609 1531.09x，当甲，乙两种产品各投资 25 万元时，公司取得最大利润，最大利润为 31.09 万元.【点评】本题考查了函数的实际应用，属于中档题.22.【答案】（1）答案见解析（2）21ea【解析】【分析】（1）对函数求导后分0a 和0a 两种情况讨论导数的正负，从而可求出其单调区间，（2）由 1lnxf xxa，得ln1lnelneln1xxaxax，令 exh xx，则有lnln1h xahx对1,x 恒成立，判断出 h x在,单调递增，则转化为lnln1axx对1,x 恒成立，构造函数 ln1F xxx，利用导数求出其

38、最大值，从而可求出实数a的取值范围.【小问 1 详解】依题意，得 e1xfxa.当0a 时，0fx，所以 fx在,单调递增.当0a 时，令 0fx，可得lnxa；令 0fx，可得lnxa，所以 fx在,lna 单调递增，在ln,a单调递减.综上所述，当0a 时，fx在,单调递增；当0a 时，fx在,lna 单调递增，在学科网（北京）股份有限公司ln,a单调递减.【小问 2 详解】因为当1x 时，1lnxf xxa，所以1e1lnxxaxxa，即lnee1ln1lnaxxxax，即lnelnln11xaaxxx，即ln1lnelneln1xxaxax.令 exh xx，则有lnln1h xahx

39、对1,x 恒成立.因为 e10 xh x，所以 h x在,单调递增，故只需lnln1xax，即lnln1axx对1,x 恒成立.令 ln1F xxx，则 12111xFxxx，令 0Fx，得2x.当1,2x时，0Fx，当2,x时，0Fx，所以 F x在1,2单调递增，在2,单调递减，所以 22F xF.因此ln2a ，所以21ea.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为ln1lnelneln1xxaxax，构造函数 exh xx，则lnln1h xahx对1,x 恒成立，再利用函数的单调性进一步转化为lnln1axx对1,x 恒成立，再次构造函数，利用导数可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.