热点题型探究(二) [人教A版（2019）选择性必修第一册] (3227).docx

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1、热点题型探究(二) 人教A版（2019）选择性必修第一册 (3227)1. 已知直线：若则（）A.B.C.或D.或知识点：两条直线平行答案：A解析：解得. 故选.2. 已知直线：则（）A.直线与直线平行B.直线与直线平行C.直线与直线垂直D.直线与直线垂直知识点：两条直线垂直两条直线平行答案：A ； B ； C解析：直线：的斜率为.显然正确； 对于直线的斜率为故正确；对于 直线的斜率为故错误.故选.3. 已知直线：与：互相垂直，则实数的值是（）A.B.C.或D.以上都不对知识点：两条直线垂直答案：C解析：由题意解得或. 故选.4. 顺次连接点所构成的图形是（）A.矩形B.直角梯形C.等腰梯形D

2、.以上都不对知识点：两点间的斜率公式两条直线垂直两条直线平行答案：A解析：由题意得， 所以 所以四边形是平行四边形，又所以四边形为矩形. 故选.5. 过点且与直线平行的直线方程为知识点：直线的一般式方程及应用两条直线平行答案：解析：设与直线平行的直线方程为把点的坐标代入直线方程，得故直线的方程为.6. 已知直线垂直于直线且在轴上的截距为则直线的方程是（）A.B.C.D.知识点：截距的定义两条直线平行答案：A解析：因为直线垂直于直线所以设直线的方程为 又直线在轴上的截距为所以故所求直线的方程为即.故选.7. 过直线：和：的交点，且过原点的直线方程为（）A.B.C.D.知识点：直线系方程两直线的交

3、点坐标直线方程的综合应用答案：D解析：方法一：解方程组得则直线和的交点坐标为又所求直线过原点，所以所求的直线方程为即.方法二：根据题意可设所求的直线方程为因为此直线过原点，所以解得所以所求直线的方程为即.8. 已知圆的圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为（）A.B. C.D.知识点：点到直线的距离圆的定义与标准方程直线与圆相交答案：B解析：圆心到直线的距离圆截直线所得的弦长为圆的半径圆的方程为.故选.9. 在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，圆经过两点，且圆心在轴上，则圆的一般方程为（）A.B.C.D.知识点：圆的一般方程答案：A解析：由题得，直线与轴交于点与轴交于点 直线的

4、斜率为线段的中点坐标为故线段的中垂线的方程为 则线段的中垂线与轴的交点为所求的圆的圆心，半径 故所求圆的方程为即故选.10. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为则直线的方程为（）A.B.C.D.知识点：直线方程的综合应用答案：C解析：由题意知由可得直线的方程为由可得.设则的中点的坐标为代入得由可得故则直线的方程为即.故选.11. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是.知识点：直线的截距式方程截距的定义直线的斜截式方程答案：或解析：当直线过原点时，设直线，代入点，得，所以直线方程是，即，当直线不过原点时，设直线方程，代入点，得，解得，所以直线方程是故答案为或.12

5、. 如图，已知某市穿城公路自西向东到达市中心后转向正北方向现准备修建一条直线型高架公路在上设一出入口在上设一出入口且要求市中心到所在直线的距离为.(1) 若将出入口设计在与市中心的距离为处，求两出入口间的距离.(2) 在公路段上与市中心的距离为处有一古建筑(视为点)，现设立一个以为圆心，为半径的圆形保护区(包含边界)，问如何在古建筑和市中心之间设计出入口才能使高架公路及其延长线不经过保护区？知识点：直线与圆的方程的应用答案：(1) 过作交于点则在中，所以在中，则两出入口间的距离为.(2) 如图，以为原点建立平面直角坐标系，则圆的方程为.设直线的方程为则且解得或.古建筑与市中心的距离为当时不符合

6、题意，即故.故出入口应设计在与市中心的距离为以内的位置.解析：(1) 略(2) 略13. 直线被圆截得的弦长为（）A.B.C.D.知识点：点到直线的距离直线与圆相交答案：B解析：圆，圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长故选14. 已知点在圆的内部，若圆中以为中点的弦长为则（）A.B.C.D.知识点：直线与圆相交答案：A解析：圆化为标准方程为 其圆心坐标为半径 设圆心为则若圆中以为中点的弦长为则有即解得故选.15. 已知圆的一条直径经过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A.B.C.D.知识点：平面上中点坐标公式直线与圆相交答案：B解析：由圆的方程可得圆心坐标为联

7、立直线与圆得所以 所以弦的中点坐标为 由题意可得该直径所在直线的斜率，所以该直径所在直线的方程为 即故选.16. 已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（）A.B.C.D.知识点：直线和圆相切答案：D解析：显然点在圆上，当直线的斜率不存在时，直线的方程为圆的圆心坐标为，半径，此时直线与圆相交，不符合题意；当直线的斜率存在时，设切线方程的斜率为，则切线方程为，即，圆心到直线的距离，解得，则切线方程为，即故选17. 已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（）A.B.C.D.知识点：两条直线垂直直线和圆相切两条直线平行答案：C解析：由题意得 点在圆上，所以过点的直线与圆相切的切线只有一条，设过点

8、的切线的方程为即又切线与平行，所以两直线的斜率相等且在轴的截距不等，即且由圆心到切线的距离等于圆的半径，得解得则.故选.18. 已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上.(1) 求圆的方程；(2) 已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程知识点：点与圆的位置关系点到直线的距离圆的定义与标准方程直线的斜截式方程直线和圆相切直线与圆相交答案：(1) 设圆心，半径，则依据题意得到解得，即，则半径，故所求圆的方程为. (2) 当斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程得到，满足弦长符合题意；当斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，因为弦长为，半弦长为，又圆的半径为则解得，故直线的方程为，即

9、，综上，直线方程为解析：(1) 设圆心，半径，根据条件联立方程组求出圆心和半径，即可得到圆的方程(2) 分类讨论，当当斜率不存在时，直线的方程为，符合题意，当斜率存在时，设斜率为，因为弦长为，半弦长为，又圆的半径为则即可求出的值，从而得到直线方程19. 点关于直线对称的点的坐标为（）A.B.C.D.知识点：直线中的对称问题答案：A解析：易知点关于直线对称的点的坐标为，故选20. 已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（）A.B.C.D.知识点：直线中的对称问题答案：A解析：设为直线上的任意一点，则点关于直线的对称点的坐标为代入可得即故选.21. 在等腰直角三角形中点是边上异于的一点，光线从

10、点出发，经反射后又回到点(如图所示)，若光线经过的重心，则（）A.B.C.D.知识点：直线中的对称问题三角形的“四心”答案：D解析：建立如图所示的平面直角坐标系，可得 则直线的方程为即的重心的坐标为 设分别是点关于直线和轴的对称点，设所以 设则有解得 故. 由光的反射原理可知四点共线， 则 ，即，解得. 故选.22. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句是：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为并假

11、定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.B.C.D.知识点：直线中的对称问题直线和圆的数学文化问题答案：B解析：如图所示， 设点关于直线的对称点的坐标为则 的中点坐标为故解得 点到军营的最短总路程，即为点到军营的最短距离，故 “将军饮马”的最短总路程为.故选.23. 已知直线：过定点则点的坐标是，点关于直线的对称点的坐标是知识点：直线中的对称问题直线系方程答案：； 解析：直线：可变形为故直线过定点 ，所以点的坐标是.设点的坐标是 则解得所以点的坐标是.24. 已知圆：直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为（）A.B.C.D.知识点：直线与圆相交与圆有关的最值问题

12、答案：B解析：由已知得圆的圆心坐标为半径直线：可变形为令得 则直线过定点.易知点在圆的内部，则当直线与线段垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时故直线被圆截得的弦长的最小值为.故选.25. 已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线为切点，若的最小值为则的值为（）A.B.C.D.知识点：直线和圆相切与圆有关的最值问题答案：D解析：由题得当时，最小，此时最小.由题得的最小值即为圆心到直线的距离 又的最小值为所以可得.故选.26. 已知为坐标原点，点在单位圆上，过点作圆：的切线，切点为则的最小值为（）A.B.C.D.知识点：圆的定义与标准方程直线和圆相切与圆有关的最值问题答案：B解析：根据题意，

13、圆的圆心坐标为半径过点作圆的切线，切点为则当最小时最小，又点在单位圆上，则的最小值为则的最小值为.故选.27. 已知直线为上的动点.过点作的切线切点为当最小时，直线的方程为（）A.B.C.D.知识点：圆的一般方程直线和圆相切与圆有关的最值问题答案：D解析：连接，由题知的标准方程为.设，则四边形的面积.要使最小，只需最小，当且仅当时取得最小值，排除，此时检验，选项可知正确.故选.28. 已知点关于直线：的对称点为设直线经过点则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（）A.B.C.D.知识点：点到直线的距离直线中的对称问题答案：B解析：由题意得，点的坐标为. 设点到直线的距离为当时，点到直线的距离最

14、大，此时直线垂直于直线所以直线的斜率所以直线的方程为即. 故选.29. 已知圆：过点作两条互相垂直的直线其中交该圆于两点，交该圆于两点，则的最小值是，的最大值是.知识点：与圆有关的最值问题答案：； 解析：过点作交于点过点作交于点连接(图略)， 设圆心到的距离为圆心到的距离为则 又圆心到的距离的最大值为的最小值为 又所以 当且仅当时，等号成立，所以. 故的最小值为的最大值是.30. 已知直线：当时，直线与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 .知识点：直线方程的综合应用答案：解析：由题意知， 直线和轴交于点 直线与轴交于点 且和均经过定点 即两直线交于点. 则四边形的面积故当时，四

15、边形的面积最小.31. 已知：关于直线对称，且圆心在轴上.(1) 求的标准方程；(2) 已知动点在直线上，过点引圆的两条切线切点分别为记四边形的面积为求的最小值.知识点：圆的定义与标准方程圆的一般方程直线和圆相切与圆有关的最值问题答案：(1) 由题意知，圆心在直线上，则，因为圆心在轴上，所以，由得所以.故的标准方程为.(2) 由知的圆心坐标为半径因为是的两条切线，所以故又要使最小，只要最小即可.易知，当点坐标为时最小，.此时.解析：(1) 略(2) 略32. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前公元前年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

16、且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知动点满足则动点的轨迹与圆位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切知识点：圆与圆的位置关系及其判定直线和圆的数学文化问题与圆有关的轨迹问题答案：C解析：设由得整理得 则动点的轨迹是以为圆心为半径的圆， 圆的圆心坐标为半径为 两圆的圆心距为满足 则两个圆相交. 故选.33. 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以为圆心为半径为公园入口，道路为东西方向，道路经过点且向正北方向延伸现计划从处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最短长度为（）A.B.C.D.知识点：直线与圆的方程的应用答案：A解析：如图

17、所示，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆的方程为.当新路与圆相切时，新路的长度最短，记新路与的交点为.设直线的斜率为则直线的方程为即则点到直线的距离解得(舍去负值)，故直线的方程为易得故.故选.34. 已知正方体的边长为点在底面(含边界)内运动 若和与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为.知识点：直线与平面所成的角立体几何中的轨迹问题与圆有关的轨迹问题答案：解析：易知与平面所成的角为与平面所成的角为因为和与平面所成的角相等， 所以即所以所以点的轨迹是以为圆心为半径的圆的所以点的轨迹长度为.35. 如图，已知圆：是圆上的两个动点，点则矩形的顶点的轨迹方程是. 知识点：直线与圆的方程的应用与圆有关的轨迹问题答案：解析：如图，连接交于 由矩形可知为的中点，设则 连接在中，易得则 ，即整理得 故顶点的轨迹方程是.