2022-2023学年山东省淄博市第四中学高二（上）期末学情自测数学试题.docx

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1、2022-2023学年山东省淄博市第四中学高二（上）期末学情自测数学试题1. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件第一枚硬币正面朝上，事件第二枚硬币反面朝上，则与的关系为（）A.互斥B.相互对立C.相互独立D.相等知识点：相互独立事件的概念事件的互斥与对立答案：C解析：显然事件和事件不相等，故错误，由于事件与事件能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故错误；因为事件是否发生与事件无关，事件是否发生也与事件无关，故事件和事件相互独立，故正确故选2. 圆关于直线对称的圆的方程为（）A.B.C.D.知识点：直线中的对称问题圆的定义与标准方程圆中的对称问题答案：D解析：由圆的方程可得，圆心坐标半径为

2、，由题意可得关于直线对称的圆的圆心为关于直线对称的点，半径为，设所求圆的圆心为（，），则，解得，故圆的方程为，故选D3. 已知向量，若，则（）A.B.C.D.知识点：空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直答案：A解析：因为，且，所以，即解得故选A4. 抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线答案：C解析：由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，则，解得，所以焦点坐标为故选C5. 已知直线与圆：相交于两点，当变化时，的面积的最大值为（）A.B.C.D.知识点：三角形的面积（公式）直线与圆相交答案：C解析：因为直线恒过定点，定点在圆内，所以直线与圆相交，圆的圆心（，），所

3、以的面积的最大值为：故选C6. 已知抛物线：的焦点为，准线为，直线动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，为坐标原点，则当最小时，（）A.B.C.D.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的定义答案：A解析：由抛物线的定义可知，设，垂足为，当、三点共线时，最小，抛物线：，焦点（，），设直线与轴的交点为，令，得，即，在中，故选A7. 过圆：内一点作直线交圆于，两点，过，分别作圆的切线交于点，则点的坐标满足方程（ ）A.B.C.D.知识点：直线和圆相切圆与圆的公共弦与圆有关的轨迹问题答案：A解析：设，则以为直径的圆：，即因为，是圆的切线，所以，所以，在圆上，所以是圆与圆的公共弦，又因为圆：，所以由

4、得直线的方程为：，又点满足直线方程，所以，即故选A8. 如图，棱长为的正方体中，为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为（）A.B.C.D.知识点：立体几何中的动态问题答案：D解析：作关于平面的对称点，连接交平面于点可以证明此时的使得最小：任取（不含），此时在点处建立如图所示空间直角坐标系，则，因为，分别为的三等分点，所以（，），（，），又点距平面的距离为，所以，的最小值为故选D.9. 已知椭圆：的焦距为则（）A.椭圆的焦点在轴上B.椭圆的长轴长是短轴长的倍C.椭圆的离心率为D.椭圆上的点到其一个焦点的最大距离为知识点：椭圆的离心率椭圆的标准方程椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦

5、距椭圆的其他性质答案：B ； C解析：由已知椭圆方程可得则又椭圆的焦距为所以则所以椭圆的方程为所以所以故正确；焦点在轴上，故不正确；椭圆的离心率故正确；椭圆上的点到其一个焦点的最大距离为故不正确.故选.10. 下列四个命題中是真命题的是（）A.圆：与圆：恰有三条公切线B.若点（，）在圆的内部，则C.若直线与曲线只有一个公共点，则D.若的图象与圆有两个公共点，则知识点：点与圆的位置关系直线与圆的方程的应用两圆的公切线条数及方程的确定圆与圆的位置关系及其判定答案：A ； B ； D解析：对于，圆：，则，半径，圆，则，半径，所以两圆外切，所以圆：与圆：恰有三条公切线，故正确；对于，若点（，）在圆的内

6、部，则，解得，故正确；对于，曲线化为，则曲线是以原点为圆心，为半径轴上半部分的圆（包括轴），当直线过点（，）时，当直线过点时，当直线与曲线相切时，则，解得（负值舍去），所以，若直线与曲线只有一个公共点，则或，故错误；对于，因为圆关于轴对称，则的图象与圆有两个公共点，即为直线的图象与圆有两个公共点，所以圆心（，）到直线的距离，所以，故正确故选11. 正方体的棱长为，分别为，的中点则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.点和点到平面的距离相等知识点：立体几何中的截面、交线问题用空间向量研究空间中直线、平面的垂直用空间向量研究点到平面的距离用空间向量研究空间中直

7、线、平面的平行答案：B ； C ； D解析：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），所以，对于：因为，所以直线与直线不垂直故错误；对于：设平面的法向量，则取，得且平面，直线与平面平行故正确；对于：连接，分别是，的中点，面截正方体所得的截面为梯形，面截正方体所得的截面面积为：故正确；对于：由前面可知平面的法向量点到平面的距离，点到平面的距离，点和点到平面的距离相等故正确故选总结：立体几何题目的基本方法：（）用几何法证明或计算；（2）向量法：建立合适的坐标系；把要用到的向量正确表示；利用向量法证明或计算12. 为椭圆：上的动点，

8、过点作的切线，交圆：于过作圆的切线，交于则（）A.的最大值为B.的最大值为C.的轨迹方程为D.的轨迹方程为知识点：圆锥曲线中求轨迹方程直线与椭圆的综合应用椭圆的其他性质直线和圆相切点与椭圆的位置关系答案：A ； C解析：不妨设点的坐标为点的坐标为 故所在直线的方程为. 又点为椭圆上的一点， 所以所在直线的方程为则即. 不妨设直线交于点故 设直线的方程为 则又 所以三角形的面积当且仅当且即时取等号. 因为点在椭圆上，所以又所以整理得 故动点的轨迹方程为.故选.13. 甲，乙，丙三个同学独立求解同一道数学题，他们各自解出该数学题的概率分别为，则这道数学题被解出来的概率为知识点：互斥事件的概率加法公

9、式相互独立事件的概率答案：解析：设这道数学题被解出来的事件为，则这道数学题被解出来的概率为故答案为：14. 已知圆：，过点（，）作圆的切线，则切线方程为知识点：直线和圆相切答案：或解析：由题设，故在圆外，根据圆：及（，），知：过作圆的切线斜率一定存在，可设切线为联立圆的方程，整理得，解得或切线方程为或15. 已知椭圆（，）在左、右焦点分别为，点在椭圆上，是坐标原点，则椭圆的离心率是知识点：椭圆的离心率椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距椭圆的定义答案：解析：椭圆半焦距为，因，则，由椭圆定义得，在中，由余弦定理得：，即，整理得，因此有，而，解得，所以椭圆的离心率是故答案为：16. 已知为等腰直角三

10、角形，为直角顶点，中点为，斜边上中线所在直线方程为，且点的纵坐标大于点的纵坐标，则所在直线的方程为知识点：两条直线垂直直线方程的综合应用答案：解析：因为中线所在直线方程为，所以可设，（），由中点为，可得，所以，为等腰直角三角形，为中线，又，是的中点，化简得：，由解得，所以点（，），又因为，所以直线方程为，即所求方程为17. 根据调查，某学校开设了街舞、国棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团街舞围棋武术人数为调查社团开展情况，学校社团管理都采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少人(1) 求三个社团分别抽取了多少同学；(

11、2) 若从围棋社团抽取的同学中选出人担任该社团活动监督的职务，已知围棋社团被抽取的同学中有名女生，求至少有名女同学被选为监督职务的概率知识点：古典概型的概率计算公式分层随机抽样的概念答案：(1) 设抽样比为，则由分层抽样可知，“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为 则由题意得，解得故“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为、(2) 由（1）知，从“围棋”社团抽取的同学为人，其中位女生记为；位男生记为，从中选出人担任该社团活动监督的职务有种不同的结果，至少有名女同学被选为监督职务有种不同的结果，所以至少有1名女同学被选为监督职务的概率解析：(1) 设抽样比为，则由分层抽

12、样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为、由题意列出方程，能求出街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数(2) 从围棋社团抽取了人，其中位女生记为，位男生记为，利用列举法能求出从这位同学中任选人，至少有名女生被选中的概率18. 如图，四边形为正方形，若平面平面，(1) 求二面角的余弦值；(2) 判断点与平面的位置关系，并说明理由知识点：共面向量定理用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 因为平面平面，且交线为，因为四边形为正方形，所以，于是平面，以为原点，所在方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系设，容易得到，所以，设平面的法向量为，由，可取，又，设平面的法向量为，由，可取，所以，所

13、以二面角的的余弦值为(2) 点在平面外，证明如下，连接，因为，设，则，即，显然此方程组无解，所以四点不共面，即点在平面外解析：(1) 设出相应线段的长度，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求得答案；(2) 根据空间向量共面定理即可判断19. 已知的顶点坐标分别为，圆为的外接圆(1) 求圆的方程；(2) 直线与圆相切，求直线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的方程知识点：圆的一般方程直线和圆相切直线方程的综合应用答案：(1) 设圆方程为：，则，解得：，圆方程为：，即；(2) 由题意知：直线在轴的截距不为零，可设：，即直线与圆相切，即（当且仅当时取等号），即当时，直线与两坐标轴所围成的三

14、角形面积最小，此时所有可能的结果为：或或或，的方程为：或或或解析：(1) 略(2) 略20. 设抛物线：（），其焦点为，准线为，点为上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，且，(1) 求抛物线的方程；(2) 设点为外的一点且点不在坐标轴上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，证明：直线与直线关于轴对称知识点：抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的定义直线与抛物线的综合应用导数的几何意义圆锥曲线的对称性问题答案：(1) ，为等边三角形，又，设直线交轴于点，则在中，的方程为(2) 设点，又的方程为可化为，所以过点且与相切的直线的斜率为，过点且与相切的直线的斜率为，所以直线的方程

15、为，直线的方程为又直线与均过点，又，所以直线的方程为联立方程和得方程组消去得，又，则直线的斜率；直线的斜率，所以直线与直线关于轴对称解析：(1) 略(2) 略21. 如图，在三棱锥中，平面，(1) 求证：平面平面；(2) 若，求平面与平面的夹角大小知识点：二面角直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 证明：因为平面，平面，所以因为，所以平面因为所以，故平面因为平面所以平面平面(2) 方法一：因为所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设是平面的法向量，则，即，令则，所以，设是平面的法向量，则，即，令则，所以，所以所以平

16、面与平面的夹角的大小为方法二：如图，过作，垂足为，连接由（1）中的垂直关系及条件可计算得，所以所以所以为二面角的平面角，所以在中，由余弦定理可得所以，所以平面与平面的夹角的大小为解析：(1) 略(2) 略22. 已知双曲线：（）的左顶点为，点在渐近线上，过点的直线交双曲线的右支于两点，直线分别交直线于点(1) 求双曲线的方程：(2) 求证：为的中点知识点：双曲线的渐近线直线与双曲线的综合应用直线与圆锥曲线的其他应用双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距答案：(1) 依题意得，解得，所以双曲线的方程为(2) 如图所示：方法一：设直线，则由消去得，当时由韦达定理得，直线方程为，直线：，直线：由得，同

17、理可得要证为的中点，只需证，即证，得证方法二：设直线，则由，得，当时由韦达定理得，直线方程为，直线，直线，由得，同理可得，要证为的中点，只需证，即证，即证，由只需证，即证，只需证，即证，由可知显然成立得证解析：(1) 略(2) 略总结：(2) 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题