第2课时 直线与抛物线的位置关系及其应用 [人教A版（2019）选择性必修第一册] (3227).docx

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1、第2课时 直线与抛物线的位置关系及其应用 人教A版（2019）选择性必修第一册 (3227)1. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于两点，若的横坐标之和等于，则这样的直线（）A.有且只有一条B.有两条C.有无穷多条D.不存在知识点：抛物线的标准方程直线与抛物线的综合应用答案：B解析：设的横坐标分别为. 当直线的斜率不存在时不符合题意； 当直线的斜率存在时，由焦点坐标为可设直线方程为 由 得 即. 因而这样的直线有且仅有两条，故选.2. 设是坐标原点是抛物线的焦点是抛物线上的一点.若与轴正方向的夹角为则（）A.B.C.D.知识点：直线与抛物线的综合应用答案：B解析：依题意，不妨设所在直线的方程

2、为，即.由可得或.与轴正方向的夹角为.3. 设抛物线：的焦点为直线与交于两点，且则的值为（）A.B.C.D.知识点：直线与抛物线的综合应用抛物线的定义答案：A解析：设将直线代入 消去得 所以.由 抛物线：的准线方程为 可知 所以解得.4. 已知抛物线方程为动点的坐标为若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（）A.B.C.D.知识点：直线与抛物线的综合应用圆锥曲线的弦长及中点弦问题答案：A解析：设由题意得直线的斜率故选.5. 若直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值是.知识点：直线与抛物线的交点个数答案：或解析：当时，直线方程为与抛物线只有一个公共点，其坐标为； 当时

3、，由 消去得 由解得. 故或.6. 已知抛物线的焦点为准线为过抛物线上一点作交于点若直线的倾斜角为则. 知识点：抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的定义直线与抛物线的综合应用答案：解析：由抛物线的方程为可得焦点准线方程为直线的倾斜角为直线的斜率直线的方程为.由得代入抛物线的方程可得解得.7. 若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为，则）A.B.C.D.知识点：向量坐标与向量的数量积抛物线的顶点、焦点、准线直线与抛物线的综合应用答案：D解析：解：把代入，得，即抛物线方程为，抛物线焦点，过抛物线焦点，则故选：把点坐标代入抛物线方程求得，由直线过抛物线焦点，可得的横坐标及，再由数量积

4、的坐标运算求解本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题8. 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线的焦点的正三角形的个数记为则（）A.B.C.D.知识点：抛物线的标准方程抛物线的对称性直线与抛物线的交点个数答案：C解析：由抛物线关于轴对称，得正三角形的两个顶点一定关于轴对称，且以焦点为一端点的两条边所在的直线与轴的夹角均为又过焦点的直线与抛物线最多有个交点，所以满足条件的三角形有个，故选.9. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点为坐标原点.若则的面积为（）A.B.C.D.知识点：抛物线的定义抛物线的焦点弦问题直线的倾斜角答案：C解析：设直线的倾斜角为及，点到准

5、线的距离为的面积为故选10. 已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于两点，直线分别与抛物线交于点设直线的斜率分别为则（）A.B.C.D.知识点：直线与抛物线的综合应用答案：D解析：易知设 设直线：直线： 直线：.由消去得 由根与系数的关系得同理， .故选.11. 已知抛物线：，焦点为过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.以线段为直径的圆与直线相切C.为定值D.若则知识点：直线与抛物线的综合应用抛物线的焦点弦问题直线和圆相切圆锥曲线的最值（范围）问题直线的斜率答案：B ； C ； D解析：抛物线：的焦点坐标为准线方程为过焦点的弦中通径最短，所以的最小值为故不正确

6、；如图，设线段的中点为过点作准线 的垂线，垂足分别为由抛物线的定义可知所以所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确；设直线的方程为由消去整理得所以故C正确；则故 故D正确.故选BCD.12. 已知抛物线：的焦点为准线为过点的直线与抛物线交于两点分别为在上的射影，且为中点，则下列说法正确的是（）A.B.为等腰直角三角形C.直线的斜率为D.的面积为知识点：抛物线的定义直线与抛物线的综合应用抛物线的焦点弦问题答案：A ； C解析：对于因为所以 又因为所以所以平分 同理可知平分所以故正确； 对于过点作准线的垂线，垂足为(图略)， 假设为等腰直角三角形，则 又因为 所以显然不成立，故错误； 对于易知设直

7、线的方程为由消去得设 则 又因为所以所以 所以所以所以直线的斜率为故正确； 对于取由选项可知所以所以故错误.故选13. 已知抛物线与直线相交于两点为坐标原点，设直线的斜率分别为则. 知识点：直线与抛物线的综合应用答案：解析：设易知则所以由消去得由根与系数的关系得 故.14. 已知直线与抛物线交于两点.若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为；若则.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线直线与抛物线的综合应用答案：； 解析：由于直线过抛物线的焦点，将代入直线方程，得所以抛物线的焦点坐标为 所以抛物线的准线方程为. 由消去得 设则 因为所以即 所以 所以解得.15. 已知抛物线的方程为直线的方程为为坐

8、标原点.(1) 求证：与必有两个交点；(2) 设与交于两点，且直线和的斜率之和为求的值.知识点：直线与抛物线的综合应用直线与抛物线的交点个数直线的斜率答案：(1) 证明：联立抛物线和直线的方程，整理得与必有两个交点.(2) 设则由题意知，又代入，整理得，由知代入可得.解析：(1) 略(2) 略16. 已知是抛物线：上的四点关于抛物线的对称轴对称且分别在直线的两侧，直线：是抛物线在点处的切线，且.(1) 求抛物线的方程；(2) 求证：平分.知识点：抛物线的标准方程直线与抛物线的综合应用答案：(1) 由 消去得因为直线与抛物线相切，所以可得所以抛物线的方程为.(2) 证明：设由可得.因为直线所以设

9、直线的方程为由消去得所以所以.因为关于抛物线的对称轴对称，所以轴，所以轴，又因为所以平分.解析：(1) 略(2) 略17. 斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（）A.为定值B.为定值C.点的轨迹为圆的一部分D.点的轨迹是圆的一部分知识点：平面向量数乘的坐标运算直线与抛物线的综合应用答案：C解析：解：斜率为的直线过抛物线焦点，设直线，联立抛物线的方程，可得设，则，可得，即，故正确；故正确；由，消去，可得，可得的轨迹为抛物线的一部分，故不正确；在直角三角形中，斜边，则的轨迹为以为直径的圆的一部分，故正确故选：求得抛物线的焦点，设直线，联立抛物线的

10、方程，设，运用韦达定理和中点坐标公式，以及向量数量积的坐标表示，即可判断，再由直角三角形的性质，即可得到的轨迹，即可判断本题考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及轨迹方程的求法，注意运用代入法和平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题18. 已知抛物线：抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.(1) 求抛物线的方程及其准线方程.(2) 过的直线交抛物线于不同的两点交直线于点直线交直线于点.是否存在这样的直线使得若不存在，请说明理由；若存在，求出直线的方程.知识点：抛物线的顶点、焦点、准线抛物线的标准方程抛物线的定义直线与抛物线的综合应用圆锥曲线的存在性问题答案：(1) 因为横坐标为的点到焦点的距离为所以解得所以抛物线的方程为所以准线方程为.(2) 显然直线的斜率存在，设直线的方程为.由消去得由解得所以且.由根与系数的关系得.方法一：易知则直线的方程为又所以所以.因为所以直线与直线的斜率相等，又所以整理得即化简得 又所以所以解得经检验符合题意，所以存在这样的直线直线的方程为或.方法二：因为所以所以整理得即解得经检验符合题意，所以存在这样的直线直线的方程为或.解析：(1) 略(2) 略