公用设备工程师-公共基础-高等数学-微分学.docx

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1、公用设备工程师-公共基础-高等数学-微分学单选题1.函数f（x）在点xx0处连续是f（x）在点xx0处可微的()。2019年真题A.充分条件B.充要条件C.必（江南博哥）要条件D.无关条件 正确答案：C参考解析：可导等价于可微，可导必连续，而连续未必可导，如函数y|x|在x0处函数连续但不可导。因此可微是连续的充分条件，连续是可微的必要条件。单选题2.函数f（x）sin（x/2）在区间，上的最小值点x0等于()。2017年真题A.B.0C./2D. 正确答案：B参考解析：对函数求导得f（x）cos（x/2），令f（x）cos（x/2）0，计算得x/2/2k，k0，1，2，得xk，根据区间，知：

2、当k0时，x，函数有最大值1；当k1时，x只能取0，函数有最小值1；当k2时，x只能取，函数有最大值1。综上，知最小值点x0等于0。单选题3.下列极限式中，能够使用洛必达法则求极限的是()。2016年真题A.B.C.D. 正确答案：B参考解析：求极限时，洛必达法则的使用条件有：属于0/0型或者无穷/无穷型的未定式；在变量所趋向的值的去心邻域内，分子和分母均可导；分子分母求导后的商的极限存在或趋向于无穷大。A项属于1/0型，不符合条件；C项，分子在x0处的去心邻域处不可导，不符合条件；D项不符合条件；则只有B项正确。单选题4.下列等式中不成立的是()。2018年真题A.B.C.D. 正确答案：B

3、参考解析：A项，因为x0，所以x20，所以利用上面重要极限的结论知B项，极限可化为极限为无穷小量；而|sinx|1，sinx为有界函数。因为有界函数与无穷小的乘积是无穷小，所以C项，即为上面重要极限结论。D项，因为x，得1/x0，所以利用重要极限知单选题5.若则常数k等于()。2014年真题A.ln2B.ln2C.1D.2 正确答案：A参考解析：由两边同时取自然对数，得：kln2，所以kln2。单选题6.若则必有()。2013年真题A.a1，b2B.a1，b2C.a1，b1D.a1，b1 正确答案：C参考解析：因为且分母为零，故得2ab0，又由洛必达法则，有解得：a1。则b1。单选题7.设（x

4、）1cosx，（x）2x2，则当x0时，下列结论中正确的是()。2012年真题A.（x）与（x）是等价无穷小B.（x）是（x）的高阶无穷小C.（x）是（x）的低阶无穷小D.（x）与（x）是同阶无穷小但不是等价无穷小 正确答案：D参考解析：因或用洛必达法则故（x）与（x）是同阶无穷小但不是等价无穷小。单选题8.要使得函数在（0，）上连续，则常数a等于()。2017年真题A.0B.1C.1D.2 正确答案：C参考解析：函数在（0，）上连续，因此在x1处，有即由洛必达法则，得即a1。单选题9.点x0是函数yarctan（1/x）的()。2014年真题A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间

5、断点 正确答案：B参考解析：第一类间断点的判别方法为：如果f（x）在点x0处间断，且f（x0），f（x0）都存在。其中，如果f（x0）f（x0），则称点x0为函数f（x）的跳跃间断点。本题中，因为y（0）/2，y（0）/2，y（0）y（0），所以点x0是函数yarctan（1/x）的跳跃间断点。单选题10.设则x0是f（x）的下面哪一种情况？()2012年真题A.跳跃间断点B.可去间断点C.第二类间断点D.连续点 正确答案：D参考解析：函数在某一点处，左右极限相等且有定义，则函数在这一点处连续。函数的左右极限分别为：由得f（0）（x21）|x01所以即x0是f（x）的连续点。单选题11.函数f

6、（x）（xx2）/sinx的可去间断点的个数为()。2011年真题A.1个B.2个C.3个D.无穷多个 正确答案：B参考解析：函数分母不为零，分母为零的点有0，1，2，3，；分子为零的点有0，1。当x0，1时，有：故f（x）有两个可去间断点0、1。单选题12.若yy（x）由方程eyxye确定，则y（0）等于()。2017年真题A.y/eyB.y/（xey）C.0D.1/e 正确答案：D参考解析：由方程eyxye可得，当x0时，y1。方程两边对x求导得eyyyxy0，即yy/（xey），将x0，y1代入，则可得y（0）1/e。单选题13.设函数f（x）在（a，b）内可微，且f（x）0，则f（x）

7、在（a，b）内()。2016年真题A.必有极大值B.必有极小值C.必无极值D.不能确定有还是没有极值 正确答案：C参考解析：可导函数极值判断：若函数f（x）在（a，c）上的导数大于零，在（c，b）上的导数小于零，则f（x）在c点处取得极大值；若函数f（x）在（a，c）上的导数小于零，在（c，b）上的导数大于零，则f（x）在c点处取得极小值。即可导函数极值点处，f（x）0。函数f（x）在（a，b）内可微，则函数在（a，b）内可导且连续；又f（x）0，则在（a，b）内必有f（x）0或f（x）0，即函数f（x）在（a，b）内单调递增或单调递减，必无极值。单选题14.下列说法中正确的是()。2014年

8、真题A.若f（x0）0，则f（x0）必须是f（x）的极值B.若f（x0）是f（x）的极值，则f（x）在点x0处可导，且f（x0）0C.若f（x0）在点x0处可导，则f（x0）0是f（x）在x0取得极值的必要条件D.若f（x0）在点x0处可导，则f（x0）0是f（x）在x0取得极值的充分条件 正确答案：C参考解析：当f（x0）在点x0处可导时，若f（x）在x0处取得极值，则可知f（x0）0；若f（x0）0，而f（x0）f（x0）0时，则f（x）在x0处不能取得极值。因此，若f（x0）在点x0处可导，则f（x0）0是f（x）在x0取得极值的必要条件。单选题15.若f（x0）存在，则()。2018年

9、真题A.f（x0）B.x0f（x0）C.f（x0）x0f（x0）D.x0f（x0） 正确答案：C参考解析：原式化简得单选题16.设则f（x）在点x1处()。2013年真题A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.可导 正确答案：C参考解析：即故f（x）在x1处连续；即f（1）f（1），故不可导。单选题17.下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是()。2012年真题A.f（x）x/（1x2），1，2B.f（x）x2/3，1，1C.f（x）e1/x，1，2D.f（x）（x1）/x，1，2 正确答案：B参考解析：在拉格朗日中值定理中，函数f（x）应满足：在闭区间a，b上连续，在

10、开区间（a，b）上可导。f（x）x2/3在1，1连续。在（1，1）不可导（因为f（x）在x0处导数不存在），所以不满足拉格朗日中值定理的条件。单选题18.如果f（x）在x0可导，g（x）在x0不可导，则f（x）g（x）在x0()。2011年真题A.可能可导也可能不可导B.不可导C.可导D.连续 正确答案：A参考解析：举例说明，令g（x）1/x，g（x）在x00处导数不存在，即不可导。令f（x）x，此时f（x）g（x）1在x00处可导。令g（x）1/x，f（x）1，此时f（x）g（x）1/x在x00处不可导。单选题19.设f（x）x（x1）（x2），则方程f（x）0的实根个数是()。2016年真

11、题A.3B.2C.1D.0 正确答案：B参考解析：先对方程求导，得：f（x）3x26x2，再根据二元函数的判别式b24ac120，可知方程有两个实根。单选题20.设则f（/2）等于()。2016年真题A./2B.2/C.2/D.0 正确答案：B参考解析：将方程两边分别对x取一阶导数得：f（x）（xsinxcosx）/x2，故单选题21.等于()。2014年真题A.1/（2x3/2）B.C.D.2/x 正确答案：B参考解析：单选题22.若则dy/dx等于()。2013年真题A.tantB.tantC.sintD.cott 正确答案：A参考解析：dy/dx（dy/dt）/（dx/dt）sint/c

12、osttant。单选题23.设f（x）有连续的导数，则下列关系式中正确的是()。2013年真题A.f（x）dxf（x）B.（f（x）dx）f（x）C.f（x）dxf（x）dxD.（f（x）dx）f（x）C 正确答案：B参考解析：f（x）dxF（x）C，f（x）dxf（x）C，（f（x）dx）f（x）。单选题24.设yln（cosx），则微分dy等于()。2012年真题A.dx/cosxB.cotxdxC.tanxdxD.dx/（cosxsinx） 正确答案：C参考解析：等式两边同时微分，得：dyf（x）dx（sinx）dx/cosxtanxdx。单选题25.f（x）的一个原函数为则f（x）等于

13、()。2012年真题A.B.C.D. 正确答案：A参考解析：由条件f（x）的一个原函数为，得再由f（x）两边求导得：单选题26.若x1是函数y2x2ax1的驻点，则常数a等于()。2018年真题A.2B.2C.4D.4 正确答案：D参考解析：函数y关于x求导，得y4xa。因为x1是函数y2x2ax1的驻点，所以41a0，计算得a4。单选题27.函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处的一阶偏导数存在是该函数在此点可微分的()。2018年真题A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件 正确答案：A参考解析：函数f（x，y）在P0（x0，y0）可微，则f（x，y）在P0（

14、x0，y0）的偏导数一定存在。反之，偏导数存在不一定能推出函数在该点可微。举例如下：函数在点（0，0）处有fx（0，0）0，fy（0，0）0，但函数f（x，y）在（0，0）处不可微。因此，函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处的一阶偏导数存在是该函数在此点可微分的必要条件。单选题28.设zy（x/y），其中（u）具有二阶连续导数，则2z/（xy）等于()。2017年真题A.（1/y）（x/y）B.（x/y2）（x/y）C.1D.（x/y）（x/y）（x/y） 正确答案：B参考解析：计算得z/xy（x/y）（1/y）（x/y）2z/xy（x/y2）（x/y）单选题29.设函数zf（x2y），其

15、中f（u）具有二阶导数，则2z/（xy）等于()。2018年真题A.f（x2y）B.f（x2y）x2f（x2y）C.2xf（x2y）yf（x2y）D.2xf（x2y）x2yf（x2y） 正确答案：D参考解析：2z/（xy）是先关于x求导，再关于y求导，计算得单选题30.设方程x2y2z24z确定可微函数zz（x，y），则全微分dz等于()。2014年真题A.（ydxxdy）/（2z）B.（xdxydy）/（2z）C.（dxdy）/（2z）D.（dxdy）/（2z） 正确答案：B参考解析：对等式两边分别同时求导，得：2xdx2ydy2zdz4dz。所以dz（xdxydy）/（2z）单选题31.设

16、则2z/x2等于()。2014年真题A.B.C.D. 正确答案：A参考解析：一次偏导为：二次偏导为：单选题32.设zz（x，y）是由方程xzxyln（xyz）0所确定的可微函数，则z/y等于()。2013年真题A.xz/（xz1）B.x1/2C.z（xzy）/x（xz1）D.z（xy1）/y（xz1） 正确答案：D参考解析：将xzxyln（xyz）0两边对y求偏导，得xzyxx（zyzy）/（xyz）0，整理得zyz（xy1）/y（xz1）。单选题33.若zf（x，y）和y（x）均可微，则dz/dx等于()。2013年真题A.f/xf/yB.f/x（f/y）（d/dx）C.（f/y）（d/dx

17、）D.f/x（f/y）（d/dx） 正确答案：B参考解析：dz/dx（f/x）（dx/dx）（f/y）（d/dx）f/x（f/y）（d/dx）。单选题34.设f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则下列函数中为奇函数的是()。2018年真题A.fg（x）B.ff（x）C.gf（x）D.gg（x） 正确答案：D参考解析：D项，令T（x）gg（x）。因为T（x）gg（x）gg（x）gg（x），所以T（x）T（x），所以gg（x）为奇函数。单选题35.已知f（x）为连续的偶函数，则f（x）的原函数中()。2013年真题A.有奇函数B.都是奇函数C.都是偶函数D.没有奇函数也没有偶函数 正确答案：A参考

18、解析：f（x）的原函数中有与f（x）的奇偶性相反的函数，但并不是所有偶函数f（x）的原函数都是奇函数。单选题36.若f（x）f（x）（x），且在（，0）内f（x）0，f（x）0，则f（x）在（0，）内是()。2013年真题A.f（x）0，f（x）0B.f（x）0，f（x）0C.f（x）0，f（x）0D.f（x）0，f（x）0 正确答案：C参考解析：由f（x）f（x）（x），知f（x）为奇函数，奇函数关于原点对称。根据奇函数图形，故在（0，）内，f（x）0，f（x）0。单选题37.函数y（5x）x2/3的极值可疑点的个数是()。2013年真题A.0B.1C.2D.3 正确答案：C参考解析：极值可

19、疑点为导数不存在或者导数为零的点。函数求导y5x1/3（2x）/3，可见函数在x0处导数不存在，在x2处导数为零，所以有两个极值可疑点。单选题38.设函数f（x），g（x）在a，b上均可导（ab），且恒正，若f（x）g（x）f（x）g（x）0，则当x（a，b）时，下列不等式中成立的是()。2018年真题A.f（x）/g（x）f（a）/g（b）B.f（x）/g（x）f（b）/g（b）C.f（x）g（x）f（a）g（a）D.f（x）g（x）f（b）g（b） 正确答案：C参考解析：因为f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）0，所以函数f（x）g（x）在a，b上单调递增。所以，当x（a，b）

20、时，f（a）g（a）f（x）g（x）f（b）g（b）。单选题39.当axb时，有f（x）0，f（x）0，则在区间（a，b）内，函数yf（x）的图形沿x轴正向是()。2012年真题A.单调减且凸的B.单调减且凹的C.单调增且凸的D.单调增且凹的 正确答案：C参考解析：由f（x）0且f（x）0可知，函数yf（x）的图形沿x轴正向是单调增且凸的。单选题40.当x0时，下列不等式中正确的是()。2011年真题A.ex1xB.ln（1x）xC.exexD.xsinx 正确答案：D参考解析：上述函数，A项，当x1时，e2。B项，当x时，显然xln（1x）。C项，当x时，显然exex。单选题41.设f（x）（e2x1）/（e2x1），则()。2010年真题A.f（x）为偶函数，值域为（1，1）B.f（x）为奇函数，值域为（，0）C.f（x）为奇函数，值域为（1，1）D.f（x）为奇函数，值域为（0，） 正确答案：C参考解析：根据题意可得所以f（x）为奇函数；由于f（x）4e2x/（e2x1）20，则f（x）在（，）上为单调递增函数，且当x时，f（x）1，当x时，f（x）1，所以f（x）的值域为（1，1）。