第2课时：等差数列的前n项和的性质与应用[人教A版（2019）选择性必修第二册](4419).docx

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1、第2课时：等差数列的前n项和的性质与应用人教A版（2019）选择性必修第二册(4419)1. 已知等差数列是无穷数列，若则数列的前项和（）A.无最大值，有最小值B.有最大值，无最小值C.有最大值，有最小值D.无最大值，无最小值知识点：等差数列的前项和的应用答案：A解析：设等差数列的公差为因为 所以 所以数列为递增数列，且 所以有最小值，无最大值， 故选.2. 设等差数列的前项和为若则（）A.B.C.D.知识点：等差数列的前n项和的性质答案：D解析：由是等差数列，得构成等差数列， 所以 所以 解得. 故选.3. 已知等差数列和的前项和分别为和且则的值为（）A.B.C.D.知识点：等差数列的前项和

2、的应用等差数列的性质答案：B解析：因为，为等差数列， 所以即即所以.故选.4. 设等差数列的公差为其前项和为则“”的充分条件可以是（）A.B.C.且D.且知识点：等差数列的前项和的应用答案：C ； D解析：易知若则因此只要能得出数列从第项开始均为正的条件都符合题意，必然有又因此符合题意.不可得出. 故选.5. 已知等差数列的通项公式为当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，（）A.B.C.D.知识点：等差数列的前项和的应用答案：D解析：当时， 解得因为 所以所以解得或(舍). 故选.6. 某文具店开业期间，用根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层的铅笔有根，从最下面

3、一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）A.B.C.D.知识点：等差模型答案：B解析：根据题意，每层的铅笔数从下到上构成以为首项，以为公差的等差数列，且所以 整理得 解得或. 当时不符合题意， 故. 故选.7. 已知为等差数列为其前项和，若则.知识点：等差数列的前n项和的性质答案：解析：数列是等差数列，成等差数列，又 即.8. 已知等差数列的前项和为则当取最大值时（）A.B.C.D.知识点：等差数列的前项和的应用答案：B解析：设数列的公差为则是公差为的等差数列. 因为所以解得则则故当时取得最大值. 故选.9. 已知等差数列的公差为为其前项和，若则

4、下列说法正确的是（）A.B.C.和均为的最大值D.知识点：等差数列的前项和的应用答案：A ； B ； D解析：由得即由得即故正确；因为所以故正确；因为所以等差数列是递增数列，因此没有最大值，故错误; 由得即因为所以故正确.故选.10. 已知等差数列和的前项和分别为和且则使得为整数的正整数的个数为（）A.B.C.D.知识点：等差数列的前项和的应用答案：B解析：依题意，又所以因此要使为整数，只需是整数，而，所以的值 可以为所以使得为整数的正整数的个数为. 故选.11. 某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不

5、相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前名共发放元，前名共发放元，则前名共发放（）A.元B.元C.元D.元知识点：等差模型等差数列的前n项和的性质答案：B解析：由已知可得等差数列中因为成等差数列，所以即解得故选.12. 把正整数数列按如下分组：.第组恰好有个数，则第组中第个数是，是第组中的第个数.知识点：等差数列的前项和的应用答案：； ； 解析：根据题意，可得该分组的第组有个数，且每组中的数从左到右构成公差为的等差数列，则前组中共有(个)数， 所以第组中第个数为. 令可得前组共有(个)数， 所以是第组中的第个数.13. 我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气

6、晷)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其日影长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影长之和为尺，这十二个节气的所有日影长之和为尺，则夏至的日影长为尺.知识点：等差模型数列中的数学文化问题等差数列的前项和的应用答案：解析：设此等差数列的公差为其前项和为由题意得即解得所以夏至的日影长为尺.14. 设等差数列的公差为其前项和为已知且(1) 求的取值范围.(2) 问数列的前几项和最大？说明理由.知识点：数列的函数特征等差数列的基本量等差数列的前项和的应用数列的通

7、项公式等差数列的性质二次函数的图象分析与判断答案：(1) 根据题意得 整理得解得 的取值范围是.(2) 方法一：.数列的前项和最大.方法二：.令函数的图像开口向下，对称轴方程为 当时，有最大值.当时最大，即数列的前项和最大.解析：(1) 略(2) 略15. 某房地产开发商投资万元建一座写字楼，第一年的装修维护费为万元，以后每年增加万元，把写字楼出租，每年收入租金万元.(1) 若扣除投资和装修维护费，则从第几年开始获取纯利润？(2) 若干年后开发商为了投资其他项目，对该写字楼有两种处理方案：当纯利润总和最大时，以万元出售该楼；当年平均纯利润最大时，以万元出售该楼.问哪种方案更优？知识点：等差模型

8、答案：(1) 设年获取的纯利润共有万元年共收入租金万元.由已知得每年的装修维护费构成一个以为首项为公差的等差数列，则年内的装修维护费为(万元)，因此令解得所以从第年开始获取纯利润.(2) 方案：纯利润总和所以年内共获纯利润(万元).方案：年内年平均纯利润 所以所以年内共获纯利润(万元).两种方案获利一样多，而方案时间比较短，所以选择方案.解析：(1) 略(2) 略16. 已知数列是等差数列，数列的前项和为若则中最小的是（）A.或B.C.D.知识点：等差数列的基本量等差数列的前项和的应用答案：C解析：设等差数列的公差为当时；当时；当时，中最小的是.故选.17. 设等差数列的前项和为若则中最大的是

9、（）A.B.C.D.知识点：等差数列的前项和的应用等差数列的性质答案：C解析：由得到； 由得到. 所以等差数列为递减数列，且.当时且最大最小，所以最大； 当时此时；当时且所以.综上所述中最大的是. 故选.18. 在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题.问题：设等差数列的前项和为 ，判断是否存在最大值，若存在，求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由.注：若选多个条件分别解答，则按第一个解答计分知识点：等差数列的前项和的应用答案：选:设等差数列的公差为由得解得即.方法一：当时，有得当时；当时；当时.当或时取最大值.方法二：当或时取最大值.选：由得即由得故当时当时故当时取最大值.选：由得即由得可得. 故当时当时故当时取最大值.解析：略