2021年高考真题——数学（新高考全国卷II）.docx

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1、2021年高考真题数学（新高考全国卷II）1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为 （）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限知识点：复平面内的点、复数及平面向量复数的乘法复数的除法答案：A解析：，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选A总结：本题考查了复数的除法以及代数表示及其几何意义2. 设集合，则（）A.B.C.D.知识点：交集全集与补集答案：B解析：由题设可得，故故选B总结：本题考查了集合交集与补集的混合运算3. 抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A.B.C.D.知识点：点到直线的距离抛物线的定义答案：B解析：抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离为，解得舍去故选B总结：本题

2、考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为轨道高度是指卫星到地球表面的距离将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为单位：，则占地球表面积的百分比约为（）A.B.C.D.知识点：球的表面积答案：C解析：如图所示，由题意可得，占地球表面积的百分比约为：故选C总结：本题重在考查学生对数学知识的理解运用能力和直观想象能力5. 正四棱台的上、下底面的边

3、长分别为，侧棱长为，则其体积为（）A.B.C.D.知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积答案：D解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积故选D总结：本题考查了棱台的结构特征与体积的求法，考查了数形结合思想6. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）A.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B.越小，该物理量在一次测量中大于的概率为C.越小，该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等D.越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等知识点：正态分布及概率密度函数正态曲线的性质

4、答案：D解析：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于的概率为，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误故选D总结：本题考查了正态分布的相关知识7. 已知，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.知识点：对数式的大小的比较幂指对综合比较大小答案：C解析：，即故选C总结：本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关

5、键8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A.B.C.D.知识点：函数奇偶性的应用函数奇、偶性的定义函数的周期性函数性质的综合应用答案：B解析：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，所以，即故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知故选B总结：本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的标准差B.样本的中位数C.样本的极差D.样本的平均数知识点：方差与标准差众数、中位数和平均数极差与“平均距离”答案：A ； C解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可

6、知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC总结：本题考查了离散程度与集中趋势的相关知识，属于基础题10. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点，则满足的是（）A.B.C.D.知识点：空间中直线与直线的位置关系异面直线垂直直线与平面垂直的性质定理答案：B ； C解析：设正方体的棱长为，对于A，如图所示，连接，易知，且、在同一平面内，由图可知直线与相交且不垂直，故不成立，故A错误对于B，如图所示，取的中点为，连接，则，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，所以，而，

7、所以平面，而平面，故，故B正确对于C，如图，连接，则，由B的判断可得，故，故C正确对于D，如图，取的中点，连接，则，则，根据三角形的性质可知与不垂直，故不垂直，故D错误故选BC总结：本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定，考查了数形结合思想和直观想象能力11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A.若点在圆上，则直线与圆相切B.若点在圆内，则直线与圆相离C.若点在圆外，则直线与圆相离D.若点在直线上，则直线与圆相切知识点：点与圆的位置关系直线与圆的位置关系及其判定答案：A ； B ； D解析：圆心到直线的距离，若点在圆上，则，所以，则直线与圆相切，故A正确；若点在圆内，则，所以，

8、则直线与圆相离，故B正确；若点在圆外，则，所以，则直线与圆相交，故C错误；若点在直线上，则即，所以直线与圆相切，故D正确故选ABD总结：本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题12. 设正整数其中，记，则（）A.B.C.D.知识点：数列中的新定义问题答案：A ； C ； D解析：对于A选项，则，A选项正确；对于B选项，取，而，则，即，B选项错误；对于C选项，所以，所以因此，C选项正确；对于D选项，故，D选项正确故选ACD13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为知识点：双曲线的离心率双曲线的渐近线答案：解析：依题意，所以，所以，即所以双曲线的渐近线方程为故答案为总结：本题考查了双曲

9、线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题14. 写出一个同时具有下列性质的函数： ；当时，；是奇函数知识点：导数与单调性函数奇、偶性的定义答案：（答案不唯一，均满足）解析：取，则，满足，时有，满足，的定义域为，又，故是奇函数，满足故答案为（答案不唯一，均满足总结：本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题15. 已知向量，知识点：数量积的性质数量积的运算律向量的数量积的定义答案：解析：由已知可得，因此，故答案为总结：本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题16. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则取值

10、范围是知识点：两点间的距离利用导数求曲线的切线方程（斜率）导数的几何意义答案：解析：由题意，则所以点和点，所以，所以，所以，同理，所以故答案为总结：本题考查学生利用导数研究函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题17. 记是公差不为的等差数列的前项和，若(1) 求数列的通项公式；(2) 求使成立的 的最小值知识点：等差数列的通项公式等差数列的基本量等差数列的性质等差数列的前项和的应用答案：(1) 由等差数列的性质可得：，则，设等差数列的公差为，从而有，从而，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：(2) 由数列的通项公式可得，则则不等式即，整理可得，解得或，又为正整数，故的最小值为解

11、析：(1) 略(2) 略18. 在中，角、所对的边长分别为，(1) 若，求的面积；(2) 是否存在正整数，使得为钝角三角形若存在，求出的值；若不存在，说明理由知识点：余弦定理及其应用正弦定理及其应用一元二次不等式的解法三角形的面积（公式）同角三角函数的平方关系答案：(1) 因为，根据正弦定理可知，则，故，所以 为锐角，则，因此，.(2) 显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，又，则，即，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故解析：(1) 由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；(2)

12、分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值总结：(2) 本题考查了正余弦定理与同角三角函数的基本关系，考查了一元二次不等式的解法19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，若(1) 证明：平面平面；(2) 求二面角的平面角的余弦值知识点：平面与平面垂直的判定定理用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 证明：取的中点为，连接因为，则，而，故，在正方形中，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面(2) 在平面内，过作，交于，则，结合中的平面，故可建如图所示的空间直角坐标系则，故设平面的法向量，则即取，则，故而平面的法向量为，故又二面角的平面角为锐角，故其余弦值

13、为解析：(1) 取的中点为，连接，可证平面，从而得到平面平面(2) 在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值20. 已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为(1) 求椭圆的方程；(2) 设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切证明：，三点共线的充要条件是知识点：椭圆的离心率椭圆的标准方程充分、必要条件的证明直线和圆相切直线与圆锥曲线的其他应用答案：(1) 由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为；(2) 证明：由得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不满足三点共线；当直线的斜率存在时，设，必要性：若三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可

14、得，解得，联立可得，所以，所以，所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线MN与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或所以直线或，所以直线过点，三点共线，充分性成立；所以三点共线的充要条件是解析：(1) 由离心率公式可得，进而可得，即可得解；(2) 必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解总结：(2) 本题考查了直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代

15、，经过一次繁殖后为第代，再经过一次繁殖后为第代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示个微生物个体繁殖下一代的个数，(1) 已知求；(2) 设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，当时，；(3) 根据你的理解说明问结论的实际含义知识点：离散型随机变量的分布列及其性质离散型随机变量的均值或数学期望导数与单调性利用导数解决函数零点问题答案：(1) (2) 设，因为，故若，则，故，因为，故有两个不同零点，且，且时，时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因

16、为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则若，则，故此时，故有两个不同零点，且，且时，时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且所以为的一个最小正实根，此时，故当时，(3) 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代的平均数超过，则若干代后还有继续繁殖的可能解析：(1) 利用公式计算可得(2) 利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点(3) 利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明总结：(3) 本题是对离散型随机变量和导数的综合考查，属于拔高题22. 已知函数(1) 讨论的单调性；(2) 从下面

17、两个条件中选一个，证明：有一个零点；知识点：导数与单调性利用导数讨论函数单调性利用导数解决函数零点问题函数零点存在定理答案：(1) 由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；(2) 若选择条件：由于，故，则，又，由可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点，由于，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点综上可得，有一个零点若选择条件：由于，故，则，当时，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点当时，构造函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：，此时：，当时，取，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点，由于，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点综上可得，有一个零点解析：(1) 首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2) 由题意结合中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.总结：(2) 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及零点问题，属于拔高题