广州培英中学2023年高二上学期10月月考数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司2023 学年第一学期学年第一学期 10 月质量检测月质量检测高二数学高二数学 满分：满分：150 分分 时间：时间：120 分钟分钟 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知点()()1,3,1,3 3AB，则直线AB的倾斜角为（）A.23B.6C.3D.562.已知()()3,2,5,1,1aby=，若ab，则y=（）A 4 B.6C.5D.33.已知,a b c 是空间的

2、一组基底，则下列向量中能与ab+，ab构成一组基底的是（）A.aB.b C.c D.2ab+4.已知a、b都是空间向量，且2,3a b=，则2,3ab=（）A.3B.6C.23D.565.设直线1l，2l的斜率和倾斜角分别为1k，2k和1，2，则“12kk是“12”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.设点()4,3A，()2,2B，直线l过点()1,1P且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A.1k 或4k B.1k 或43k C.41k D.413k 7.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓 九章算术商功中描述：

3、“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”一个长方体1111ABCDABC D沿对角面斜解（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得到一个四棱锥，称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）若鳖臑的体积为4，4AB=，3BC=，则在鳖臑中，平面1BCD与平面11BC D夹角的余弦值为（）.广州培英中学2023年高二上学期10月月考数学试题 第2页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 A.6565 B.6 6565 C.6513 D.2 6565 8.在Rt ABC中，90,1,2ACBACBC=，CD是ACB的角平分线（如图）若沿直

4、线CD将ABC折成直二面角BCDA（如图）则折叠后,A B两点间的距离为（）A.2 B.3 C.2 D.3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分.9.已知()2,0,4A，()1,1,3B，()1,1,2C，则（）A.()4,2,7ABAC+=B.29BC=C.若向量()2,2,2m=，则/m AB D.若向量()1,2,1m=

5、，则mAB 10.已知直线1l的方程是20,axybl+=的方程是0(0,)bxyaabab=，则下列各示意图中，不正确的是（）A.B.第3页/共6页学科网（北京）股份有限公司C.D.11.在长方体1111ABCDABC D中，1226BCABBB=，点E为棱BC上靠近点C三等分点，点F是长方形11ADD A内一动点（含边界），且直线1,B F EF与平面11ADD A所成角的大小相等，则（）A.1/AF平面11BCC BB.三棱锥1FBB E的体积为 4 C.不存在点F，使得11/AFB ED.线段1AF长度的取值范围为5 25,2812.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由

6、两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数 24，棱长为2 2的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.该半正多面体的表面积为4832 3+B.AG 平面BCDG的的 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 C.若E为线段BC的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值为3 510 D.点B到平面ACD距离为2 33 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.过点()1,2

7、 斜率为 3的直线的点斜式方程是_ 14.已知直线 l的方向向量(),1,2em=，平面的法向量()2,4nn=，若l，则2mn+=_ 15.若三个向量()3,3,2a=，()6,7bm=，()0,5,1c=共面，则实数 m的值为_ 16.长方体1111ABCDABC D 中，AB=1，AD=2，12AA=，P是棱1DD 上的动点，则1PAC 的面积最小值是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知坐标平面内三点()1,1A，()1,1B，()2,31C+（1）求直线 AB，B

8、C，AC的斜率和倾斜角；（2）若 D为ABC的 AB 边上一动点，求直线 CD 的倾斜角的取值范围 18.如图，在正四面体ABCD中，E是棱BC的中点，2AFFD=，分别记,AB AC AD 为,a b c （1）用,a b c 表示EF；（2）若6a=，求BD EF 19.如图，在多面体111ABCABC中，四边形11ABB A是正方形，CA 平面11ABB A，1.ACAB=，1111/,2BCBC BCBC=的 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：11ABBC（2）求A到平面1BCC的距离.20.在三棱锥PABC中，ABC是边长为 2的等边三角形，1BP=，3PC=，

9、平面PBC平面ABC，E为线段CP的中点.（1）证明：AECP.（2）在直线 BC上是否存在点F，使得直线 AF与平面 ABP 所成角的正弦值为55？若存在，求BFFC的值；若不存在，请说明理由.21.如图，梯形 ABCD所在的平面与等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABAD，2CDDAAFFE=，AB4=.（1）求证：DF平面 BCE；（2）求二面角CBFA的余弦值；（3）线段 CE 上是否存在点 G，使得AG 平面 BCF？请说明理由.第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 22.如图，四棱锥 S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱

10、SD上的点 （1）求证：ACSD；（2）若 SD平面 PAC，求平面 PAC与平面 ACD夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由 的 第1页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 2023 学年第一学期学年第一学期 10 月质量检测月质量检测 高二数学高二数学 满分：满分：150 分分 时间：时间：120 分钟分钟 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

11、的一项是符合题目要求的.1.已知点()()1,3,1,3 3AB，则直线AB的倾斜角为（）A.23 B.6 C.3 D.56【答案】A【解析】【分析】由两点坐标，求出直线AB的斜率，利用tank=，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】设直线 AB 的倾斜角为，因为()()1,3,1,3 3AB，所以直线 AB 的斜率3 3331 1k=，即tan3=，因为)0,，所以23=.故选：A 2.已知()()3,2,5,1,1aby=，若ab，则y=（）A.4 B.6 C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】等价转化为0a b=,利用空间向量的坐标运算得到关于y的方程，解之即可.【详解】由ab得0a b

12、=，又()3,2,5a=，()1,1by=，3 125(1)280a byy=+=,第2页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 解得4m=,故选：A.3.已知,a b c 是空间的一组基底，则下列向量中能与ab+，ab构成一组基底的是（）A.a B.b C.c D.2ab+【答案】C【解析】【分析】根据空间向量共面基本定理可知a，b，2ab+均与ab+，ab共面即可得出答案.【详解】因为11()()22aabab=+，1()2bab=+1()2ab，312()()22ababab+=+，所以由空间向量共面基本定理可知a，b，2ab+均与ab+，ab共面，不能构成一组基底，故 A、B、D错误，

13、C 正确.故选：C 4.已知a、b都是空间向量，且2,3a b=，则2,3ab=（）A.3 B.6 C.23 D.56【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的数量积运算即可得到答案【详解】解：2,3,a b=cos,3cos2a baba bab=12ab=，()23cos 2,323ababab=66a bab=12=，2,30,ab，32,3ab=，故选：A 5.设直线1l，2l的斜率和倾斜角分别为1k，2k和1，2，则“12kk是“12”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D 第3页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【解析】

14、【分析】对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案；【详解】解：直线1l，2l的斜率和倾斜角分别为1k，2k和1，2，当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“12kk”，则“12”，若“12”，则“12kk”，当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“12kk”，则“1与2”的大小不能确定，若“12”，则“1k与2k”的大小也不能确定，故则“12kk”是“12”的既不充分也不必要条件 故选：D【点睛】直线的斜率tank=，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解.6.设点()4,3A，()2,2B，直线l过点()1,1P且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（

15、）A.1k 或4k B.1k 或43k C.41k D.413k 【答案】B【解析】【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：第4页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 因为1(3)41(2),11 431(2)PAPBkk =，所以当直线l过点()1,1P且与线段AB相交时，l的斜率k的取值范围是1k 或43k ，故选：B 7.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓 九章算术商功中描述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”一个长方体1111ABCDABC D沿对角面斜解（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），再沿一个堑堵

16、的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得到一个四棱锥，称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）若鳖臑的体积为4，4AB=，3BC=，则在鳖臑中，平面1BCD与平面11BC D夹角的余弦值为（）A.6565 B.6 6565 C.6513 D.2 6565【答案】B【解析】【分析】利用三棱锥体积公式可求得1CC，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】由切割过程可知：BC平面11CC D，111111114 34332B CC DCC DVSBCCC=，12CC=；在长方体1111ABCDABC D中，以D为坐标原点，1,DA DC DD 正方向为,x y z轴

17、可建立如图所示空间直角坐标系，则()3,4,0B，()0,4,0C，()10,0,2D，()10,4,2C，第5页/共23页 学科网（北京）股份有限公司()3,0,0BC=，()13,4,2BD=，()110,4,0DC=，设平面1BCD的法向量(),nx y z=，则1303420BC nxBD nxyz=+=，令1y=，解得：0 x=，2z=，()0,1,2n=；设平面11BC D的法向量(),ma b c=，则111342040BD mabcDC mb=+=，令2a=，解得：0b=，3c=，()2,0,3m=；66 65cos,65513m nm nmn=，即平面1BCD和平面11BC

18、D夹角的余弦值为6 6565.故选：B.8.在Rt ABC中，90,1,2ACBACBC=，CD是ACB的角平分线（如图）若沿直线CD将ABC折成直二面角BCDA（如图）则折叠后,A B两点间的距离为（）A.2 B.3 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，分别交CD于,G H，由向量的运算可得答案.第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【详解】CD是ACB的角平分线，45ACDBCD=，过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，分别交CD于,G H，21 sin452AG=，21 cos452=CG，2 sin452BH=

19、，2 cos452CH=，22HGCHCG=，直线AG和BH是异面直线，所成的角为90，线段HG是公垂线段，2222()ABAGGHHBAGBHHG=+=+222222322=+=.故选：B.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分.9 已知()2,0,4A，()1,1,3B，()1,1,2C，则（）A.()4,2,7ABAC+=B

20、.29BC=C.若向量()2,2,2m=，则/m AB D.若向量()1,2,1m=，则mAB 【答案】ACD【解析】【分析】由向量加法和模长的坐标运算、向量共线与垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.【详解】对于 A，()1,1,1AB=，()3,1,6AC=，()4,2,7ABAC+=，A正确；对于 B，()2,0,5BC=，()()22220529BC=+=，B错误；对于 C，()1,1,1AB=，2mAB=，/m AB ，C 正确；.第7页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 对于 D，12 10m AB=+=，mAB，D 正确.故选：ACD.10.已知直线1l的方程是20,axybl

21、+=的方程是0(0,)bxyaabab=，则下列各示意图中，不正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】对 A、B、C、D四个选项中的直线方程入手分别分析出a，b与 0 的大小且是否满足题干中的条件，进而找到不正确的选项.【详解】对于 A选项：从1l可以看出0a，0b，从2l可以看出a0，0b，0b，从2l可以看出a，矛盾，B 选项错误；对于 C选项：从1l可以看出a，从2l可以看出a0，0b，矛盾，C 选项错误；对于 D选项：从1l可以看出a，从2l可以看出a，且满足0ab，ab，选项 D 正确.故选：ABC 第8页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 11.在长方体111

22、1ABCDABC D中，1226BCABBB=，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形11ADD A内一动点（含边界），且直线1,B F EF与平面11ADD A所成角的大小相等，则（）A.1/AF平面11BCC B B.三棱锥1FBB E的体积为 4 C.不存在点F，使得11/AFB E D.线段1AF的长度的取值范围为5 25,28【答案】AD【解析】【分析】由面面平行的性质可判断 A项，由等体积法可判断 B项，由直线1B F，EF与平面11ADD A所成角相等可得点 F在1AG的中垂线上，通过证明四边形11AB EG为平行四边形进而证得11/AG B E，进而可得点 F位置即可判

23、断 C项，由点 F 的轨迹为HI，进而可得1AF的范围即可判断 D 项.【详解】对于 A项，因为面11/ADD A面11BCC B，1AF 面11ADD A，所以1/AF面11BCC B，故 A项正确；对于 B项，因为面11/ADD A面1BB E，所以1111343632FBB EA BB EVV=，故 B 项错误；对于 C项，连接1AF，作/EG CD交AD于 G，连接FG，如图所示，因为11AB 面11ADD A，所以11AFB为1B F与平面11ADD A所成角，又EG 面11ADD A，所以EFG为EF与平面11ADD A所成角，因为直线1B F，EF与平面11ADD A所成角相等，

24、所以11AFBEFG=，第9页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 则11111tantanABEGAFBEFGAFFG=，又11ABEG=，所以1AFFG=，则点 F在1AG的中垂线上，如图所示，1HIAG交1AG于点 K，即点 F在线段HI上运动，因为11/ABEG，11=ABEG，所以四边形11AB EG为平行四边形，所以11/AG B E，所以当点 F与点 K重合时，11/AF B E，故 C 项不正确；对于 D项，由题意知，13AA=，4AG=，则15AG=，因为11cosAGKGAGAAGHG=，11522KGAG=，所以5425HG=，解得258HG=，所以1258AIHG=，

25、当点 F在点 I或点 H 处时，线段1AF长度取得最大值为258，当点 F在点 K时，线段1AF的长度取得最小值为52，所以线段1AF的长度的取值范围为5 25,28，故 D项正确.故选：AD.12.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数 24，棱长为2 2的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）的 第10页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 A.该半正多面体的表面积为4832 3+

26、B.AG 平面BCDG C.若E为线段BC的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值为3 510 D.点B到平面ACD距离为2 33【答案】BC【解析】【分析】根据题意作图，结合正方体的几何性质，可得 AB的正误，建立空间直角坐标值，利用线线角与点面距的公式，可得 CD 的正误.【详解】由题意，可作图如下：对于 A，由图可知，该阿基米德体的定点分为为正方体各棱的中点，则其是由六个正方形和八个正三角形组成的，所以该立体图形的表面积()162 22 282 22 2sin6048 16 32S=+=+，故 A错误；对于 B，由图可知，根据正方体的几何性质，易知AG 平面BCDG，故 B正确；建立空

27、间直角坐标系，如下图：的 第11页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C，由阿基米德体的棱长为2 2，可知图中正方体的棱长为4，则()2,0,0A，()4,0,2F，()4,2,4D，()1,3,4E，取()2,0,2AF=，()3,1,0DE=，设异面直线,AF DE的夹角为，则()()222222230 12 03 5cos10202310AF DEAFDE+=+，故 C正确；对于 D，有图可知()0,2,4B，()2,0,0A，()2,4,4C，()4,2,4D，在平面ACD内取()2,2,4AD=，()0,4,4AC=，设平面ACD的法向量(),nx y z=，由00n AD

28、n AC=，可得2240440 xyzyz+=+=，化简可得xyzy=，令1y=，则1x=，1z=，所以平面ACD的一个法向量()1,1,1n=，取()2,2,4AB=设点B到平面ACD的距离2244 331 1 1AB ndn+=+，故 D错误.故选：BC.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.过点()1,2 斜率为 3的直线的点斜式方程是_【答案】()231yx+=+【解析】【分析】由点斜式方程的定义和特征即可求解.【详解】由题意知：斜率为 3，点为()1,2，故点斜式方程为：()231yx+=+第12页/共23页 学科

29、网（北京）股份有限公司 故答案为：()231yx+=+14.已知直线 l的方向向量(),1,2em=，平面的法向量()2,4nn=，若l，则2mn+=_【答案】4【解析】【分析】由l，可得en，从而可得ne=，代入坐标列方程可求出,m n，从而可求出2mn+【详解】因为直线 l的方向向量(),1,2em=，平面的法向量()2,4nn=，l，所以en，所以存在唯一实数，使ne=，所以(2,4)(,1,2)nm=，所以242mn=，解得212mn=，所以22(2)4mn+=+=，故答案为：4 15.若三个向量()3,3,2a=，()6,7bm=，()0,5,1c=共面，则实数 m的值为_【答案】2

30、1【解析】【分析】根据向量共面基本定理即可求解.【详解】()3,3,2a=，()6,7bm=，()0,5,1c=共面，则存在实数,x y，使得bxayc=+，即6=323537221xxmxyyxym=+=+=，故答案为：21 16.长方体1111ABCDABC D 中，AB=1，AD=2，12AA=，P是棱1DD 上的动点，则1PAC 的面积最小值是_ 第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【答案】355#3 55【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设 PD=z，表示出1cos APC，求出1sin APC，即可表示出1PACS，结合二次函数知识求得答案.【详解】以点

31、 A为坐标原点，AB，AD，1AA分别为 x 轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 PD=z，则10 0 2),(12 0),(0 2,)(ACPz，02z（），214(2)=+PAz，193AC=，|PC|21=+z，由余弦定理可得，22211114(2)92cos2zzzAPCPAzPCPA PC+=，2221112548sin1()zzzAPCPA PCPA PCz+=，122112365()1548355sin52225PACzzzSPA PCAPC+=，即当 z25=时，1PAC 的面积最小值为355 故答案为：355 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，

32、共 70分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知坐标平面内三点()1,1A，()1,1B，()2,31C+第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（1）求直线 AB，BC，AC的斜率和倾斜角；（2）若 D为ABC的 AB 边上一动点，求直线 CD 的倾斜角的取值范围【答案】（1）0ABk=，3BCk=，33ACk=，直线 AB 的倾斜角为 0，直线 BC的倾斜角为3，直线 AC的倾斜角为6 （2）,6 3 【解析】【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分

33、析即可.【小问 1 详解】由斜率公式，得1101(1)ABk=，31 132 1BCk+=，31132(1)3ACk+=，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是0,，所以直线 AB的倾斜角为 0，直线 BC 的倾斜角为3，直线 AC 的倾斜角为6【小问 2 详解】如图，当直线 CD 绕点 C由 CA逆时针转到 CB时，直线 CD 与线段 AB恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时CDk由ACk增大到BCk，所以CDk的取值范围为3,33，即直线 CD的倾斜角的取值范围为,6 3 18.如图，在正四面体ABCD中，E是棱BC的中点，2AFFD=，分别记,AB AC AD 为,a b c

34、第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 （1）用,a b c 表示EF；（2）若6a=，求BD EF 【答案】（1）112223EFabc=+（2）21【解析】【分析】（1）根据向量线性运算直接表示即可；（2）将所求数量积化为()112223caabc+，由向量数量积的定义和运算律可求得结果.【小问 1 详解】()2111232223EFAFAEADABACabc=+=+.【小问 2 详解】由题意知：6abc=，36cos183a ba cb c=；BDADABca=，()22112112112223223223BD EFcaabca cb ccaa ba c=+=+9924 189

35、1221=+=.19.如图，在多面体111ABCABC中，四边形11ABB A是正方形，CA 平面11ABB A，1.ACAB=，1111/,2BCBC BCBC=第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：11ABBC（2）求A到平面1BCC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）22.【解析】【分析】（1）连接1AB，由CA 平面11ABB A，可得1ABCA，再由四边形11ABB A是正方形，可得11ABAB，再由线面垂直的判定定理可得1AB 平面1ABC，从而可得11ABBC；（2）由已知可得1,AC AB AA两两垂直，所以以A为坐标原点，1,AC AB AA分别为,

36、x y z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】（1）连接1AB，因为CA 平面11ABB A，1AB 平面11ABB A，所以1ABCA，因为四边形11ABB A是正方形，所以11ABAB，因为1CAABA=，所以1AB 平面1ABC，因为1BC 平面平面1ABC，所以11ABBC（2）四边形11ABB A是正方形，则1AAAB，又CA 平面11ABB A，以A为坐标原点，1,AC AB AA分别为,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，由1ACAB=,得()()()()()110,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1ABCAB,则(1,0,0)AC=，第

37、17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 由11BCBC,112BCBC=，得11111111(,1)222BCBBBCBBBC=+=+=,(1,1,0)BC=,所以平面1BCC的一个法向量(1,1,0)n=，所以A到平面1BCC的距离1222n ACdn=20.在三棱锥PABC中，ABC是边长为 2的等边三角形，1BP=，3PC=，平面PBC平面ABC，E为线段CP的中点.（1）证明：AECP.（2）在直线 BC上是否存在点F，使得直线 AF与平面 ABP 所成角的正弦值为55？若存在，求BFFC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在，12BFFC=或 1【解析

38、】【分析】(1)作PMBC于M，根据勾股定理分别可求得AM，AP的值，只需证得PMAM，即可求出2ACAP=，即可得出APC为等腰三角形，从而可得AECP.(2)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可求解.【小问 1 详解】第18页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 证明：作PMBC于M，由平面PBC平面 ABC，且平面PBC平面ABCBC=，得PM 平面ABC，PMAM 1PB=，2BC=，3PC=，由勾股定理得222PCPBBC+=，所以90BPC=，32PM=，12BM=，132AM=.在直角三角形APM中，由勾股定理可得22313()()222AP=+=.又2AC=.AECP.【小问

39、2 详解】在平面ABC内，过点M作HMBC，垂足为点M，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，()0,0,0M，1,0,02B，1,3,02A，3,0,02C，30,0,2P，设(),0,0F t，()1,3,0BA=，13,0,22BP=.设(),nx y z=是平面ABP的法向量，.第19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 3013022n BAxyn BPxz=+=，取1z=，得()3,1,1n=，又1,3,02AFt=.设直线AF与平面ABP所成的角为，213352sincos,51532tAF nt+=+，化简得25204tt+=，解得12t=或52t=.当12t=时，1

40、BFFC=（F在线段BC上）；当52t=时，12BFFC=（F在线段CB的延长线上）存在点F，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为55，且12BFFC=或 1.21.如图，梯形 ABCD所在的平面与等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABAD，2CDDAAFFE=，AB4=.（1）求证：DF平面 BCE；（2）求二面角CBFA的余弦值；（3）线段 CE 上是否存在点 G，使得AG 平面 BCF？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）55；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)证明DFCE然后证明DF平面BCE 第20页/共23页 学科网（北京）股份有限公司(2

41、)在平面ABEF内，过A作AzAB，建立空间直角坐标系Axyz求出平面BCF的法向量，平面ABF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可(3)解法一：求出平面ACE的法向量通过0m n ，说明平面ACE与平面BCF不可能垂直 解法二：假设线段CE上存在点G，使得AG 平面BCF，设CGCE=，其中0，1通过AG 平面BCF，AGn得方程组，判断方程组无解，说明假设不成立【小问 1 详解】CDEF，且CDEF=，四边形CDFE为平行四边形，DFCE DF 平面BCE，DF 平面BCE【小问 2 详解】平面ABEF内，过A作AzAB 平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=，又A

42、z 平面ABEF，AzAB，Az 平面ABCD，ADAB，ADAz，AzAB 如图建立空间直角坐标系Axyz：由题意得，(0A，0，0)，(0B，4，0)，(2C，2，0)，(0,3,3)E，(0,1,3)F(2BC=，2，0)，(0BF=，3，3)设平面BCF的法向量为(,)nx y z=，则00n BCn BF=，即220330 xyyz=+=在 第21页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 令1y=，则1x=，3z=，(1,1,3)n=平面ABF的一个法向量为(1,0,0)v=，则5cos,|5n vn vn v=二面角CBFA的余弦值55【小问 3 详解】线段CE上不存在点G，使得A

43、G 平面BCF，理由如下：解法一：解法一：设平面ACE的法向量为111(,)mx y z=，则00m ACm AE=,即1111220330 xyyz+=+=令11y=，则11x=，13z=，(1,1,3)m=0m n ，平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF 解法二：解法二：线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG 平面BCF，设CGCE=，其中0，1 设2(G x，2y，2)z，则有222(2,2,)(2,3)xyz=，222x=，22y=+，23z=，从而(22,2,3)G+，(22,2,3)AG=+

44、AG 平面BCF，AGn 有2223113+=，上述方程组无解，假设不成立 线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF 22.如图，四棱锥 S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱 SD上的点 第22页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：ACSD；（2）若 SD平面 PAC，求平面 PAC与平面 ACD的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）存在，SEEC21.【解析】【分析】（1）由题设知，连BD，设AC交于

45、BD于O，由题意知SO 平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS 分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量OC与SD，结合数量积即可证明 ACSD；（2）分别求出平面PAC与平面 ACD的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使/BE平面PAC，只需BE 与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面PAC的一个法向量，即可求解【详解】（1）证明：连接 BD，设 AC交 BD于 O，由题意知 SO平面 ABCD以 O为坐标原点，OB，OC，OS 分别为 x 轴、y轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz如图 设底面边长为 a，则高 SO62a

46、于是 S60,2a0，D2,02a0，C20,02a 第23页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 OC20,02a，SD 26,22aa0，OCSD 0，故 OCSD，从而 ACSD（2）由题设知，平面 PAC的一个法向量DS 26,22aa0，平面 DAC的一个法向量OS 60,2a0，设所求角为，则 cos|?|OS DSOSDS 32，平面 PAC与平面 DAC的夹角为 30（3）在棱 SC 上存在一点 E使 BE平面 PAC由（2）知DS 是平面 PAC的一个法向量，且DS 26,22aa0，CS 260,22aa 设CE tCS，则BE BC CE BC tCS 226,1,222aatat()而BE DS 0t13，即当 SEEC21 时 BE DS，而 BE不在平面 PAC内，故 BE平面 PAC