第十五届中环杯小学数学五年级决赛详解.docx

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1、 第 15 届中环杯决赛试题解析（五年级）一、填空题 A （本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）：13731+ 6 + 4911+ 3151. 计算：= _.20151171+5【答案】 2解答】11+ 6 + 4373911+ 31520151171+5313131+99 + 31517=201511+5711 7 311+1305=53133115171+231= 212. 老师布置了一些数学回家作业。由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王收到的题目数量多 20 道。若两人收到的题目数量之比为 4:3，则小明回家需要完成_道题目。【答案】80【解答】设小明收到了 道题目

2、，则小王收到了3x 道题目，根据题意4x4x -3x = 20 x = 20 ，所以小明需要完成 4x = 420 = 80道题目。3. 如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分面积之差为_（大减小）。 14【答案】解答】如下图， A,B 与C,D 抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角1三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是4【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式ACBD4. 在一组英文字母串中，第一个字母串 a = A 、第二个字母串 a = B ，之后每个字母串12( 3)都是由 an-1 后面跟着的反转构成的。比如=（我们用

3、 表示 的a3 a2 a BAa nan-2aiain1反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如 ABB = BBA、），AABA = ABAA，。那么，这组字母串的前1000a = a a = BAB a = a a = BABAB a = a a = BABABBAB432543654个中，有_个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往左读相同，比如 ABA 、 AABAA）【答案】676解答】通过尝试，我们发现只有 a 、 a 、 a 、 L、 a999 不是回文字母串，别的L369都是，那么可以直接得到答案：一共只有333个非回文字母串，剩下的个都是回文字母串。1

4、000 -333 = 667 接下来严格证明一下（考场上没有时间的话，这部分可以忽略）：假设 an = P ， an+1 = Q ，那么，。由于在 两边 与 可以保证其an+2 = QP an+3 = QPQPQQ回文特性，最后 an+3 是否为回文字母串就取决于 的情况。如果 a = P 为回文字母Pn串，那么 an+3 = QPQ也是回文字母串；如果 an = P 不是回文字母串，那么 an+3 = QPQ也不是回文字母串。考虑到 a 、 a 都是回文字母串，所以 a ,a ,L,a 与 a ,a ,L,a9981247100058都是回文字母串。而 a = BA不是回文字母串，所以 a

5、,a ,L,a 不是回文字母串。至369999此，已经证明了前面的猜测。5. 如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆（这三个圆的圆心构成等边三角形）顺时针旋转120o ，这样称为一次操作。比如可以将 A,B,D 进行旋转，从而 B 出现在原 D 的位置（用 B D 表示这个旋转）， D A， A B 。也可以将 D,E,F进行旋转（ D E ， E F ， F D ），但是不能将 A,D,G 或者C,B,E 进行旋转。经过若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要操作_次。EFCEABCAFDBDGG【答案】 3解答】由于除了G 以外，外围的5 个圆中的字母位置都变了，而每次操作

6、只能改变外围 2 个圆中的字母位置，所以至少需要3次。如下图，第一次旋转(F,D,E) ，第二次旋转(A,B,F )，第三次旋转(E,C,B)CEACDACDFEFFDBEFBEBABCAGGGDG 6. 我们用 Sk 表示一个首项为 k ，公差为 k2的等差数列，比如 S3 为3、12 、21 、。如果_。06是 Sk 中的一项，满足条件的 k 之和为_3【答案】326【解答】由于 Sk 的首项为 k ，公差为 k2，所以其中的某一项可以表示为k + mk2 = k(1+ mk)。如果306是 Sk 中的一项，则 k (1+ mk)= 306 k | 306 。由于306 = 232 17，

7、满足条件的 k =1、 2 、17 、306（注意，当 k 306 时， k 1，则a,b,c 中 必有一个值为 d -1。举例：1，1，2，1，3，2 满足要求；1，2，3，1，4，1 满足要求；1，2，2，4，3，2 不满足要求。满足要求的不同排列有_个。【答案】203解答】我们用b 表示满足题目要求的 n 个自然数构成的数列个数，显然b =1，n1接下来计算b2 ，这个数列由两个正整数构成。由于 a =1，那么b =1或 2，如果a =1b =1a=1，那么这个数列中的数最大为 1，这样的数列有 1 个；如果，那么这个b=2数列中的数最大为 2，这样的数列有 1 个。我们用下面的写法表示

8、计数：1+1；b2 =数列中的数最大为1数列中的数最大为2接下来计算b3 ，这个数列由三个正整数构成。（1）为了使得数列中的数最大为 1，则前面的数只能都为 1，所以只有 1 个。（2）为了使得数列中的数最大为 2，有两种可能：前面的数都是 1，最后一个数填 2，这样的数列有 1 个，这个 1 就是前面b2中的第一个数字；前面的数已经到达 2 了，那么最后一个数可以是 1，可以是 2，所以有1 2 个。其中 1 就是b2 中的第二个数字，2 表示最后一个数字有两种写法；（3）为了使得数列中的数最大为 3，则前面两个数构成的数列必须到达最大为 2 的情况，这样的数列有 1 个，这个 1 就是前面

9、b2 中的第二个数字。我们用下面的写法1+1+1 2+1b3 =数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3表示计数：；131=数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3利用相同的推导方法，我们得到下面的结果： )(3 +1 3)1+(1+ 3 2+1b4 =数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3数列中的数最大为41761=数列中的数最大为1数列中的数最大为2数列中的数最大为3数列中的数最大为4b5 =1 1 7 276 3 6 1 4+ ( + )+ ( + )+ ( + ) +1=1+15 + 25 +10 +1b6 =1+ (1+15 2)+(+)+

10、(+)+(10 1 5+)+1=1+ 31+ 90 + 65 +15 +1= 203三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）：13.用 1，2，3，4，5，6，7，9 这 8 个数码组成 4 个两位质数（每一个数码必须且只能用一次），这 4 个质数有多少种不同的可能？【答案】4解答】容易知道 2、4、5、6 只能作为十位数，设这四个两位质数为、2a4b、。剩下的四个数字为 1、3、7、9，简单分析一下得 a 1,7 ，b 9 ，c 1,7 ，6d5ca 1,7c 1,7d 3,9 。由于 a,c只能取3、9，剩下的1、7要分给b,d，一共有22=4种a = 3c =

11、9a=9b=1b = 7d =1可能（第 1 个 2 表示或者，第 2 个 2 表示或者）c=3d = 714.如图， DABC 中， BD = DC 。在 AC 边上有一块奶酪，其位置在最靠近点C 的四等分点上。在 AD 上有三个透视镜W、W 、W ，这三个透视镜将 AD 四等分。有一只疑心病很123重的老鼠在 AB 上爬行（从 A 爬往 B ）， AB = 400米。当老鼠，某个透镜，奶酪在一条直线上时，老鼠能观察到奶酪。由于老鼠的疑心病很重，它希望多次看到这块奶酪，这样就可以保证在它还没有爬到前，这块奶酪没有被别的老鼠吃掉。所以它第1分钟往前爬80 米，第 2 分钟往回退 20米，第3分

12、钟往前爬80 米，第4 分钟往回退 20米。，依次类推。当这只老鼠爬到点后，它直接沿着BC冲过去吃奶酪。问：老鼠B在 AB 段上一共可以看到多少次奶酪。 AW1W2W3奶酪BDC【答案】5解答】本题的关键就是要求出哪几个点可以看到奶酪。设奶酪的位置为 E （如下【图），由于AE = AW=34，所以G3E /，从而推出AG3AB=3。由于米，所3BCAB=400ACAD4以 AG = 300 米。本题的难点就在于如何求出 AG , AG 的长度。312AG1W1G2W2G3ECW3BD我们先来求 AG2 ，这里提供两种思路：思路一：如下图，延长G2 E 与延长线交于点 H 。被W2 EH 所截

13、，所以BCDADCAW2DH CEDH 1DH=11=1=3。设CH = a ，则 ，所以DC = 2aW D HC EAHC 3HC2BD = DC = 2a 。而 DABD 被G W H 所截，所以22AG2BH DW2AG2G2B 35AG2G2B35AG2AB38=11=1=。由于 AB = 400米，所以G B HD W A22AG2 =150 米 AG2W2ECBDHAJ AE3思路二：如下图，作 EI / AK /，则=。设，则。由于AJ = 3kBCAD = 4kAD ACAK4AW2W 为 AD 中点，所以 AW = 2k ，从而推出。由于=2AK=2EJ22EJ W2 JE

14、JAJIJ=，而 DC = BD ，所以 EJ = IJ IE = 2EJ 。而 AK = 2EJ ，所以 AK = IE ，DC AD BDAGAKIEAI AE3AG3所以=1。由于=，再结合AG=GI，我们推出=。由于2222G2 IAB AC4AB8AB = 400米，所以 AG2 =150 米AKG2MW2IEJBDC用同样的方法，我们可以推出 AG = 60 米，至此我们得 AG = 60 、 AG =150 、112AG3 = 300 。而对于老鼠来说，它走的路程的情况如下所示：第1次看到80第2次看到60140120第3次看到200180260240第4次看到320第5次看到3003803604000所以，一共看到了五次