第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）.doc

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1、第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每题10分，共80分）1（10分）计算：（）2.4 2（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形请问：这个立体图形的表面积等于多少？3（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天4（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE已知ABE74，DAB70，CEB20，那么CDA等于 5（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行现在已知

2、甲走一圈的时间是70分钟如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是 分钟6（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AECF4，BEDF3，那么EF2 7（10分）如果238能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为 8（10分）现有算式：甲数乙数1，其中，是符号+，中的某两个李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，AB 二、解答下列各题（每题10分，共40分）9（10分）计算：（+）+（+）+（+）+（+）+10（10分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规

3、则是：当次购物得到的代金券不能当次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明理由11（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之 间的面积为20，BD2，EC4，求三角形ABC的面积12（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是 BC边上的两点，且BEEFFC连接AE，D

4、F分别交BM分别于H，G求四边形EFGH的面积14（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多要在如图右边所示的55方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分那么最少放几个“四连方”就不能再放了？第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1（10分）计算：（）2.44.1【分析】先从括号里算起，先化简，将原式进行巧算，最后求得原式结果【解答】解：根据分析，原式（）2.4（）2.4（）11（）2.42.42.42.42.4

5、2.46.52.44.1故答案是：4.12（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形请问：这个立体图形的表面积等于多少？【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面看有10个面由此即可解决问题【解答】解：图中几何体露出的面有：104+16272（个）所以这个几何体的表面积是：117272（平方米）答：这个立体图形的表面积等于72平方米3（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完那么草场上每天

6、长出来的草够5头牛吃一天【分析】转换思想，将 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完转换成13头牛吃5天即可解决问题【解答】解：依题意可知：108（15+14+13+12+11）15（份） 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完可以转换成13头牛吃5天15（85）5（份）故答案为：54（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE已知ABE74，DAB70，CEB20，那么CDA等于92【分析】在折叠前，可利用三角形内角和，求得C的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得CDA【解答】解：根据分析，折叠前，由三

7、角形内角和，C180747036，折叠后，EODC+CEO36+2056；BOD180DOE18056124，CDA360ABEBAEBOD360707412492故答案是：925（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行现在已知甲走一圈的时间是70分钟如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是126分钟【分析】甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间【解答】解：704525（分钟），甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，那么甲的速度：乙的速度

8、45：25，行完全程两者所用的时间比就是：25：45；乙走一圈用的时间是：702545126（分）答：乙走一圈的时间是126分钟故答案为：1266（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AECF4，BEDF3，那么EF298【分析】可以将EA、FD、FC、EB分别延长这样就把图形扩展成一个大的正方形，再利用勾股定理，不难求得EF2【解答】解：根据分析，如图：将EA、FD、FC、EB分别延长，这样就把图形扩展成一个大的正方形，AECF4，BEDF3，CMOADFEB3，BMODCFAE4又DF2+CF2CD2，AE2+EB2AB2，OA2+OD2AD2，CM2+BM2

9、BC2AEBDFCAODBMC90，EOFO3+47EF2OE2+OF272+7298故答案是：987（10分）如果238能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108【分析】首先可将k个连续的正整数设出来，求其和，抓住k取最大进行求解【解答】解：设k的连续整数分别是n+1，n+2，n+3，n+k，则和，由于k最大，则n最小，且k2n+k+1，238，即k（2n+k+1）2238（2234）3435（2233），因此k的最大值为34108故答案为：1088（10分）现有算式：甲数乙数1，其中，是符号+，中的某两个李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，AB【分析】可以根据已知，先根

10、据表格中的数字规律求得，是哪个运算符号，然后再算AB的结果【解答】解：根据分析，由表格中的数字可得：113；2215，113；由2215，可知2+2+15，22+15，若2+2+15，则+113不成立，故排除，所以22+15；综上，为“”，为“+”，由表可知，A212+1；B21，ABA+B+故答案是：二、解答下列各题（每题10分，共40分）9（10分）计算：（+）+（+）+（+）+（+）+【分析】先根据算式找规律，把同分母的分数合成一组，然后根据高斯求和公式解答即可【解答】解：（+）+（+）+（+）+（+）+（+）+（+）+（+）+（+）+1+101556010（10分）商店春节促销，顾客每

11、次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明理由【分析】此题首先看一下1550最多能得多少代金券，即15002750，而23001550+750刚好不多不少，也就是说，1550现金必须和所有能得到的750代金券全部消费掉才能买到价值2300的商品怎样才能把代金券和现金一起消费掉？我们从最后一次消费考虑就不难得出结论了经过分析，如果最后一次消费是1

12、00或150以上均无法买到价值2300的商品，原因是后面所换的代金券不能单独用，题目是要求代金券必须和现金一起用由此推断，要想买到价值2300的商品，最后一次消费必须是50现金+50代金券（为什么是50代金券，而不是100代金券，也是题意要求，现金不少于支付商品价值的一半）由50元代金券可知上次消费的现金是100，而和同步用的代金券也必须是100，如是推理，请看如下所示：50+50（代金券）100+100（代金券）200+200（代金券）400+400（代金券）800 左边是现金800+400+200+100+501550元，右边是代金券400+200+100+50750元，这样能买到的商品价

13、值是1550+7502300元，故能买到据此解答即可【解答】解：根据题意可知：（1）由于最后一次购买东西换的代金券是不能使用的，因为有1500元的钱需要换750元的购物券，到最后一次最多可以用50元现金；（2）为了尽可能多的使用代金券，每次尽量用到一半的代金券，每一次的代金券由上一次购物获得；（3）第一次只能用现金这样最后一次用50元现金和50元代金券；倒数第二次用100元现金和100元代金券；倒数第三次用200元现金和200元代金券；倒数第四次用400元现金和400元代金券；倒数第五次用800元现金满足条件的答案为：第一次用800元现金；第二次用400元现金和400元代金券；第三次用200元

14、现金和200元代金券；第四次用100元现金和100元代金券；第五次用50元现金和50元代金券总共：800+400+400+200+200+100+100+50+502300（元）所以用不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品11（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之 间的面积为20，BD2，EC4，求三角形ABC的面积【分析】可以利用等积变形，将DEF向B点平移，DEF的形状大小不变，平移后DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的4变成了6，此时不难计算出三角形ABC的面积【解答】解：根据分

15、析，利用等积变形，将DEF向B点平移，DEF的形状大小不变，平移后DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的4变成了6，如图所示：过E作EGAC交AC于G，RtEGC中，不难得知，EGGC，又等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，即梯形ACEF的面积为20，（EF+AC）EG（EF+AG+GC）EG（2EF+3）320EF，则BF，BEF的面积BFEF，三角形ABC的面积BEF的面积+20故答案是：12（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数

16、【分析】五位数的最大数，根据被11整除的特征，奇数位上的数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，因此五位数不能被11整除，可以先确定万位上的数字，再逐个确定其它数字【解答】解：根据分析，设此五位数为，最大的五位数，则a9，若此五位数为90000，显然不能被11整除，故符合题意的最大的五位数必大于90000，若b9，则划去后为99，能被11整除，故b9，若b8，则划去后为98，不能被11整除，b8，若c9或8，则划去8再划去后，为99，不和题意，划去再划去9后为88，不合题意，c7，划去若干数字后不能被11整除，若d9，8，或7，均不合题意，d6时 划去若干数后不能被11整除，d6若e9，8，7或

17、6，均不合题意，故e5，综上所述，此五位数为：98765三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是 BC边上的两点，且BEEFFC连接AE，DF分别交BM分别于H，G求四边形EFGH的面积【分析】过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，利用线段之间的比例关系，求得三角形之间的面积之比，最后求得阴影部分的面积【解答】解：根据分析，如图，过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，M为CD中点，所以QM：PC1：2，QM：BF1：4，所以GM：GB1：4，BG：BM4：5；又

18、因为BF：BC2：3，；E为BC边上三等分点，所以EP：CM1：3，EP：AB1：6，BH：HP6：1，BH：HM6：152：5，BH：BG2：7，又GM：GB1：4，BH：BG5：14，故答案是：14（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多要在如图右边所示的55方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分那么最少放几个“四连方”就不能再放了？【分析】此题与常规填充题不同的是，本题要求放置几个“四连方”之后，没有空间再放置任何一个“四连方”【解答】解：本题需要尽可能“不合理”利用空间，使用尽可能少的“四连方”占据空间，使余下的空白方格不能容下任何一个“四连方”，如下图所示，放入3个之后，再没有空间放任何一个“四连方”，而如果只放2个的话，还余下252417块，必然会存在连续的空间可以放下“四连方”所以：最少放3个“四连方”就不能再放了声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:02:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第13页（共13页）