第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）.doc

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1、第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）1.375+1050.92（10分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是 cm3（10分）某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前 天完成任务4（10分）王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整那么王教授在列车

2、上的时间共计 分钟5（10分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是 6（10分）如图所示，从长、宽、高分别为15 cm，5 cm，4 cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm，5cm，xcm的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120 cm3，那么x+y 7（10分）一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人； 在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍； 又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和那么答对A的最多有 人8（10分）甲，乙进行乒乓球比赛，三

3、局两胜制每局比赛中，先得11 分且对方少于10分者胜； 10平多得2 分者胜甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有 种情况二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120求这两个数10（10分）酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%若每降低20元的房价，则能增加5间入住求合适的房价，使酒店收到的房费最高11（10分）如图，长方形ABCD的面积是56cm2BE3cm，DF2cm请你回答：三角形AEF的面积是多少？12（10分）当N取遍1，2，3，201

4、5中所有的数时，形如3n+n3的数中能够被7整除的有多少个？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）如图所示，ABCD是平行四边形，AMMB，DNCN，BEEFFC，四边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积14（15分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”“一”“故”“如”“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21则“弄”可以代表的数最大是多少？第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题

5、解析一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）1.375+1050.9【分析】四则运算先算乘除，再算加减，把此题中的小数化成分数计算比较简单，然后利用分数乘法法则计算【解答】解：1.375+1050.9+故答案为：2102（10分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是24cm【分析】这个图案的周长六个三角形的边长+六个正方形的边长，依此列出算式计算即可求解【解答】解：26+2612+1224（cm）答：这个图案的周长是24cm故答案为：243（10分）某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的，随后再增加10

6、个人来完成这项工程，那么能提前10天完成任务【分析】首先把这项工程看作单位“1”，根据工作效率工作量工作时间，用10个人用30天完成的工作量除以1030，求出每个工人每天完成这项工程的几分之几；然后求出再增加10个人每天一共完成这项工程的几分之几，再根据工作时间工作量工作效率，用剩下的工作量除以再增加10个人每天一共完成的工作量，求出剩下的工程需要多少天；最后用100减去实际需要的时间，求出能提前多少天完成任务即可【解答】解：10030（1）（10+10）70706010（天）答：能提前10天完成任务故答案为：104（10分）王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好

7、左右对称列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整那么王教授在列车上的时间共计360分钟【分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是3601230，即每两个相邻数字间的夹角是30，分针每分钟走6，时针每分钟走0.5，8时整时分针与时针的夹角是120，由于登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称，是8时过120（6+0.5）（分），此时是8时分；下午2时15分时，分钟与时针的夹角是156（60+0.515）22.5（度），又有王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，是下午2时

8、15分过22.5（6+0.5）（分），此时是下午2时15分+分下午2时分，两个时间之差就是王教授在车上的时间【解答】解：8时整时分针与时针的夹角是120，120（6+0.5）（分），王教授登上车的时间是：8时分；下午2时15分时，分钟与时针的夹角是156（60+0.515）22.5（度），22.5（6+0.5）（分），王教授下车的时间是：2时15分+分下午2时分；下午下午2时分化成24计时法是14时分14时分8时分6小时6小时360分钟故答案为：3605（10分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是5321【分析】设四个数字分别为a、b、c、d根

9、据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb6个，则这六个四位数分别是：a1000+b100+c10+d1，a1000+b100+c1+d10，a1000+b1+c10+d100，这6个数的和是6000a+222b+222c+222d；同理，以b开头的6个四位数的和是222a+6000b+222c+222d；以c开头的6个四位数的和是222a+222b+6000c+222d；以d开头的6个四位数的和是222a+222b+222c+6000d；把它们组成的四位数全部加起来，就是6666（a+b+c+d），则6666（a+b+c+d）73326，即a+b+

10、c+d11，则分析可得a、b、c、d是1、2、3、5中的一个数字，所以组成的四位数中最大四位数是5321，最小是1235【解答】解：设四个数字分别为a、b、c、d根据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb6个，则这六个四位数分别是：a1000+b100+c10+d1，a1000+b100+c1+d10，a1000+b1+c10+d100，这6个数的和是6000a+222b+222c+222d；同理，以b开头的6个四位数的和是222a+6000b+222c+222d；以c开头的6个四位数的和是222a+222b+6000c+222d；以d开头的6个四

11、位数的和是222a+222b+222c+6000d；则6666（a+b+c+d）73326，即a+b+c+d11，分析可得a、b、c、d是1、2、3、5中的一个数字，所以组成的四位数中最大四位数是5321故答案为：53216（10分）如图所示，从长、宽、高分别为15 cm，5 cm，4 cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm，5cm，xcm的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120 cm3，那么x+y15cm【分析】割走的长方体的体积大长方体的体积余下部分的体积，依此列出算式1554120求得割走的长方体的体积，再根据x，y为整数，由整数的性质即可求解【解答】解：15541203

12、00120180（cm3）则5xy180，即xy36，因为x，y为整数，且0x4，0y15，所以x为3cm，y为12cm，x+y15cm故答案为：157（10分）一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人； 在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍； 又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和那么答对A的最多有23人【分析】由题意得，如下图所示：只答对A的人数是3b+a，答对A还答对其他题目的人数是3b+a5，所以有：3b+a+3b+a5+3b+2a39，化简得4a+9b44，然后对a、b进行取值，求得a、b，

13、取a、b的最大值；因为答对A的人共3b+a+3b+a56b+2a5，把a、b的最大值代入6b+2a5中，解决问题【解答】解：只答对A的人数是3b+a，答对A还答对其他题目的人数是3b+a5，所以有：3b+a+3b+a5+3b+2a39，化简得：4a+9b44，因为a、b都为自然数，所以当a2时，b4；当a11时，b0，即或答对A的人共3b+a+3b+a56b+2a5，把a、b的最大值代入6b+2a5中，最大值是：64+22524+4523（人）答：答对A的人最多有23人故答案为：238（10分）甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制每局比赛中，先得11 分且对方少于10分者胜； 10平多得2 分者胜

14、甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有8种情况【分析】通过分析可知：甲、乙二人得分总和都是30分，30311，三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是30：3011+9+10，乙对应的得分是：307+11+12：对应的比分是，之后7、9依次减1，10和12依次加1：、，上面8种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，但考虑不计比分先后顺序，故有8种情况，据此解答即可【解答】解：甲、乙二人得分总和都是30分30311三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是：30：3011+9+10乙对应的得分是：307+11

15、+12：对应的比分是，之后7、9依次减1，10和12依次加1：、上面8种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，但考虑不计比分先后顺序，故有8种情况，答：三局的比分共有8种情况故答案为：8二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120求这两个数【分析】6672329，最小公倍数除以最大公约数，所得的商是120，如果23是它们的最大公约数的话，那么29就得拆成两个数和，并且积是120，试验得到2924+5，245120，所以两数分别是2423552，523115；同样，如果29是它们的最大公约数

16、的话，那么23就得拆成两个数的和，并且积是120，试验得到2315+8，158120；所以两数分别是1529435，829232【解答】解：6672329，由题意，假设23是它们的最大公约数，由于2924+5，245120，所以两数分别是2423552，523115；假设29是它们的最大公约数，由于2315+8，158120；所以两数分别是1529435，829232；答：这两个数是115和552，或者232和43510（10分）酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%若每降低20元的房价，则能增加5间入住求合适的房价，使酒店收到的房费最高【分析】计算出原房价以及降价相应价

17、格后的酒店收益，然后进行比较，即可【解答】解：由题意分析得房价为400元/天，入住房间为10050%50，所以收到的房费为：4005020000元；房价为380元/天，入住房间为50+555，所以收到的房费为：3805520900元；房价为360元/天，入住房间为60，所以收到的房费为：3606021600元；房价为340元/天，入住房间为65，所以收到的房费为：3406522100元；房价为320元/天，入住房间为70，所以收到的房费为：3207022400元；房价为300元/天，入住房间为75，所以收到的房费为：3007522500元；房价为280元/天，入住房间为80，所以收到的房费为：

18、2808022400元；房价为260元/天，入住房间为85，所以收到的房费为：2608522100元；答：当房价为300元/天时，酒店受到的房费最高11（10分）如图，长方形ABCD的面积是56cm2BE3cm，DF2cm请你回答：三角形AEF的面积是多少？【分析】如图所示：过点F作AD的平行线GF，则三角形AGF是长方形AGFD的面积的一半；三角形GEF是长方形GBCF的面积的一半，所以四边形AGEF的面积就是长方形ABCD的面积的一半；而阴影部分的面积等于四边形AGEF的面积减去三角形AGE的面积，据此代入数据即可求解【解答】解：据分析可知：四边形AGEF的面积为：56228（平方厘米），

19、则阴影部分的面积为：2823228325（平方厘米）答：三角形AEF的面积是25平方厘米12（10分）当N取遍1，2，3，2015中所有的数时，形如3n+n3的数中能够被7整除的有多少个？【分析】通过分析可知：3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；n3除以除以7的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0，则总周期为42，当余数和为7的倍数时能够被7整除，列表如图：再看看2015里共有多少个这样的周期，据此列式计算即可【解答】解：如图：3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；N3除以除以7的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0；则总周期为42：201542474

20、1476+6282+6288（个）答：能够被7整除的有288个三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）如图所示，ABCD是平行四边形，AMMB，DNCN，BEEFFC，四边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积【分析】如图，作EQCD，FPCD，分别交BN与点Q、P，然后分别判断出HEQ、四边形EFPQ、FGP的面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几，进而求出四边形EFGH的面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几；最后根据分数除法的意义，用四边形EFGH的面积除以它占平行四边形ABCD的面积的分率，求出平行四边形ABCD的面积是多少即可【解答】解

21、：如图，作EQCD，FPCD，分别交BN与点Q、P，因为，所以；因为BEM的面积占平行四边形ABCD的面积的：，所以HEQ的面积占平行四边形ABCD的面积的：因为，所以BFP的面积占BCN的面积的：，所以四边形EFPQ的面积占平行四边形ABCD的面积的：因为，所以FGP的面积占平行四边形ABCD的面积的：所以平行四边形ABCD的面积的：118答：平行四边形ABCD的面积是814（15分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”“一”“故”“如”“虚”，且各个成语中四个汉字所

22、代表的数的和都是21则“弄”可以代表的数最大是多少？【分析】有明确大小关系的“表、一、故、如、虚”，其实都是成语中有重复的数字，每个四字成语的和都是21，那么总和是21484，所有数是连续的11个非零自然数，因此它们的和一定是11的倍数，它们可能是：111，和为66，即5个重复数字之和为846618；212，和为77，5个重复数字之和为84777，由于每个数各不相同，因此这种情况不可能，可得这五个重复数字之和为18，所有数是111，重复数字只有以下几种可能：1、2、3、4、8；1、2、3、5、7；1、2、4、5、6代入发现只有情况符合情况，每个数都填入后，可得虚1，故4，弄、玄只能是9、7，由此得解【解答】解：根据分析可知，表、一、故、如、虚”，五个重复数字之和为18，因为所有数是111，重复数字只有以下几种可能：1、2、3、4、8；1、2、3、5、7；1、2、4、5、6代入发现只有情况符合情况，每个数都填入后，可得虚1，故4，弄、玄只能是9、7，弄最大是9答：“弄”可以代表的数最大是9声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:27；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第13页（共13页）