第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）.doc

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1、第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：190.125+28112.5 2（10分）农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是 九的第 天3（10分）某些整数分别被，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，则满足条件且大于1的最小整数是 4（10分）如图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB则三角形PAC的面积等于 平方厘米5（10分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还

2、剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个那么这筐苹果至少有 个6（10分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为 7（10分）设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为 8（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括地面）所有黑点的总数至少是 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个

3、分别等于3、4、5和6的算式10（10分）小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”问这个班有多少名学生？11（10分）小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速1.5千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流 船在静水中的速度是3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？12（10分）由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点

4、处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）用八个如图所示的21的小长方形可以拼成一个44的正方形，若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？14（15分）不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？第十八届“华罗

5、庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：190.125+28112.525【分析】根据乘法分配律进行简算即可【解答】解：根据题意可得：190.125+28112.5，190.125+2810.1251000.125，（19+281100）0.125，2000.125，25故答案为：252（10分）农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是二九的第3天【分析】先求出2012年12月21日到2013年的元旦经过了多

6、少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可【解答】解：2012年12月21日到2013年的元旦共有12天，12913，说明已经经过了1个9天，还余3天，这一天就是二九的第3天答：2013年的元旦是二九的第3天故答案为：二，33（10分）某些整数分别被，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，则满足条件且大于1的最小整数是316【分析】观察所得的商的分数部分：，分子都是2，分母分别为这些分数的，分子，所以只要求出3、5、7、9的最小公倍数再加1即可【解答】解：3、5、7、9的最小公倍数是：3357315，所以满足条件且大于1的最小整数是：315+1316；故答案为

7、：3164（10分）如图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB则三角形PAC的面积等于12平方厘米【分析】过P点作PEAB，PFBC，三角形PAC的面积三角形PAB的面积+三角形PBC的面积三角形ABC的面积【解答】解：因为102（122）264，则PE8，PF6，所以三角形PAB的面积为：128248（平方厘米），三角形PBC的面积为：126236（平方厘米），阴影部分的面积为：48+3612122，8472，12（平方厘米）；答：三角形PAC的面积等于12平方厘米故答案为：125（10分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个

8、还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个那么这筐苹果至少有62个【分析】因为113，104，125余数都是2，因此这筐苹果的个数就是3、4、5的最小公倍数加上2即可【解答】解：11332，10422，12522，345+260+262（个）；答：这筐苹果至少有62个故答案为：626（10分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为74【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的棱长是3，则四周的小直角三角形的直角边分别是2、1；如果

9、把四周的四个直角三角形剪下来，正好拼成一个边长是2的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面的面积是339，则小正方体的一个面的面积就是9225；则这个立方体的表面积就是大正方体的表面积与小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：339，小正方体一个面的面积是：224，945，所以这个立体图形的表面积是：96+54，54+20，74，答：这个立体图形的表面积是74故答案为：747（10分）设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为94【分析】此题可以通过设公约数这个参数，将参数值求出，

10、进而得出n的值【解答】解：设4n+5和7n+6的公约数为k，则（4n+5）k为整数，（7n+6）k为整数，为了作差后消去n，则左边的式子乘上7，右边的式子乘上4，结果还是都为整数， 则7（4n+5）4（7n+6）k11k为整数，因为k1，则11k为整数时k只能为11，即两代数式大于1个公约数为11， 又因为2（4n+5）（7n+6）k为整数，这里（4n+5）乘上2来作差是为了让n的系数变为1方便筛选代入k11，有（n+4）11为整数因为n50则n7，18，29，407+18+29+4094故所有n的可能值之和为94故答案为：948（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的

11、表面上（包括地面）所有黑点的总数至少是54【分析】根据图意知，上面的正方体同下面正方体中间相连的面最大是5个黑点，下面中间的正方体面同上面正方体和左右两个正方体三个面连接的面，最大是6，4，3个黑点，下面左面的正方体和下面右面的正方体，同中间的正方体连接的面，最大是6个黑点，然用四个正方体上的黑点总数，减去连接在一起看不到的黑点数，就是表面的黑点数【解答】解：根据以上分析得：（1+2+3+4+5+6）4564362，214564312，84564312，54（个）故答案为：54二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四

12、个分别等于3、4、5和6的算式【分析】因为1243，4+4+412，所以可以写成（4+4+4）43；因为4（44）0，404，所以可以写成4（44）44；因为4520，2045，所以可以写成（44+4）45；因为2+46，（4+4）42，所以可以写成（4+4）4+46【解答】解：（4+4+4）43； 4（44）44；（44+4）45；（4+4）4+46；10（10分）小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”问这个班有多少名学生？【分析】设比小明小得学生

13、为x人，比小华小的学生为y人，那么比小明大的学生为2x人，所以全班学生共有N3x+1人，又因为比小华大的学生为3y人，所以全班学生共有N4y+1人，则N1既是3的倍数，又是4的倍数，因此N1是3412的倍数，结合该班学生人数介于15到30人之间，所以N只能是24，所以这个班共有学生N24+125人【解答】解：由分析知，设比小明小得学生为x人，比小华小的学生为y人，那么比小明大的学生为2x人，所以全班学生共有N3x+1人，又因为比小华大的学生为3y人，所以全班学生共有N4y+1人，则N1既是3的倍数，又是4的倍数，因此N1是3412的倍数，结合该班学生人数介于20到30人之间，所以N1只能是24

14、，所以这个班共有学生N24+125人答：这个班有25名学生11（10分）小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速1.5千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流 船在静水中的速度是3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？【分析】小虎划船的全部时间是120分钟，他每划行30分钟，休息10分钟，周期为40分钟，所以一共可以分为3个30分钟划行时间段，有3个10分钟休息；划船时，顺水的船速与逆水的船速之比是4.5：1.53：1；因为小虎要把船划离到离租船处尽可能远，他在划船的过程中只能换一次划船的方向，而且

15、是在尽可能远处，分为两种情况讨论，即开始向下游划船或开始向上游划船，然后再进一步解答即可【解答】解：根据题意可得：分为两种情况，开始向下游划船或开始向上游划船；我们假设开始时向下游划，若划30分钟，则向下游划（3+1.5）0.5+1.52.5（千米）；返回时，向上游划半小时，顺水漂10分钟为一个周期，可以向上游划 （31.5）0.51.50.5（千米）；在剩余的40分钟内回不了租船处假设开始时向下游划x（x30）分钟，则在前40分钟内，他可以向下游划（3+1.5）（31.5）+1.50.1x0.25（千米）要保证能回到租船处，则要求0.1x0.250.5+0.75，即x15；所以最多可以划（3

16、+1.5）1.125（千米）；开始时向上游划，由得向上游划半小时，顺水漂10分钟为一个周期，（T40 分钟）；可以向上游划（31.5）0.51.50.5（千米）；假设向上游划240+x（x30）分钟，则可以向上游划20.5+（31.5）1+；余下时间可以向下游划 （3+1.5）+1.52.5x；要保证能回到租船处，则要求1+2.5x，解得x15；所以最多可以离开租船处 1+1.375（千米）；比较两种情况，最多可以离开租船处1.375 千米答：小虎的船最远可以离租船处1.375千米12（10分）由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每

17、个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由【分析】不能设放的最小自然数为a，则放的最小自然数为a+23得到这24个自然数的和为A12（2a+23）假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S因为共有5个正方形，这些和的和为5S因为每个数在这些和中出现两次，所以5S2A记最小的16个数的和为B，则B8（2a+15）再分两种情况讨论：（1）BS；（2）BS即可求解【解答】解：不能设放的最小自然数为a，则放的最大自然数为a+23这24个自然数的和为A12（2a+23）假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S因为共有5个正方形，这些和的和为5S因为每个

18、数在这些和中出现两次，所以5S2A记最小的16个数的和为B，则B8（2a+15）分两种情况讨论：（1）若BS，则SA（2a+23）8（2a+15），9.6a+110.416a+120，不存在自然数a使得不等式成立（2）若BS也是不可能的，因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使这16个数的和等于S三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）用八个如图所示的21的小长方形可以拼成一个44的正方形，若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻

19、的图形有多少种？【分析】用右图代替题目中的21小长方形，因为题目所给的小长方形的上下不对称，所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中，不会既在上半部分也在下半部分，这样，就可以只考虑上半部分的不同情形，据此画图分析解解答【解答】解：（1）相邻的空白格在第一行的最左边或最右边，因为要排除旋转相同的，所以只考虑相邻空白格在最右边的情况，有下图所示的两种情况：，（2）相邻的空白格在第一行中间，去掉旋转重合的，有下图所示3种情况：答：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有5种14（15分）不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是20

20、12个数字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？【分析】根据要求写出满足条件的最小n值即可【解答】解：根据题意有n2010A2012B2013C能把数字和和数联系起来的数是能被3或9整除的数明白一个结论，求一个数能否被3或9整除，将这个数按数位截成若干个数或拆成若干个数，若若干个数的和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除例：求123467891011122013能否被9整除，只需求1+2+2013的和能否被9整除 显然2010，2013都是3的倍数，则n是3的倍数，2012B是3的倍数根据非零自然数，B最小为3，则n最小为6036 检验：x+y2010，3x+12y6036，x2008，y2（数字和也可以为2）c+d2013，10c+d6036，c447，d1566（数字和等于2和3没有可能） 60362012320083+12210447+15661，总数n最小值为6036答：n最小是6036声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:55:54；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第11页（共11页）