第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小高组C卷）.doc

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1、第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组C卷）一、选择题（每小题10分，共60分）1（10分）计算：（+）120（）A42B43C15D162（10分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成45度角，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是（）米A2.6B2.4C2.2D2.03（10分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下对话：甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人之中至少有2人捐了款”丁：“你们3人之

2、中至多有2人捐了款”已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这2位同学是（）A甲，乙B丙，丁C甲，丙D乙，丁4（10分）六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第3位的同学的分数至少是（）A94B95C96D975（10分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果DEH、BEH、BCH的面积依次为56、50、40，那么CEH的面积是（）A32B34C35D366（10分）一个由边长为1的小正方形组成的nn的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正

3、方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A3B4C5D6二、填空题：（每小题10分，满分40分）7（10分）在每个格子中填入16中的一个，使得每行、每列及每个23长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是 8（10分）整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是那么整数n的最大值是 9（10分）在边长为300厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米（取3.14）10（10分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上甲，乙

4、，丙三人分别从A地，B地，C地同时出发，匀速向D地行进当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%，当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%，甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50米，三人同时到D地已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟 米，A、D两地间的路程是 米第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分）1（10分）计算：（+）120（）A42B43C15D16【分析】首先对（+）进行拆分，然后用所得的结果减去除以所得的商，求出算式的值是多少即可【解答】解：（+）120（+）

5、120（+）12030+12042故选：A2（10分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成45度角，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是（）米A2.6B2.4C2.2D2.0【分析】因为A45，最高的小树高2.8米，所以AC2.8米，又因为树根成一条直线，树顶也成一条直线，所以所有的树都互相平行，所以AB1.4米，BCACAB1.4米，因为这排树的间距相同，则每个间距是1.470.2米，则从左向右数第4棵树的高度：0.24+1.4，据此解答即可【解答】解：因为：树根成一条直线，树顶也成一条直线，A45，最高

6、的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，所以AC2.8米，AB1.4米，BCACAB1.4米，又因为：这排树的间距相同，所以：1.470.2（米）0.24+1.40.8+1.42.2（米）答：那么从左向右数第4棵树的高度是2.2米故选：C3（10分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下对话：甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人之中至少有2人捐了款”丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这2位同学是（）A甲，乙B丙，丁C甲，丙D乙，丁【分析】

7、因为有2位同学捐了款，所以根据：丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的据此解答即可【解答】解：根据分析可得：丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的，只有

8、乙和丁捐了款故选：D4（10分）六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第3位的同学的分数至少是（）A94B95C96D97【分析】要求第三名同学至少要考多少分，知道六名同学的总平均分，能求出总成绩，用总成绩最高分最低分另四名同学的总成绩，要想第3个同学成绩最小，则第2个同学成绩取最大值为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩总人数平均分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的答案【解答】解：92.569976380（分），由于最高分是99分，所以第二个的最好成绩最多是：98剩余三人成绩和

9、为：38098282（分），第3个同学成绩最小，第4、5个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这3个数相差为1，282394（分），则第三位同学至少是：94+195（分）答：第三名至少得95分故选：B5（10分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果DEH、BEH、BCH的面积依次为56、50、40，那么CEH的面积是（）A32B34C35D36【分析】如下图所示：分别过点E作EFDC，EGBH，连接AF，BF，BD，由等底等高的三角形面积相等，可得SBDFSADF，SADCSBDC，因此有：SCDESADCSADESBDCSBDFSBFC，而SBFCSBFH+S

10、BCHSBEH+SBCH90；因此SCHESEDCSHDE905634，据此即可解决【解答】解：如上图所示，分别过点E作EFDC，EGBH，连接AF，BF，BD，则SBDFSADF，SADCSBDC，所以SCDESADCSADESBDCSBDFSBFC，又因为SBFCSBFH+SBCHSBEH+SBCH90，所以SCHESEDCSHDE905634故选：B6（10分）一个由边长为1的小正方形组成的nn的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A3B4C5D6【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理根据题目所给的选项不妨选

11、一个中间的数5为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾从而得出n的取值范围，即得出答案【解答】解：假设n5，（由抽屉原理知）第一行中至少有3个格子颜色相同不妨设前3格为黑色（如图1）在这3个黑格下方可以分割为4个横着的31的长方形，若其中有一个中有2个黑格（如图2），则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的31的长方形中，每个至多1个黑格假设这4个横着的31的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；而31的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种如果这4种都存在的话如图5，则同样存在图中粗线长

12、方形4个角上的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾所以，n5，正整数n的最大值是4而图6给出了n4的一种构造故选：B二、填空题：（每小题10分，满分40分）7（10分）在每个格子中填入16中的一个，使得每行、每列及每个23长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是4123【分析】如图：因为第三行存在1、3、4，所以A为2，5，6之一，而3与A的和是质数，所以A为2在A所在的长方形中，还剩下1、4、5、6没有使用而3与“相”的和是质数，所以“相”是4“相”与“约”的和为质数，“约”为1，“约”与“月”的和为质数

13、，“月”为6，剩下的C为5第三行只剩下数字5，所以B为5；在B所在的长方形中，还剩下2、3、6没有使用而4与“杯”的和是质数，所以“杯”为3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为2，剩下的D就是6；所以四位数“相约华杯”是4123，据此解答即可【解答】解：如图：因为第三行存在1、3、4，所以A为2，5，6之一，而3与A的和是质数，所以A为2在A所在的长方形中，还剩下1、4、5、6没有使用而3与“相”的和是质数，所以“相”是4“相”与”“约”的和为质数，“约”为1，“约”与”“月”的和为质数，“月”为6，剩下的C为5第三行只剩下数字5，所以B为5；在B所在的长方形中，还剩下2、3、6没有使用

14、而4与“杯”的和是质数，所以“杯”为3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为2，剩下的D就是6；所以四位数“相约华杯”是4123故答案为：41238（10分）整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是那么整数n的最大值是162【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、 、3、 、 、 、 、 、n，立即可以填出1、2、3、 、 、 、 、n，也就是说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、 、 、 、 、n，根据因数个数定理101（9+1）（1+1）（4+1），由于含质因数2和3，则n应为2134或

15、2431，其中2134162更大故答案为：1629（10分）在边长为300厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是15975平方厘米，两块阴影部分的周长差是485厘米（取3.14）【分析】（1）如图：扇形ABC的面积+，扇形BCD的面积+，正方形ABCD的面积+，所以扇形ABC的面积+扇形BCD的面积正方形ABCD的面积+，据此可求出两块阴影部分面积的差是多少；（2）连结BE、CE，因BCBECE，所以三角形BCE是等边三角形，所以扇形BCE的圆心角是60，扇形CED的圆心角是30，据此可分别阴影部分的周长是多少，再相减即可【解答】解：（1）S扇形ABC+

16、S扇形BCD+S正方形ABCD+，S扇形ABC+S扇形BCDS正方形ABCD的+S扇形ABC+S扇形BCDS正方形ABCD的3.1430024+3.14300243003003.14（3002）223.14900004+3.149000043003003.1422500270650+70650900003532515975（平方厘米）（2）连结BE、CE阴影部分的周长是3.143002+3.143002628+4711099（厘米）阴影部分的周长是3.143002+300314+300614（厘米）1099614485（厘米）答：两块阴影部分的面积差是 15975平方厘米，两块阴影部分的周长差

17、是 485厘米故答案为：15975，48510（10分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上甲，乙，丙三人分别从A地，B地，C地同时出发，匀速向D地行进当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%，当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%，甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50米，三人同时到D地已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟125米，A、D两地间的路程是1880米【分析】由于同时到达，所以甲追上丙后二者速度相等，乙追上丙后二者速度相等乙出发时的速度是每分钟60米，遇到丙后速度变为60（125%）45（米/分），所以丙的速度为45米

18、/分，可以推知甲在追上丙后的速度变为45米/分，在追上乙后追上丙之前速度为45（140%）75米/分，甲出发时的速度为75（140%）125（米/分 ）甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，则在乙追上丙时也追上了甲，此时甲走的路程为（75t+459）米，乙走的路程为60（t+9）米，列方程为：75t+45960（t+9），解得t9由于此后又走了50米到达D地，所以CD的距离为75t+459+501130（米）由于甲从C地花了9分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为759459270（米），即甲从A地到C地，丙走了270456（分钟），那么AC的距离为1256750（米），所以AD得距离为11

19、30+7501880（米）【解答】解：遇到丙后速度变为：60（125%）600.7545（米/分）甲在追上乙后追上丙之前速度为：45（140%）450.675（米/分）甲出发时的速度为：75（140%）750.6125（米/分 ）甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，得：75t+45960（t+9） 75t+40560t+540 15t135 t9CD的距离为：75t+459+50759+405+501130（米）甲从C地花了9分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为：759459（7545）9270（米）甲从A地到C地，丙走了：270456（分钟），那么AC的距离为：1256750（米），所以AD得距离为1130+7501880（米）答：甲出发时的速度是每分钟125米，A、D两地间的路程是1880米故答案为：125，1880声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第13页（共13页）