黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题含答案.pdf

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1、牡丹江二中牡丹江二中 2023-2024 学年度第一学期高三第二次阶段性考试学年度第一学期高三第二次阶段性考试数学数学考生注意：考生注意：1.本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时考生作答时，请将答案答在答题卡上请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后选择题每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径非选择题请用直径 0.5

2、 毫米毫米，黑色黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与逻辑本卷命题范围：集合与逻辑 不等式不等式 函数与导数函数与导数 三角函数三角函数 数列数列 统计统计.一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题；每小题小题；每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的选项是符合题目要求的.1.已知集合260Ax xx，10Bxx ，则A

3、B（）A.3,B.,2C.3,1D.1,22.函数 11f xxx的定义域是（）A.1,00,B.1,C.RD.,00,U3.冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬奥综合性运动会，自 1924 年起，每四年举办一届第 24 届由中国 2022 年 2 月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区共 15 个比赛项目为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下不正确的为（）A.甲社团众数小于乙社团众数B.甲社团的极差大于乙社团的极差C.甲社团的平均数大于乙社团的平均数D.甲社团的方差大于乙社团的方差4.玉

4、雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A.21600cmB.23200cmC.23350cmD.24800cm5.下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的 25%分位数为（）A.66.5B.67C.67.5D.686.若0 x，0y，则“4xy”的一个必要不充分条件是（）A.228xyB.4xyC.4xy D.111xy7.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906 年瑞典数学家科赫构造了能够描述

5、雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为 2 的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第(1,2,3,)n n 个图中的图形的周长为na，则5a（）A.2569B.25627C.51227D.512818.设函数()f x的定义域为0,3)，满足1(1)2()4f xf x，且当0,1)x时，()(1)f xxx.则不等式5()8f x 的解集是（）A.5 7,2,3)4 4B.4 5,2,3)3 3C.5 7,(2,3)4 4D.4 5,(2,3)3 3二二 多选题：本大题共多选题：本

6、大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列命题正确的是A.2,2(1)0a bR abB.aRxR ，使得2axC.0ab 是220ab的充要条件D.1ab ，则11abab10.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，满足12321aaa，525S，下列说法正确的是（）A.23nanB.210nSnn C.nS的最大值为5SD.11nna a的前 10 项和为109911

7、.已知函数 f x的定义域为R，且 00f若21yfx为奇函数，4yf x为偶函数，则（）A.40fB.80fC.132ffD.17ff12.对于三次函数 320axbxd af xcx，给出定义：fx是函数 yf x的导数，fx是函数 fx的导数，若方程 0fx有实数解0 x，则称00,xf x为函数 yf x的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数 322491236f xxxx，则下列说法正确的是（）A.f x的极大值为1376B.f x有且仅有 2 个零点C.点1,22是 f x的对称中心D.1232023

8、40462024202420242024ffff三三 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.若1sin3x，则cos()2x_.14.将某射击运动员的十次射击成绩（环数）按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：8.1，8.4，8.4，8.7，x，y，9.3，9.4，9.8，9.9，已知总体的中位数为 9，则11xy的最小值为_15.已知123ffxxx，0 x，则 f x的解析式为_16.若曲线ln()yxa的一条切线为eyxb（e为自然对数的底数），其中,a b为正实数，则11eab的取值范围是_四四 解答题：本大题共解答题：

9、本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤证明过程及演算步骤.17.已知在递增的等差数列 na中，7355a a，4616aa（1）求3a和7a；（2）求 na的通项公式18.2021 年，为降低疫情传播风险，保障经济社会良好运行，各地区鼓励外来务工人员就地过节、过年某市统计了该市 4 个地区的外来务工人员数与就地过年的人员数，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区外来务工人员数x/万人3456就地过年的人员数y/万人2.5344.5（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程ybxa（2）假设该市

10、政府对外来务工人员中选择就地过年的人每人发放 1000 元补贴若该市E区有 2 万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区选择就地过年的人员发放的补贴总金额；参考公式：回归方程ybxa中斜率和截距的公式分别为1122211nniiiiiinniiiix ynxyxxyybxnxxx，aybx19.已知2 7cos27，1sin22，2，02，求：（1）cos2的值；（2）tan的值.20.设函数 lnf xaxx，其中Ra，曲线 yf x在点 1,1f处的切线经过点3,2.（1）求函数 f x的极值；（2）证明：2eexxf x.21.已知数列 na的前n项和为nS，满足22nn

11、Sna（1）证明：数列2na 是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）若2log2nnba，设nT是数列2nnba的前n项和，求证：32nT.22.已知21()(1)2xf xeaxb x.其中常数2.71828e.（1）当2,4ab时，求()f x在1,2上的最大值；（2）若对任意0,()af x均有两个极值点1212,x xxx，（）求实数 b 的取值范围；（）当ae时，证明：12f xf xe.牡丹江二中牡丹江二中 2023-2024 学年度第一学期高三第二次阶段性考试学年度第一学期高三第二次阶段性考试数学数学考生注意：考生注意：1.本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试

12、时间 120 分钟分钟.2.答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时考生作答时，请将答案答在答题卡上请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后选择题每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径非选择题请用直径 0.5 毫米毫米，黑色黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答

13、无效草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与逻辑本卷命题范围：集合与逻辑 不等式不等式 函数与导数函数与导数 三角函数三角函数 数列数列 统计统计.一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题；每小题小题；每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的选项是符合题目要求的.1.已知集合260Ax xx，10Bxx ，则AB（）A.3,B.,2C.3,1D.1,2【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的交集【详解】由260 xx，得(2)(3)0 xx，解得32x，所以32Axx，由10 x

14、 ，得1x ，所以1Bx x，所以31ABxx ，故选：C2.函数 11f xxx的定义域是（）A.1,00,B.1,C.RD.,00,U【答案】A【解析】【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零，分母不等于零，即可得解.【详解】解：由函数 11f xxx，得100 xx，解得1x 且0 x，所以函数 11f xxx的定义域是1,00,.故选：A.3.冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬奥综合性运动会，自 1924 年起，每四年举办一届第 24 届由中国 2022 年 2 月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区共 15 个比赛项目为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个

15、社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下不正确的为（）A.甲社团众数小于乙社团众数B.甲社团的极差大于乙社团的极差C.甲社团的平均数大于乙社团的平均数D.甲社团的方差大于乙社团的方差【答案】C【解析】【分析】分析两社团的众数得大小，判断 A;计算出两社团的极差，判断 B；算出两社团的平均数，判断 C，分析两社团频数的波动性，判断 D.【详解】A 选项，甲社团众数为 2，乙社团众数为 3，所以 A 正确；B 选项，甲社团极差为 3，乙社团的极差为 2，所以 B 正确；C 选项，甲社团平均数为223254337 ，乙社团的平均数为223433437 ，故两

16、社团平均数相等，所以错误；D 选项，由图可知，甲社团的频数的波动性较大，故其方差大于乙社团方差，D 正确，故选：C4.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A.21600cmB.23200cmC.23350cmD.24800cm【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r，2r，相同的圆心角为，则1216080rr，得122rr，又因为1240r

17、r，所以180r，240r，该扇形玉雕壁画面积12111116080160 8080 4048002222Srr（2cm）故选：D5.下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的 25%分位数为（）A.66.5B.67C.67.5D.68【答案】C【解析】【分析】直接按照频率分布直方图的百分位数求解即可.【详解】第一组的频率为0.010 100.1，前两组的频率之和为0.0100.020100.3，知 25%分位数在第二组60,70内，故 25%分位数为0.250.160 1067.50.2.故选：C.6.若0 x，0y，则“4xy”的一个必要不充分条件是（）

18、A.228xyB.4xyC.4xy D.111xy【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分条件，必要条件的判断逐项进行检验即可求解.【详解】对于选项 A：若228xy，则2222282822xyxyxyxyxy，所以216xy，又0 x，0y，所以04xy，所以“228xy”是“4xy”的充分条件，故选项 A 错误；对于选项 B：若4xy，则224xy，所以4xy，即4xy，所以“4xy”是“4xy”的充要条件，故选项 B 错误；对于选项 C：由4xy得242xyxy，另一方面取14x，8y，满足4xy，但4xy，所以“4xy”是“4xy”的一个必要不充分条件，故选项 C 正确；对于选项

19、 D：取15x，3y，满足4xy，但111xy，所以“111xy”不是“4xy”的必要条件，故选项 D 错误.故选：C.7.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906 年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为 2 的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第(1,2,3,)n n 个图中的图形的周长为na，则5a（）A.2569B.25627C.51227D.51281【答案】C【解析】【分析】根据题图规律确定第 n

20、 个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第 5 个图的周长.【详解】由图知：第一个图有 3 条边，各边长为 2，故周长13 2a ；第二个图有 12 条边，各边长为23，故周长22123a；第三个图有 48 条边，各边长为29，故周长32489a；所以边的条数是首项为 3，公比为 4 的等比数列，则第 n 个图的边有13 4n条，边长是首项为 2，公比为13的等比数列，则第 n 个图的边长为112()3n，故44515123 42()327a .故选：C8.设函数()f x的定义域为0,3)，满足1(1)2()4f xf x，且当0,1)x时，()(1)f xxx.则不等式5()8f x

21、 的解集是（）公众号：高中试卷君A.5 7,2,3)4 4B.4 5,2,3)3 3C.5 7,(2,3)4 4D.4 5,(2,3)3 3【答案】A【解析】【分析】分0,1)x，1,2)x和2,3)x进行分类讨论，即可求解【详解】当0,1)x，5()(1)8f xxx，解得x无实数解；当1,2)x，10,1)x，则由1(1)2()4f xf x可得11()2(1)2(1)(2)44f xf xxx，令152(1)(2)48xx，整理得21648350 xx，解得解得5744x，当2,3)x，1 1,2)x，则由1(1)2()4f xf x可得2111357()2(1)2 2(2)(3)4(2

22、)(3)4444424f xf xxxxxx，因为2,3)x，所以3 7(),4 4f x，所以5()8f x 恒成立，综上所述，不等式5()8f x 的解集是5 7,2,3)4 4故选：A二二 多选题：本大题共多选题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列命题正确的是A.2,2(1)0a bR abB.aRxR ，使得2axC.0ab 是220ab的充要条件D.1a

23、b ，则11abab【答案】AD【解析】【分析】对 A当2,1ab 时，可判断真假，对 B.当0a 时，0=02x，可判断真假，对 C.当0,0ab时，可判断真假，对 D 可用作差法判断真假.【详解】A当2,1ab 时，不等式成立，所以 A 正确.B.当0a 时，0=02x，不等式不成立，所以 B 不正确.C.当0,0ab时，220ab成立，此时=0ab，推不出0ab.所以 C 不正确.D.由(1)(1)11(1)(1)(1)(1)ababbaabababab，因为1ab ，则11abab,所以 D 正确.故选：AD.本题考查命题真假的判断，充要条件的判断，作差法比较大小，属于中档题.10.已

24、知等差数列 na的前 n 项和为nS，满足12321aaa，525S，下列说法正确的是（）A.23nanB.210nSnn C.nS的最大值为5SD.11nna a的前 10 项和为1099【答案】BCD【解析】公众号：高中试卷君【分析】先根据题干条件算出等差数列 na的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.【详解】根据等差中项，1232213aaaa，解得27a，512345315243255Saaaaaaaaaaa，解得35a，设等差数列 na的公差为d，则322daa，于是等差数列的通项公式为：2(2)11 2naandn，故 A 选项错误；根据等差数列前 n 项和公式，21()(9 11

25、 2)1022nnn aannSnn，B 选项正确；根据 B 选项可知，2210(5)2525nSnnn ，最大值在5n 取得，故 C 选项正确；1111111(11 2)(92)(211)(29)2 21129nna annnnnn，故11nna a的前 10 项和为：11111111111029775911291199 ，D 选项正确.故选：BCD11.已知函数 f x的定义域为R，且 00f若21yfx为奇函数，4yf x为偶函数，则（）A.40fB.80fC.132ffD.17ff【答案】BD【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到2220f xfx，44f xfx，取2x，4x，1x，3

26、x 代入计算得到答案.【详解】21yfx为奇函数，故2121f xfx ，即2220f xfx，4yf x为偶函数，即44f xfx.取2x 得到222220ff，故 42f，A 错误；取4x 得到 444400fff，B 正确；取1x 得到1 21 220ff，即 312ff，C 错误；取3x 得到3434ff，即 17ff，D 正确.故选：BD12.对于三次函数 320axbxd af xcx，给出定义：fx是函数 yf x的导数，fx是函数 fx的导数，若方程 0fx有实数解0 x，则称00,xf x为函数 yf x的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次

27、函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数 322491236f xxxx，则下列说法正确的是（）A.f x的极大值为1376B.f x有且仅有 2 个零点C.点1,22是 f x的对称中心D.123202340462024202420242024ffff【答案】ACD【解析】【分析】求得 2(3)(2)fxxx，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定 A 正确；根据极大值为20f，极小值 30f，进而得到函数 f x有 3 个零点，可判定 B 错误；求得 42fxx，令 0fx，求得12x，得出1()22f，可判定 C 正确；根据对称性，得到(1)4f xfx，结合倒序相加法，可判定

28、D 正确.【详解】由函数 322491236f xxxx，可得 222122(3)(2)fxxxxx，令()0fx，解得，函数单调递增，故当1ex 时，函数取得极小值11eef，没有极大值.【小问 2 详解】证明：2eexxf x 等价于2ln0eexxxx，由（1）可得 1lnef xxx(当且仅当1ex 时等号成立)，所以21lneeeexxxxxx，故只要证明10eexx即可，(需验证等号不同时成立)设 1eexxg x，0 x 则 1exxgx，当01x时，0gx，函数单调递减，当1x 时，0gx，函数单调递增，所以 10g xg，当且仅当1x 时等号成立，因为等号不同时成立，所以当0

29、 x 时，2eexxf x.21.已知数列 na的前n项和为nS，满足22nnSna（1）证明：数列2na 是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）若2log2nnba，设nT是数列2nnba的前n项和，求证：32nT.【答案】（1）证明见解析，122nna；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用na与nS关系可推导得到1222nnaa，由此可证得数列2na 为等比数列，结合等比数列通项公式求得2na 后可推导得到na；（2）由（1）可得2nnba，采用错位相减法可求得13322nnnT，由1302nn可得结论.【小问 1 详解】由22nnSna得：22nnSan；当1n 时，112

30、2Sa，解得：12a；当2n且*nN时，11221nnSan，1122221nnnnnaSSaann，即122nnaa，1222nnaa，数列2na 是以124a 为首项，2为公比的等比数列；1124 22nnna，122nna.【小问 2 详解】由（1）得：12log 21nnbn，1122nnnbna，2341234122222nnnnnT，3451212341222222nnnnnT，两式作差得：3123412111111111112212222222212nnnnnnnT122211111222nnn212111133224242nnnnn，13322nnnT，又1302nn，32nT

31、.22.已知21()(1)2xf xeaxb x.其中常数2.71828e.（1）当2,4ab时，求()f x在1,2上的最大值；（2）若对任意0,()af x均有两个极值点1212,x xxx，（）求实数 b 的取值范围；（）当ae时，证明：12f xf xe.【答案】（1）max()1f xe；（2）（）1b；（）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题得2()4(1)xf xexx，()24xfxex，()2xfxe，由1,2x，可得()0fx，即()fx在1,2上单增，且2(2)80fe，即()0fx，可知()f x在1,2上单减，求得max()(1)1f xfe.（2）（）利用两次求导

32、可得(,ln)xa 时，()fx单减；(ln,)xa时，()fx单增，再由()f x有两个极值点，知(ln)ln0faaaab，即lnbaaa恒成立，构造函数()lng aaaa，利用导数求其最大值，可得实数 b 的取值范围；（）设()()(2),(1)h xfxfxx，求导可得()h x在(,1)单增，得到()(2)fxfx，可得112fxfx，122fxfx，结合()fx在(1,)上单增，可得122f xfx，得到 2222122222222xxf xf xfxf xeeexexe，构造22()22xxM xeeexexe，(1)x，再利用导数证明2(1)M xMe，即可得到 12f xf

33、 xe【详解】（1）由2,4ab得，2()4(1)xf xexx，求导()24xfxex，()2xfxe，1,2x，2,xee e，20 xe，即()0fx()fx在1,2上单增，且2(2)80fe，即1,2x，()0fx，()f x在1,2上单减，max()(1)1f xfe.（2）（）求导()xfxeaxb，因为对任意0,()af x均有两个极值点12,x x，所以()0fx有两个根，求二阶导()xfxea，令()0fx，得lnxa当(,ln)xa 时，()0fx，()fx单减；当(ln,)xa时，()0fx，()fx单增，由()0fx有两个根12,x x，知(ln)ln0faaaab，即

34、lnbaaa对任意0a 都成立，设()lng aaaa，求导()lng aa，令()0g a，得1a，当(0,1)x时，()0g a，()g a单增；当(1,)x时，()0g a，()g a单减，max()1)1gg a，1b 又0,()babfexfxa Q，所以实数 b 的取值范围是：1b.（）当ae时，()xfxeexb，()xfxee，令()0fx，得1x 当(,1)x 时，()0fx，()fx单减；当(1,)x时，()0fx，()fx单增，又12,x x是()0fx的两根，且12xx，121,1xx，121x 设()()(2),(1)h xfxfxx，即22(2)2()2,(1)xx

35、xxeexbeexbeeexe xh x，则2()2220 xxh xeeeee()h x在(,1)单增，()(1)0h xh，即()(2)fxfx又11,x，112fxfx，122fxfx又()fx在(1,)上单增，122xx，即1222xxx，又()f x在12,x x上单减，122f xfx2222122222222xxf xf xfxf xeeexexe令22()22xxM xeeexexe，(1)x 则2()22xxM xeeexe，2()20 xxMxeee()M x在(1,)单增，且(1)0M，()0M x，故()M x在(1,)单增又21x，2(1)M xMe，即 12f xf xe【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明 f xg x，(,)xa b，可以构造函数 F xf xg x，如果 0Fx，则 F x在(,)a b上是减函数，同时若 0F a，由减函数的定义可知(,)xa b时，有 0F x，即证明了 f xg x，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.公众号：高中试卷君