天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司天津市耀华中学天津市耀华中学 2024 届高三年级第一次月考数学学科试卷届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.第第卷（选择题卷（选择题 共共 45 分）一、选择题：本大题共分）一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确

2、答案填涂在答题卡上.1 已知集合220Ax xx，lg1Bxx，AB（）A.2,10B.0,1C.2,1D.,102.设xR，则“11|22x”是“31x”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数 3ln xf xx的部分图象是A.B.C.D.4.5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近 5 个月手机的实际销量，如下表所示：.第 2 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司时间x12345销售量y（千只）0.50.81.01.21.5若x与y线性相关，且线性回归方程为0.24yxa，则下列说法不正确的

3、是（）A.由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数1r B.线性回归方程0.24yxa中0.26a C.当解释变量x每增加 1 个单位时，预报变量y平均增加 0.24 个单位D.可以预测6x 时，该商场 5G 手机销量约为 1.72（千只）5.已知0.20.212log0.5,0.5,log 0.4abc，则 a，b，c 的大小关系为（）A.abcB.acbC.bcaD.cab6.已知4log16 2aa，则2logaa（）A 11 或238B.11 或218C.12 或238D.10 或2187.“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有 10

4、个纸箱，其中 5 箱英语书、2 箱数学书、3 箱语文书到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱现从剩下 9 箱中任意打开 2 箱都是英语书的概率为（）A.29B.18C.112D.588.将函数 2sin 23f xx的图像上所有点横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图像，有下述四个结论：2sin6g xx函数 g x在0,2上单调递增点4,03是函数 g x图像的一个对称中心当,2x 时，函数 g x的最大值为 2其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.第 3 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司9.已知函数 22121,1,11,1,1axaxxf xaxaxx

5、 x 有且只有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（）A.0,1B.,80,1 C.0,1D.,80,1 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 105 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，请将答案填写在答题卡上分，请将答案填写在答题卡上.10.复数21 i1 iz（i为虚数单位），则z _.11.在62()2xx的二项展开式中，2x的系数为_12.若2sinsin5，32，则sin_；cos2_.13.某专业资格考试包含甲乙丙 3 个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙丙科目合格的概率均为23，且 3 个科目是否合格相

6、互独立.设小张 3 科中合格的科目数为 X，则(2)P X=_；()E X _.14.已知0a，0b，则3a abab的最大值为_.15.设R，函数 22sin,0,6314,0,22xxf xxxx g xx.若 f x在1,3 2上单调递增，且函数 f x与 g x图象有三个交点，则的取值范围是_.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16.已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足232 c

7、oscabA.（1）求角B；（2）若1cos4A，求sin(2)AB的值；（3）若7c，sin3bA，求b的值.的第 4 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司17.已知底面ABCD是正方形，PA 平面ABCD，/PA DQ，33PAADDQ，点E、F分别为线段PB、CQ的中点（1）求证：/EF平面PADQ；（2）求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；（3）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是427，若存在求出PMMC的值，若不存在，说明理由18.已知 na为等差数列，6,2,nnnanba n为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列 na，nb的前 n 项和，432

8、S，316T（1）求 na通项公式；（2）证明：当5n 时，nnTS19.如图，已知椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，过左焦点3,0F 且斜率为k的直线交椭圆E于,A B两点，线段AB的中点为M，直线l：40 xky交椭圆E于,C D两点.（1）求椭圆E的方程；（2）求证：点M在直线l上；的第 5 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司（3）是否存在实数k，使得3BDMACMSS？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.20 已知函数 1211222xf xxexx，24 cosln1g xaxxaxx，其中aR（1）讨论函数 f x的单调性，并求不等式 0f x 的解集；

9、（2）用max,m n表示 m，n 的最大值，记 max,F xfxg x，讨论函数 F x的零点个数.第 1 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司天津市耀华中学天津市耀华中学 2024 届高三年级第一次月考届高三年级第一次月考数学学科试卷数学学科试卷本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.第第卷（选择题卷（选择题 共共 45 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合

10、题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1.已知集合220Ax xx，lg1Bxx，AB（）A.2,10B.0,1C.2,1D.,10【答案】B【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为2202,1Ax xx，lg10,10Bxx，所以AB 0,1，故选：B2.设xR，则“11|22x”是“31x”的A.充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式

11、即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x111222x01x，由31x 1x.第 2 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司据此可知1122x是31x 的充分而不必要条件.本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.函数 3ln xf xx的部分图象是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除 B，当1x 时，3ln0 xf xx，排除 CD，得到答案.【详解】33lnln,xxf xfxf xxx，f x为奇函数，排除 B当1x 时，3ln0 xf xx恒成立，排除 CD故答案选

12、 A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.4.5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近 5 个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345第 3 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司销售量y（千只）0.50.81.01.21.5若x与y线性相关，且线性回归方程为0.24yxa，则下列说法不正确的是（）A.由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数1r B.线性回归方程0.24yxa中0.26a C.当解释变量x每增加 1 个单位时，预报变量y平均增加 0.24 个单位D.可以预测6x 时，该商场 5

13、G 手机销量约为 1.72（千只）【答案】ACD【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断 A 选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断 B 选项；根据回归方程判断 CD 选项.【详解】从数据看y随x的增加而增加，故变量y与x正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r，故 A 正确；由已知数据得11234535x ，10.50.8 1.0 1.2 1.515y，代入0.24yxa中得到1 3 0.240.28a ，故 B 错；根据线性回归方程0.240.28yx可得x每增加一个单位时，预报变量 y平均增加 0.24 个单位，故 C 正确.将6x 代入0.

14、240.28yx中得到0.24 60.281.72y ，故 D 正确.故选：ACD.5.已知0.20.212log0.5,0.5,log 0.4abc，则 a，b，c 的大小关系为（）A.abcB.acbC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.20.20.21log0.5log0.25log0.22a，而150.2110.522b，且0.20.51，所以ab.第 4 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司又12225log 0.4loglog 212c，所以abc，故选：A.6.已知4log16 2aa，则2logaa（）A.11

15、或238B.11 或218C.12 或238D.10 或218【答案】A【解析】【分析】对4log16 2aa两边同时取对数，可解得43log2a 或32，讨论43log2a 或32时2logaa的值，即可得出答案.【详解】由4log16 2aa，两边取对数得4log44loglog16 2aa492429loglog24a，所以43log2a 或32.当43log2a 时，33242a 8，所以22log8log 811aa；当43log2a 时，32148a，所以221123loglog888aa，综上，a2log11a 或238，故选：A.7.“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡

16、村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有 10 个纸箱，其中 5 箱英语书、2 箱数学书、3 箱语文书到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱现从剩下 9 箱中任意打开 2 箱都是英语书的概率为（）A.29B.18C.112D.58【答案】A【解析】【分析】剩下 9 箱中任意打开 2 箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件 A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件kB表示丢失的一箱为,1,2,3k k 分别表示英第 5 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司语书、数学书、语文书由全概率公式得 222355422221999

17、9CCC11382|2C5C10CC9kkkP AP B P A B故选：A8.将函数 2sin 23f xx的图像上所有点横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图像，有下述四个结论：2sin6g xx函数 g x在0,2上单调递增点4,03是函数 g x图像的一个对称中心当,2x 时，函数 g x的最大值为 2其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图象变换可得 2sin3g xx，结合正弦函数的性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：2sin3g xx，故错误；因为0,2x，则,33 6x，且sinyx在,3 6上单调递增，所以函数 g x

18、在0,2上单调递增，故正确；因为442sin2sin0333g，所以点4,03是函数 g x图像的一个对称中心，故正确；第 6 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司因为,2x，则4,336x，所以当433x，即x 时，函数 g x的最大值为42sin33g，故错误；故选：B.9.已知函数 22121,1,11,1,1axaxxf xaxaxx x 有且只有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（）A.0,1B.,80,1 C.0,1D.,80,1【答案】B【解析】【分析】先求1a 时函数 f x的零点，再考虑1a 时，函数 f x在,11,的零点，由此确定函数 f x在1,1上的零点个数

19、，结合二次函数性质求 a 的取值范围.【详解】当1a 时，31,1,1,1,0,1xxf xxx xx ，所以区间,1 内的任意实数和13都为函数 f x的零点，不满足要求；当1a 时，若,1x ，则 21f xaxaxx，令 0f x，可得0 x(舍去)，或=1x，所以=1x为函数 f x的一个零点；若1,x，则 21f xaxaxx，令 0f x，则210axaxx，所以11axa，若111aa，即01a，则函数 f x在1,上有一个零点；第 7 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司若1a 或a0时，则函数 f x在1,上没有零点；当01a时，函数 f x在,11,上有两个零点；当1

20、a 或a0时，函数 f x在,11,上有一个零点，因为当01a时，函数 f x在,11,上有两个零点；又函数 f x在R上有 3 个零点，所以函数 f x在1,1上有且只有一个零点，即方程21210axax 在1,1上有一个根，由22418aaa a，当0a 时，方程21210axax 的根为1x(舍去)，故0a 时，方程21210axax 在1,1上没有根，矛盾当01a时，0，设 2121,1,1g xaxaxx，函数 2121g xaxax的对称轴为2122axa，函数 g x的图象为开口向下的抛物线，由方程21210axax 在1,1上有一个根可得 10,10gg，所以 1210,121

21、0aaaa ，所以01a，当1a 时，则函数 f x在,11,上有一个零点；又函数 f x在R上有 3 个零点，所以函数 f x在1,1上有且只有两个零点，即方程21210axax 在1,1上有两个根，由 2121,1,1g xaxaxx 可得函数 g x的图象为开口向上的抛物线，函数 2121g xaxax的对称轴为222axa，第 8 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司则224180aaa a，21122aa，10,10gg，所以4a，1210,1210aaaa ，满足条件的a不存在，当a0时，则函数 f x在,11,上有一个零点；又函数 f x在R上有 3 个零点，所以函数 f

22、x在1,1上有且只有两个零点，即方程21210axax 在1,1上有两个根，由 2121,1,1g xaxaxx 可得函数 g x的图象为开口向下的抛物线，函数 2121g xaxax的对称轴为222axa，则224180aaa a，21122aa，10,10gg，所以8a ，a，当1x 时，10 x，110 xe，()0fx，当1x 时，0fx，所以当xR时，0fx，即 f x在 R 上是增函数；又 10f，所以 0f x 的解集为1,（2）函数 F x的定义域为(1,)由（1）得，函数 f x在xR单调递增，10f当1x 时，0f x，又()max(),()F xf x g x，所以1x

23、时，0F x 恒成立，即1x 时，0F x 无零点.当11x 时，0f x 恒成立，所以 F x零点即为函数 g x的零点下面讨论函数 g x在11x 的零点个数：1()21 4 sin1g xaxaxx，所以21()24 cos(11)(1)gxaaxxx 当0a 时，因为11x，cos(cos1,1)x 又函数cosyx在区间0,2递减，所以1cos1cos32即当11x 时，1 2cos0 x，21()2(1 2cos)0(1)gxaxx所以 gx单调递减，由 00g得：当10 x 时 0gx，g x递增的第 21 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司当01x时 0gx，g x递减

24、当1x 时ln(1)x，()g x，当0 x 时(0)40ga又(1)14 cos1 ln2gaa，10f当1 ln2(1)014cos1ga时，函数 F x有 1 个零点；当1 ln2(1)014cos1ga时，函数 F x有 2 个零点；当1 ln2(1)0014cos1ga时，函数 F x有 3 个零点；当0a 时，()ln(1)g xxx，由得：当10 x 时，0gx，g x递增，当01x时，0gx，g x递减，所以max()(0)0g xg，(1)ln2 10g，所以当0a 时函数 F x有 2 个零点当a0时，2()4cosln(1)g xa xxxx24cos0a xx，ln(1)0 xx，即 0g x 成立，由 10f，所以当a0时函数 F x有 1 个零点综上所述：当1 ln214cos1a或a0时，函数 F x有 1 个零点；当1 ln214cos1a或0a 时，函数 F x有 2 个零点；当1 ln2014cos1a时，函数 F x有 3 个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.