四川省成都市列五中学2023-2024学年高三上学期10月月考理数试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度（上）阶段性考试（一）高学年度（上）阶段性考试（一）高 2021 级数学（理科）级数学（理科）一、选择题（每个小题都有一、选择题（每个小题都有 4 个选项，其中只有个选项，其中只有 1 个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上.每小题每小题 5 分，共分，共 60 分分.）1.某同学计划 2023 年高考结束后，在 A，B，C，D，E 五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（）A.15B.25C.35D.452.设集合U R，集合1Mx x，12

2、Nxx，则2x x（）A.UMNB.UNMC.UMND.UMN3.已知复数izxy（x，Ry）对应的点在第一象限，z 的实部和虚部分别是双曲线 C 的实轴长和虚轴长，若4z，则双曲线 C 的焦距为（）A.8B.4C.2 2D.24.5(1)(2)xx展开式中3x的系数为（）A.80B.40C.40D.805.函数(31)cos()31xxxf x图像大致为（）A.B.C.D.6.将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A.152B.180C.216D.3127.设5501521xaa xa x，则125aaa（）的四川省成都市列五中学2023-2024学年高三上学期10

3、月月考理数试题第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.531B.53C.52D.5218.执行如图所示的程序框图，若输入的,x yR，则（）A.输出的 S 的最小值为2，最大值为 5B.输出的 S 的最小值为2，最大值为 4C.输出的 S 的最小值为 0，最大值为 5D.输出的 S 的最小值为 0，最大值为 49.某四面体的三视图如图所示（3 个三角形都是直角边为 1 的等腰直角三角形），该四面体的外接球的表面积为（）A 3B.4C.6D.1210.2021 年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了 6 名工作人员到 A、B、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村

4、至少去 1 人，不同的安排方式共有（）种A.540B.480C.360D.24011.设 f x是定义在R上的偶函数，且当0 x 时，2xf x，若对任意的,1xm m，不等式 2fxfxm恒成立，则正数m的取值范围为（）A.m1B.1mC.01mD.01m12.如图，一个棱长 1 分米的正方体形封闭容器中盛有 V 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司角形，则 V 的取值范围是（）A.1 5,6 6B.1 2,3 3C.1 2,2 3D.1 1,6 2二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题二、填空题（请把每个小

5、题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）13.已知随机变量23,2N，若23，则 D_.14 已知向量(1,2)a ，(,1)bmr若向量ab与a垂直，则m _15.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，过2F作一条直线与双曲线右支交于,A B两点，坐标原点为O，若221|,|5OAabBFa，则该双曲线的离心率为_.16.若函数 22ln1f xxa x在1,10aa上单减，则实数a的取值范围为_三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17.为了

6、有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校 100 名学生进行问卷调查，得到如下列联表经常锻炼不经常锻炼总计男35女25总计100已知从这 100 名学生中任选 1 人，经常锻炼的学生被选中的概率为12附：2(),()()()()n adbcknabcdab cd ac bd.20()P Kk0.10.050.010.001.第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司0k2.7063.8416 63510.828（1）完成上面的列联表；（2）根据列联表中的数据，判断能否有 90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关18.为了不断

7、提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了 300 名教职工的学习时间（满时长 15 小时），将其分成3,5),5,7),7,9),9,11),11,13),13,15六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）参考数据：若随机变量服从正态分布2,N，则()0.6827P，(22)0.9545P，(33)0.9973P（1）求 a 的值；（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布2,N，其中近似为样本的平均数，经计算知2.39若该地区有 500

8、0 名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62内的人数；（3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在7,9),9,11)内的教职工中随机抽取 5 人，并从中随机抽取 3 人作进一步分析，分别求这 3 人中学习时间在7,9)内的教职工平均人数（四舍五入取整数）19.如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形，且1AC，3BC.第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司 （1）若F为BC的中点，求证：/DF平面ACE；（2）若CE与平面OAED所成角为30，求二面角ADEC的余弦值20.已知拋物线的顶

9、点在原点，对称轴为 x轴，且经过点(1,2)P.（1）求抛物线方程;（2）若直线 l与抛物线交于,A B两点，且满足4OA OB ，求证:直线l恒过定点，并求出定点坐标.21.已知函数 21ln402f xxa xx a.（1）当3a 时，试讨论函数 f x的单调性；（2）设函数 f x有两个极值点1212,x xxx，证明：12ln10f xf xa.22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C参数方程为112312xy（为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)M，直线l的参数方程为2xtyt(t为参数，Rt)，且直线l与曲线C交于 A、B两点，求11|MAMB的值的第 1 页

10、/共 19 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度（上）阶段性考试（一）学年度（上）阶段性考试（一）高高 2021 级数学（理科）级数学（理科）一、选择题（每个小题都有一、选择题（每个小题都有 4 个选项，其中只有个选项，其中只有 1 个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上.每小题每小题 5 分，共分，共 60 分分.）1.某同学计划 2023 年高考结束后，在 A，B，C，D，E 五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】【分析】基本事件总数为25C

11、10n，A 大学恰好被选中的基本事件为：1114C C4m，根据古典概型概率公式即可求解.【详解】依题意，在 A，B，C，D，E 五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：25C10n，A 大学恰好被选中的基本事件为：1114C C4m，所以A 大学恰好被选中的概率为：25mPn.故选：B.2.设集合U R，集合1Mx x，12Nxx，则2x x（）A.UMNB.UNMC.UMND.UMN【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为|2x x 即可.【详解】由题意可得|2MNx x，则|2UMNx x，选项 A 正确；|1UMx x，则|1UNMx x，选项 B 错误；|

12、11MNxx，则|1UMNx x 或1x，选项 C 错误；第 2 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司|1UNx x 或2x，则UMN|1x x 或2x，选项 D 错误；故选：A.3.已知复数izxy（x，Ry）对应的点在第一象限，z 的实部和虚部分别是双曲线 C 的实轴长和虚轴长，若4z，则双曲线 C 的焦距为（）A.8B.4C.2 2D.2【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线 C 的焦距.【详解】复数izxy（x，Ry）对应的点在第一象限，则0,0 xy，又 z 的实部和虚部分别是双曲线 C 的实轴长和虚轴长，4z，则双曲线 C 的焦距为222224

13、22xyxy故选：B4.5(1)(2)xx展开式中3x的系数为（）A.80B.40C.40D.80【答案】C【解析】【分析】应用二项式展开式分类计算即可.【详解】因为5553232325550121C2C2C2kkkkxxxxxxx，所以含有3x的项为32323233355C2C2804040 xxxxxx，故选：C.5.函数(31)cos()31xxxf x的图像大致为（）A.B.第 3 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性判断 CD；根据特殊点判断 AB.【详解】函数()f x的定义域为R，(31)cos(1 3)cos()()311 3x

14、xxxxxfxf x，即函数()f x为奇函数，故 CD 错误；由(31)cos31()03131f 可知，C 错误，A 正确；故选：A6.将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A.152B.180C.216D.312【答案】D【解析】【分析】由题意，分末尾是2或4，末尾是0，即可得出结果.【详解】由题意，末尾是2或4，不同偶数个数为114244C C A192，末尾是0，不同偶数个数为55A120，所以共有312个.故选：D7.设5501521xaa xa x，则125aaa（）A.531B.53C.52D.521【答案】A【解析】【分析】令0 x 求出0a，再令1

15、x 求出015aaa，即可得解.第 4 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【详解】因为5501521xaa xa x，令0 x，可得5011a，令1x，可得5501532 1aaa，所以512531aaa.故选：A8.执行如图所示的程序框图，若输入的,x yR，则（）A.输出的 S 的最小值为2，最大值为 5B.输出的 S 的最小值为2，最大值为 4C.输出的 S 的最小值为 0，最大值为 5D.输出的 S 的最小值为 0，最大值为 4【答案】A【解析】【分析】作出可行域，利用线性规划与程序框图判定即可.【详解】作出不等式组001xyxyy表示的可行域，由图可知，当直线3zxy过点1,

16、1时，z取得最大值 4，当直线3zxy过点(1,1)时，z取得最小值2第 5 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司因为45，f x在0,为增函数，当0a 时，由 0fx得(0,2ax，故 f x单调减区间为(0,2a，因为 f x在1,10aa上单减，所以10102aaa，解得11,10 4a.故答案为：11,10 4三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校 100 名学生进行问卷调查，得到如下列联表经常锻炼不

17、经常锻炼总计男35女25总计100已知从这 100 名学生中任选 1 人，经常锻炼的学生被选中的概率为12的第 10 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司附：2(),()()()()n adbcknabcdab cd ac bd.20()P Kk0.10.050.010.0010k2.7063.8416.63510.828（1）完成上面的列联表；（2）根据列联表中的数据，判断能否有 90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【答案】（1）列联表见解析 （2）有 90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【解析】【分析】（1）根据概率计算这 100 名学生中经常锻炼的学生数

18、，进而填写列联表；（2）根据独立性检验求解即可.小问 1 详解】解：设这 100 名学生中经常锻炼的学生有 x 人，则11002x，解得50 x 列联表完成如下经常锻炼不经常锻炼总计男352560女152540总计5050100【小问 2 详解】由（1）可知，210035 25 15 254.16760 40 50 50k，因为4.1672.706，所以有 90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关18.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了 300 名教职工的学习时间（满时

19、长 15 小时），将其分成3,5),5,7),7,9),9,11),11,13),13,15六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【第 11 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司参考数据：若随机变量服从正态分布2,N，则()0.6827P，(22)0.9545P，(33)0.9973P（1）求 a 的值；（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布2,N，其中近似为样本的平均数，经计算知2.39若该地区有 5000 名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62内的人数；（3）现采用分层抽样方法从样本中学习时间在7,

20、9),9,11)内的教职工中随机抽取 5 人，并从中随机抽取 3 人作进一步分析，分别求这 3 人中学习时间在7,9)内的教职工平均人数（四舍五入取整数）【答案】（1）0.12a （2）4093 （3）1【解析】【分析】（1）由频率之和等于 1，得出a；（2）计算平均数得出9.84，再由正态分布的概率估计即可；（3）由分层抽样得出X的所有可能取值，再由超几何分布求解.【小问 1 详解】解：由题意得2(0.020.030.180.100.05)1a，解得0.12a【小问 2 详解】由题意知样本的平均数为40.02260.03280.122100.182120.102140.0529.84，所以9

21、.84又2.39，所以1(7.4514.62)(2)2PPP的第 12 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司11220.68270.95450.818622P则50000.81864093，所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62内的人数约为 4093【小问 3 详解】7,9),9,11)对应的频率比为0.24:0.36，即为2:3，所以抽取的 5 人中学习时间在7,9),9,11)内的人数分别为 2，3，设从这 5 人中抽取的 3 人学习时间在7,9)内的人数为X，则X的所有可能取值为 0，1，2，3122132323333555CC CC C133(0),(1),(2)

22、C10C5C10P XP XP X，所以1336()012105105E X 则这 3 人中学习时间在7,9)内的教职工平均人数约为 119.如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形，且1AC，3BC （1）若F为BC的中点，求证：/DF平面ACE；（2）若CE与平面OAED所成角为30，求二面角ADEC的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）2 2211【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行和面面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问 1 详解】

23、第 13 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司连接DFOF、，在ABC中，OF、分别为ABBC、的中点，所以/OF AC，因为AC平面,ACE OF 平面ACE，所以/OF平面ACE，在矩形OAED中，/OD AE，同理可得/OD平面ACE，又OFODO，,OF OD 平面ODF，所以平面/ODF平面ACE，因为DF 平面ODF，所以/DF平面ACE；【小问 2 详解】过点C做C MAB交AB于点M，连接ME由题可知OD 平面ABC，且/OD AE，所以AE平面ABC则AECM，又ABAEA，ABAE，平面OAED，所以CM 平面OAED，CE在平面OAED内射影为ME，则CEM即为CE

24、与平面OAED所成的角，所以30CEM在ABC中，由1122AB CMAC BC可知32CM 则3CE，2AE，以C为坐标原点，ACBC、所在直线为xy、轴，过点C垂直于平面ABC为z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,0C，1,0,0A，13,222D，1,0,2E，0,0,2AE ，13,022ED，1,0,2CE ，第 14 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司 设平面ADE的法向量为1111,nx y z，则1100AE nED n ，即111013022zxy，令11y，则13x，所以13,1,0n，设平面CDE的法向量为2222,nxyz，则2200CE nED n ，即222

25、22013022xzxy，令21y，则23x，262z，所以263,1,2n，所以1212123 12 22cos,111122n nn nn n ，因为二面角ADEC为锐二面角，所以二面角ADEC的余弦值为2 2211.20.已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 x轴，且经过点(1,2)P.（1）求抛物线方程;（2）若直线 l与抛物线交于,A B两点，且满足4OA OB ，求证:直线l恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）24yx （2）定点2,0，证明见解析【解析】第 15 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出结果;（2）由题意直线方程可设为x

26、myn，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.公众号：高中试卷君【小问 1 详解】由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为 22ypx，因为经过点(1,2)P，所以 42p，解得2p 所以，抛物线的标准方程为:24yx.【小问 2 详解】如图，设直线 l的方程为:xmyn，联立方程 24xmynyx消 y有：2440ymyn由于交于,A B两点，设1122,A x yB xy，则 0，即216160mn，121244yymy yn，第 16 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司由 1122OAxyOBxy ，.则 2222121212444y yOA OBx xy

27、 yy ynn .解得:2n，验证满足条件.所以直线 l的方程为2xmy，即证直线l恒过定点(2,0).21.已知函数 21ln402f xxa xx a.（1）当3a 时，试讨论函数 f x的单调性；（2）设函数 f x有两个极值点1212,x xxx，证明：12ln10f xf xa.【答案】（1）f x在区间0,1，3,上单调递增，f x在区间1,3单调递减 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的符号讨论即可；（2）由函数 f x有两个极值点可得 0fx在0,上有两个根，从而求得a的取值范围，再结合韦达定理可知12ln8f xf xaaa，则原不等式转化为证明1ln20

28、aaa，利用导数研究单调性进而证明即可.【小问 1 详解】公众号：高中试卷君当3a 时，213ln42f xxxx定义域为0,x，2133434xxxxfxxxxx，令 0fx解得1x 或3，且当01x或3x 时，()0fx，当13x时，0fx，所以当01x或3x 时，f x单调递增，当13x时，f x单调递减，综上 f x在区间0,1，3,上单调递增，f x在区间1,3单调递减.【小问 2 详解】由已知 21ln42f xxa xx，可得 244axxafxxxx，第 17 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司函数 f x有两个极值点1212,x xxx，即240 xxa在0,上有两个

29、不等实根，令 24h xxxa，只需 00240haha，故04a，又124xx，12x xa，所以221211122211ln4ln422f xf xxa xxxa xx2212121214lnlnln82xxaxxxxa aa，要证 12ln10f xf xa，即证ln8ln10a aaa，只需证1ln20aaa，令 1ln2m aaaa，0,4a，则 11ln1lnam aaaaa ，令 n am a，则 2110n aaa 恒成立，所以 m a在0,4a上单调递减，又 110m，12ln202m，由零点存在性定理得，01,2a使得00m a，即001lnaa，所以00,aa时，0m a

30、，m a单调递增，0,4aa时，0m a，m a单调递减，则 0000000max00111ln2123m am aaaaaaaaa，又由对勾函数知0013yaa在01,2a 上单调递增，所以00111323022aa 所以 0m a，即 12ln10f xf xa得证.第 18 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值

31、（极值），解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个：其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明.22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为112312xy（为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)M，直线l的参数方程为(t为参数，Rt)，且直线l与曲线C交于 A、B两点，求11|MAMB的值【答案】（1）2213yx （2）2 23【解析】【分析】（1）根据参数方程消参即可得出直角坐标方程；（2）转化直线的参数方程与曲线C方程联立，结合韦达定理计算即可.【小问 1 详解】曲线C的参数方程为112312xy(为参数），则22222211243124xy，即2222221424123xy，第 19 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司两式相减，可得曲线C的直角坐标方程：2213yx【小问 2 详解】直线l与曲线C交于 A、B两点，设 A，B两点对应的参数为1t，2t，直线l的方程可转化为22222xtyt，代入2213yx，得26 290tt，则12126 29ttt t，则120tt、，所以12121 211112 23ttMAMBttt t