数学一轮复习第七章立体几何与空间向量7.3直线平面垂直的判定与性质课件.pptx

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1、7.3直线、平面垂直的判定 与性质基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.直线与平面垂直(1)定义如果直线a与平面内的 直线都垂直，则直线a与平面互相垂直，记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面.垂线和平面的交点即为垂足.知识梳理任意一条(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线_lab_a，babOlalbab相交平行2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线

2、和 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角.它在平面上的射影直角03.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是 ，那么就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相

3、垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理垂线交线1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定

4、理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若，a，则a.()(4)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.()基础自测题组二教材改编2.(多选)下列命题中正确的有A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析对于D，若平面平面，则平面内

5、的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的.3.在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；外解析如图1，连结OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心.(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.垂解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB

6、平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心.题组三易错自纠4.若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，则m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选A.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是A.与AC，MN均垂直B.与AC垂直，与MN不垂直C

7、.与AC不垂直，与MN垂直D.与AC，MN均不垂直解析因为DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因为ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OMAC.设正方体的棱长为2，所以OM2MN2ON2，所以OMMN.故选A.6.(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是A.MN平面ABCB.平面VAC平面VBCC.MN与BC所成的角为45D.OC平面VAC解析易知MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，又由题意得BCAC，因为VA平面A

8、BC，BC平面ABC，所以VABC.因为ACVAA，所以BC平面VAC.因为BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC.故选AB.典题深度剖析重点多维探究题型突破直线与平面垂直的判定与性质例1(2019全国)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；题型一师生共研证明由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积.解由(1)知BEB190.由题设知

9、RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.思维升华SI WEI SHENG HUA证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理.垂直于平面的传递性.面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.跟踪训练1(2019贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；证明在平面ABD内，因为ABAD，EFA

10、D，则ABEF.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)ADAC.证明因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.例2(2019栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，ABC60，FA平面ABCD，EDFA，且ABFA2ED2.(1)求证：平面FAC平面EFC；平面与平面垂直的判定与性质题型二师生共研证明连结BD交AC于O，设FC中点为P，连结OP，EP，O，

11、P分别为AC，FC的中点，OPED且OPED，四边形OPED为平行四边形，ODEP，即BDEP，FA平面ABCD，BD平面ABCD，FABD，四边形ABCD是菱形，BDAC，FAACA，FA，AC平面FAC，BD平面FAC，即EP平面FAC，又EP平面EFC，平面FAC平面EFC.(2)求多面体ABCDEF的体积.FA平面ABCD，FA平面ADEF，平面ADEF平面ABCD，作CGAD于点G，又平面ADEF平面ABCDAD，CG平面ADEF，(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义.面面垂直的判定定理(a，a).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线

12、面垂直，然后进一步转化为线线垂直.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练2(2018全国)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；证明由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，ADACA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ，求三棱锥QABP的体积.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.垂直关系的综合应用题型

13、三师生共研例3如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.(1)证明：PBC是直角三角形；证明AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.BCAC，PA平面ABC，BCPA，又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形.(2)若PAAB2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解如图，过A作AHPC于H，BC平面PAC，BCAH，又PCBCC，PC，BC平面PBC，AH平面PBC，ABH是直线AB与平面PBC所成的角，PA平面ABC，PCA即是PC与平面ABC所成的角，(1)

14、证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练3如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD ，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论中正确的结论个数是ACBD；BAC90；CA与平面ABD所成的角为30；四面体ABCD的体积为 .A.0 B.1 C.2 D.3平面ABD平面BCD，BDCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，取BD的中点O，连结

15、OA(图略)，ABAD，AOBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，AO平面BCD.BDCD，OC不垂直于BD.假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，故错误；CDBD，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，AB平面ABD，CDAB.ABAD，又CDADD，CD，AD平面ACD，AB平面ACD，又AC平面ACD，ABAC，故正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，故错误；故选B.课 时 精 练1.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则A.ml B.mn C.nl D.mn123

16、456789 10 11 12 13 14 15 16基础保分练解析因为l，所以l，又n，所以nl.2.(2019天津模拟)已知直线l，m与平面，l，m，则下列命题中正确的是A.若lm，则必有B.若lm，则必有C.若l，则必有D.若，则必有m123456789 10 11 12 13 14 15 16解析对于选项A，平面和平面还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面和平面还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l，l，所以.所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面不垂直，所以选项D错误.123456789 10 11 12 13 14 15 16解析如图，取正三角形ABC

17、的中心O，连结OP，则PAO是PA与平面ABC所成的角.123456789 10 11 12 13 14 15 164.如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE123456789 10 11 12 13 14 15 16解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.12345

18、6789 10 11 12 13 14 15 165.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PDCD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个123456789 10 11 12 13 14 15 16解析由题意，因为PD底面ABCD，所以PDDC，PDBC，又四边形ABCD为正方形，所以BCCD，因为PDCDD，所以BC平面PCD，BCPC，所以四面体PDBC是一个鳖臑，因为DE平面PCD，所以BCDE，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC，因为P

19、CBCC，所以DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖臑，故选C.6.(2020苏州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持APBD1，则动点P的轨迹为A.线段B1CB.线段BC1C.BB1的中点与CC1的中点连成的线段 D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段解析如图，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有BD1平面ACB1，因为APBD1，所以AP平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，故点P的轨迹为平面ACB1与平面

20、BCC1B1的交线段CB1.故选A.123456789 10 11 12 13 14 15 167.(多选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论正确的是A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.平面ACC1A1CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16解析对于A，ABCDA1B1C1D1为正方体，BDB1D1，由线面平行的判定可得BD平面CB1D1，A正确；对于B，连结AC，ABCDA1B1C1D1为正方体，BDAC，且CC1BD，由线面垂直的判定可得BD平

21、面ACC1，BDAC1，B正确；对于C，由上可知BD平面ACC1，又BDB1D1，B1D1平面ACC1，则平面ACC1A1CB1D1，C正确；对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45，D错误.故选ABC.123456789 10 11 12 13 14 15 168.(多选)如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是A.平面D1A1P平面A1APB.APD1的取值范围是C.三棱锥B1D1PC的体积为定值D.DC1D1P解析在A中，因为A1D1平面A1AP，A1D1平面D1A1P，所以平面D1A1P平面A1AP，故A

22、正确；123456789 10 11 12 13 14 15 16在C中，因为B1D1C的面积是定值，A1B平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，因为DC1D1C，DC1BC，D1CBCC，D1C，BC平面BCD1A1，所以DC1平面BCD1A1，又D1P平面BCD1A1，所以DC1D1P，故D正确.9.(2019北京)已知l，m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.123456789 10 11 12 13 14 15 16若lm，

23、l，则m(答案不唯一)解析若l，lm，则m，显然正确；若lm，m，则l，l与相交但不垂直都可以，故不正确；若l，m，则l垂直于内所有直线，在内必存在与m平行的直线，所以可推出lm，故正确.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)123456789 10 11 12 13 14 15 16DMPC(或BMPC等)解析PA底面ABCD，BDPA，连结AC，则BDAC，且PAACA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，

24、平面MBD平面PCD.11.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；123456789 10 11 12 13 14 15 16证明因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.123456789 10 11 12 13 14 15 16证明因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.由点E在棱PC上(异

25、于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC ，ADCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN PB.(1)证明：MN平面PDC；证明因为ABBC，ADCD，所以BD垂直平分线段AC.所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.123456789 10 11 12 13 14 15 16(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.解因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，又BDAC，PAAC

26、A，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故DPM即为所求的角.在RtPAD中，PD2，所以BDPA，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 1613.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF技能提升练解析根据折叠

27、前、后AHHE，AHHF不变，又HEHFH，HE，HF平面EFH，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，AG，GH平面HAG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确.故选B.123456789 10 11 12 13 14 15 1614.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点.(1)求证：FM平面BDE；123456789 10 11 12

28、13 14 15 16证明取BD的中点O，连结OM，OE，因为O，M分别为BD，BC的中点，因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB，又EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF，所以OMEF，且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.123456789 10 11 12 13 14 15 16(2)若平面ADE平面ABCD，求点F到平面BDE的距离.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16解由(1)得FM平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点

29、M到平面BDE的距离.取AD的中点H，连结EH，BH，因为EAED，四边形ABCD为菱形，且DAB60，所以EHAD，BHAD.因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，因为BH平面ABCD，所以EHBH，设点F到平面BDE的距离为h，连结EM，由V三棱锥EBDMV三棱锥MBDE，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练15.(2019河北省衡水中学模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面过点E，且与直线OC

30、1垂直，若AB1，则平面截该正方体所得截面图形的面积为_.解析如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，AB1，OEOC1；又BD平面ACC1A1，OC1平面ACC1A1，BDOC1，且OEBDO，OC1平面BDE，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 1616.如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_.(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折

31、至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定不会有ECAD.123456789 10 11 12 13 14 15 16解析由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形ABCE为矩形，所以ABEC，所以ABDE，又ABDE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD，折叠后如图所示.过点M作MPDE，交AE于点P，连结NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正确；123456789 10 11 12 13 14 15 16由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正确；假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错误；当ECED时，ECAD.因为ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面AED，所以ECAD，不正确.2023/10/2467谢谢观赏勤能补拙，学有成就！