数学一轮复习第七章立体几何与空间向量7.5空间向量及其应用课件.pptx
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1、7.5空间向量及其应用基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.空间向量的有关概念知识梳理名称概念表示零向量模为的向量0单位向量长度(模)为的向量相等向量方向且模的向量ab相反向量方向且模的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量ab共面向量平行于同一个的向量01相同相等相反相等平行或重合平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a0),b与a共线的充要条件是存在实数,使得ba.(2)共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充
2、要条件是存在有序实数组(x,y),使得pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p.xe1ye2ze33.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作a,b,则AOB叫做向量a与向量b的夹角,记作,其范围是,若a,b,则称a与b,记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作 ,即ab.a,b0a,b互相垂直|a|b|cosa,bab|a|b|cosa,b(2)空间向量数量积的运算律(a)b;交换律:ab ;分
3、配律:a(bc).(ab)baabac4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积ab_共线ab(b0,R)_垂直ab0(a0,b0)_模|a|_夹角余弦cosa,b(a0,b0)cosa,b_a1b1a2b2a3b3a1b1,a2b2,a3b3a1b1a2b2a3b305.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的.(2)平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面,那么称向量n_平面,记作 ,此时,我们把向量n叫做平面的.方向向量垂直于n法向量(3)位置关系向量
4、表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n,平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面,的法向量分别为n,mnmnmnmnm01.共线向量与共面向量相同吗?提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2.零向量能作为基向量吗?提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故零向量不能作为基向量.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a,b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b,由abbc,
5、则ac.()(4)若A,B,C,D是空间任意四点,则有0.()基础自测3.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为_.1222122(12cos120021cos120)2,题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直又AB与CD没有公共点,ABCD.解析P,A,B,C四点共面,6.设,v分别是两个不同平面,的法向量,(2,2,5),当v(3,2,2)时,与的位置关系为_;当v(4,4,10)时,与的位置关系为_.解析当v(3,
6、2,2)时,v232(2)520,v,所以;当v(4,4,10)时,v2,v,所以.7.已知2ab(0,5,10),c(1,2,2),ac4,|b|12,则b,c_,以b,c为方向向量的两直线的夹角为_.60120解析由题意得,(2ab)c0102010,即2acbc10.因为ac4,所以bc18,所以b,c120,所以两直线的夹角为60.典题深度剖析重点多维探究题型突破空间向量的线性运算题型一师生共研解P是C1D1的中点,解N是BC的中点,解M是AA1的中点,思维升华SI WEI SHENG HUA用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化
7、到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.例2如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;共线定理、共面定理的应用题型二师生共研证明连结BG,由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面.(2)求证:BD平面EFGH.所以EHBD.又EH平面EFGH,BD平面EFGH,所以BD平面EFGH.证明三点共线和空间四点共面的方法比较思维升华SI WEI SHENG HUA(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?解当k0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内,
8、当0k1时,MN不在平面ABB1A1内,MN平面ABB1A1.综上,当k0时,MN在平面ABB1A1内;当0k1时,MN平面ABB1A1.空间向量数量积及其应用题型三师生共研例3如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.(1)求证:EGAB;(2)求EG的长;(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角.(3)可以通过|a|,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.思维升华SI
9、WEI SHENG HUA跟踪训练3如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60.(1)求的长;则|a|b|c|1,a,bb,cc,a60,b2a2acbc1,向量法证明平行、垂直题型四师生共研例4如图所示,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,PC2,在四边形ABCD中,BC90,AB4,CD1,点M在PB上,PB4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:(1)CM平面PAD;证明以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角,PBC30.设n
10、(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,又CM平面PAD,CM平面PAD.(2)平面PAB平面PAD.设平面PAB的一个法向量m(x0,y0,z0),平面PAB平面PAD.方法二如图,取AP的中点E,连结BE,PBAB,BEPA.又PADAA,PA,DA平面PAD,BE平面PAD.又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.(1)用向量证明平行的方法线线平行,只需证明两直线的方向向量是共线向量.线面平行,证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示,或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.面面平行,证明两平面的法向量是共线向量.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直,只需证明两直线的方向向量互相垂直.线面
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- 数学 一轮 复习 第七 立体几何 空间 向量 7.5 及其 应用 课件
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