数学一轮复习高考大题专项四立体几何课件新人教A版.pptx

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1、高考大题专项(四)立体几何考情分析必备知识从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.考情分析必备知识从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定

2、与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.考情分析必备知识3.求几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.(2)对于不规则

3、几何体,可采用割补法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.-5-突破1空间中的平行与空间角题型一证明平行关系求线面所成的角 例1(2019河南许昌三模,18)已知平面多边形PABCD中,PA=PD,AD=2DC=2BC=4,ADBC,APPD,ADDC,E为PD的中点,现将APD沿AD折起,使PC=2 .(1)证明:CE平面ABP;(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值.-6-(1)证

4、明:取PA的中点H,连接HE,BH.E为PD中点,HE为APD的中位线,HEAD,HE=AD.又ADBC,且AD=2BC,HEBC,HE=BC.四边形BCEH为平行四边形.CEBH.BH平面ABP,CE平面ABP,CE平面ABP.-7-(2)解:由题意知PAD为等腰直角三角形,ABCD为直角梯形,取AD中点F,连接BF,PF.AD=2BC=4,平面多边形PABCD中P,F,B三点共线,且PF=BF=2,翻折后,PFAD,BFAD,PFBF=F.DF平面PBF,BC平面PBF.PB平面PBF,BCPB.在直角三角形PBC中,PC=2 ,BC=2,PB=2,PBF为等边三角形.取BF的中点O,DC

5、的中点M,则POBF,PODF,DFBF=F,PO平面ABCD.-8-9-解题心得1.几何法证明空间平行关系时,由于线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化,证明过程是沿着转化途径进行.2.证线线平行或线面平行时,难点是找直线在平面的平行线:(1)利用三角形的中位线找平行线证线面平行;(2)构造平行四边形,找平行线;(3)将证线面平行问题转化为面面平行,即过所证直线作辅助面,证该平面与已知平面平行;(4)利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行.3.向量法证明空间平行关系时,是以计算为手段,寻求直线上的线段对应的向量和平面的基向量、法向量的关系,关键是建立空间坐标系(或找空间一组基底)

6、及平面的法向量.-10-对点训练1(2016全国3,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.-11-又ADBC,故TN AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.-12-13-14-题型二证明平行关系求二面角例2(2019全国1,理18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB

7、1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.-15-(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,由题设知A1B1 DC,可得B1C A1D,故ME ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE.-16-17-解题心得如图,设平面,的法向量分别为n1,n2,二面角的平面角为(0),则|cos|=|cos|=,结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.-18-对点训练2(2019山东淄博期末,18)已知六面体EFABCD如图所示,BE平面ABCD,BEAF,ADBC,BC=1,CD=,AB=AF

8、=AD=2,BE=3,M,N分别是棱FD,ED上的点,且满足(1)求证:平面BFN平面MAC;(2)若平面MAC与平面ECD所成的二面角的大小为,求sin.-19-所以ON=AF.因为BEAF,所以ONAF,所以四边形AONF是平行四边形,所以FNAO,且AO平面MAC,所以FN平面MAC.因为FNBF=F,所以平面BFN平面MAC.-20-证法二:因为ADBC,AB=2,BC=1,AD=2,CD=,所以ABAD.因为BEAF,BE平面ABCD,所以AF平面ABCD,所以AFAB,AFAD,取AB所在直线为x轴,取AD所在直线为y轴,取AF所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,-21-

9、22-题型三求空间角及存在平行关系问题例3(2019北京朝阳一模,17)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF平面ABCD.四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且ADBC,BAD=90,AB=AD=1,BC=3.(1)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值;(2)线段BD上是否存在点M,使得直线CE平面AFM?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.-23-解:(1)因为ADEF为正方形,所以AFAD.又因为平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD,所以AF平面ABCD.所以AFAB.因为BAD=90,所以AB,AD,AF两两垂直.分别以AB,AD,AF为x轴,y

10、轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).因为AB=AD=1,BC=3,所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,3,0),D(0,1,0),E(0,1,1),F(0,0,1),-24-25-解题心得1.先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.2.空间向量最适合解决这类探索性问题,解题时无需进行复杂的作图、论证、推理,只需把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”,即通过坐标运算进行判断,这就是计算推理法.-26-对点训练3(2019河南名校联盟压轴卷四,18)如图,在四

11、棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,ABCD是梯形,且BCAD,AC=CD=AD,AD=2PD=4BC=4.(1)求证:AC平面PCD;(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐角的余弦值;(3)在棱PD上是否存在点M,使得CM平面PAB?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.-27-ACCD.PD平面ABCD,AC平面ABCD,PDAC.又PDCD=D,AC平面PCD.-28-(2)解:分别以直线DA,DP为x轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(4,0,0),B(3,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),-29-30-31-突破2空间中的垂直与空间角题型一证

12、明垂直关系求线面角例1(2019浙江,19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EFBC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.-32-方法一:(1)证明:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC,则A1EBC.又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.-33-(2)解:取BC中点G,连接E

13、G,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).-34-方法二:(1)证明:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.-35-36-解题

14、心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.-37-对点训练1(2018全国2,理20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.-38-39-40-41-题型二证垂直关系及求二面角例2(2019全国2,理17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面E

15、B1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.-42-(1)证明:由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解:由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故AE=AB,AA1=2AB.-43-44-解题心得用向量求二面角,由于在求平面法向量的坐标时,坐标的取值不同,导致平面法向量的方向相反,所以两个法向量的夹角与二面角相等或互补,所以根据图形判断所求二面角是锐角还是钝角,进而确定二面角余弦值的正负.-45-对点训练2(2019山东济宁二模,18)如图,在直角梯形AB

16、ED中,ABDE,ABBE,且AB=2DE=2BE,点C是AB中点,现将ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置.(1)求证:平面PBC平面PEB;(2)若PE与平面PBC所成的角为45,求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值.-46-(1)证明:ABDE,AB=2DE,点C是AB中点,CBED,CB=ED,四边形BCDE为平行四边形,CDEB,又EBAB,CDAB.CDPC,CDBC,CD平面PBC.EB平面PBC.又EB平面PEB,平面PBC平面PEB.-47-(2)由(1)知EB平面PBC,EPB即为PE与平面PBC所成的角.EPB=45,EB平面PBC,EBPB,PBE为等腰直角三

17、角形,EB=PB=BC=PC.PBC为等边三角形,取BC的中点O,连接PO,则POBC.EB平面PBC,又EB平面EBCD,平面EBCD平面PBC,又PO平面PBC,PO平面EBCD.以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,-48-49-题型三求空间角与存在垂直关系问题例3(2019北京昌平二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD平面ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=,E为PB中点.(1)求证:PD平面ACE;(2)求二面角E-AC-D的余弦值;(3)在棱PD上是否存在点M,使得AMBD?

18、若存在,求 的值;若不存在,说明理由.-50-(1)证明:设BD交AC于点F,连接EF.因为底面ABCD是矩形,所以F为BD中点.又因为E为PB中点,所以EFPD.因为PD平面ACE,EF平面ACE,所以PD平面ACE.(2)解:取CD的中点O,连接PO,FO.因为底面ABCD为矩形,所以BCCD.因为PC=PD,O为CD中点,所以POCD,OFBC,所以OFCD.又因为平面PCD平面ABCD,PO平面PCD,平面PCD平面ABCD=CD,所以PO平面ABCD.-51-52-解题心得线面垂直中的探索性问题同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,有两种解法,一是几何法,先探求点的位置,多为线

19、段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.二是利用空间向量探索,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,通过坐标运算进行判断.-53-对点训练3如图1,在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,将BCD沿对角线BD折起到BCD的位置,使平面BCD平面ABD,E是BD的中点,FA平面ABD,且FA=2 ,如图2.(1)求证:FA平面BCD;(2)求平面ABD与平面FBC所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得CM平面FBC?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.-54-(1)证明:BC=CD,E为BD的中点,CEBD.又平面BCD平面ABD,且平面BCD平面ABD=BD,

20、CE平面ABD.FA平面ABD,FACE.而CE平面BCD,FA平面BCD,FA平面BCD.(2)解:以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC所在直线为z轴建立空间直角坐标系,-55-56-题型四求空间点到面的距离例4如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点.(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥M-CDE的体积;(2)求证:DM平面ACE.-57-58-59-解题心得求空间的距离用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数的方法则简捷,高效.-60-对点训练4底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点,(1)在图中作一个平面,使得BD,且平面AEF(不必给出证明过程,只要求作出与直棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面);(2)若AB=AA1=2,BAD=60,求点C到所作截面的距离.-61-解:(1)取B1C1的中点G,D1C1的中点H,连接BG,GH,DH.则平面BDHG就是所求的平面,与直棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面即为平面BDHG.-62-2023/10/2463谢谢观赏勤能补拙，学有成就！