2021年上海市崇明中学高考数学模拟试卷（5月份）附答案解析.pdf

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1、2021年上海市崇明中学高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)1 .“!=$是 直 线 k (a +2)x +(a-2)y =1 与直线，2：9-2)X +(3。-4)丫 =2 相互垂直”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2 .将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥.建立适当的坐标系，可 以 写 出 悬 链 线 的 函 数 解 析 式 为=a c o s/i；,其中a 为悬链线系数，c o s/ix 为双曲余弦函数，其函数表达式为c o s hx =，相应地双曲正弦函

2、数表达式为s inhx =幺二一.若22直线x =m与双曲余弦函数G和双曲正弦函数分别相交于点4 B,曲线G在点4 处的切线与曲线 在 点 B 处的切线相交于点P,则下列说法正确的个数()y =sinhx-c o s/ix 是奇函数.(2)c o s/i(x -y)=coshx-coshy sinhx-sinhy P A B 的面积随m的增大而减小.|B P|随ni的减小而增大A.4 B.3 C.2 D.13 .已知正项等比数列 即，向量己=(&3，-8),b=(a7,2)-若方则lo g 2%+lo g 2 a 2 -1-lo g 2 a 9 =()A.1 2 B.1 6 C.1 8 D.6

3、+lo g254 .口袋里放有大小相等的2 个白球和1 个红球，有放回地每次摸取1 个球，定义数列 即：an=-1,第n次摸取红球,1,第n次摸取白球.如果又为数列 时 的前几项和，那么5 7=5 的概率为()A.G x (|)x (|)6 B.仁 x (|)2 x (|)5C.的 X (|)5 X (|)2 D.。X 针 X (|)二、单空题(本大题共1 2 小题，共 5 4.0 分)5 .椭圆式+g=1 的内接正方形面积为_ _ _ _ .12 66.已知寝函数y =/(x)的反函数图象过(6,3 6),则/(=.7.已知平面向量优B 满足|五|=2,b=2.|a +2 h|=5,则向量五

4、，9 夹 角 的 余 弦 值 为.8,若复数z =1 +由为虚数单位)，彳是z 的共枕复数，则z 2 -的虚部为.9,现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4 次，至少击中3 次的概率：先由计算器给出0 到9 之间取整数值的随机数，指定0,1 表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标，以4 个随机数为一组，代表射击4 次的结果，经随机模拟产生了20 组随机数：7 5 27 0 293 7 14 0 98 5 7 0 3 4 7 4 3 7 3 8 6 3 6 6 94 7 14 17 4 6 980 3 7 1 6 23 3 26 16 8 0 4 5 6 0 11 3 6

5、 6 1 95 97 7 4 24 7 6 10 4 28 1根据以上数据估计该射击运动员射击4 次至少击中3 次的概率为.10 .奇函数y=的图象关于直线x =2对称，/(3)=3,贝行(-1)=.11.已知数列翻遭满足：当 掂 移 空 岭”华 典 肌 瞅 最 也 需*)时，=仁 修 训 送，黑,是数列国学的前密项和，定义集合鼠=陋晁是:时的整数倍，焦了舷段激，且乱噬陶唠懑i*,建珍哪卷表示集合屋中元素的个数，则:曝j=_ 窕硝麴砥=12.三棱锥P 4 BC 三条侧棱两两垂直，P4 =3,PB=4,PC =5,则该三棱锥的外接球的表面积为.13 .如图所示，过O。外一点P 作一条直线与。交于

6、A、B 两点.已知P4 =2,/、点P 到。的切线长PT =4,则弦4 B 的长为.4 9 )14 .若关于Y 的方程2rJ+(2-t)x+2=0 的两个实根5#满足,则实数的取值范围是_.15 .艾萨克牛顿(16 4 3-17 27),英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡 献.牛 顿 用“作切线”的方法求函数/(X)的零点时给出了一个数列%：$+1=今 第，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数/(x)=a x2+bx+c(a 0)有两个零点1和3,数列$为牛顿数列，an=1gTT；.且=3,xn 3,则数列 即 的通项公式为即=.16 .数列&满足：%=1,a2=2,且0

7、n+2-an=3 +c o s(n7 r)(n e N*),若数列 an 的前r i 项和为Sn,则S i。=-三、解答题(本大题共5 小题，共 7 6.0 分)17 .在 A B C 中，内角4,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a-c=X 5b,s i n B=J&i n C.6(1)求c o s 4 的值.(2)求c o s(24-7 T )的值.6木 118 .在直角梯形4 2 0。中(左图)，ADII B C,A B A D =-,A B =B C=-A D =a,月是/)的中点，。是00与a用的交点，将A?月沿月月折起到右图中A 4 3 E的位置,得到四棱锥A-B CD&(/)

8、证明：CD i平面A OC()当平面4 月 1平面B C 7 川 时，四棱锥A -3 CDE的体积为3 6 J 5,求1的值.1 9 .玩具所需成本费用为P 元，且P 与生产套数 的关系为P =1 0 0 0 +5%+卷/,而每套售出的价格为Q 元，其中Q(x)=a +京 a R),(1)问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，求a 的值.(利润=销售收入-成本)20.已知圆.Ci：/+y2=i,直线L y=x+m(m 0)与圆的相切，且交椭圆=l(a b 0)于Bi两点，c是椭圆C2的半焦距，c=W b.(/)求ni的

9、值；(2)0为坐标原点，若 西 1 西，求椭圆的方程；(3)在(U)的 条 件 下,设 椭 圆 的 左、右顶点分别为4,B,动点SQ i，yi)eC2(y】0)直线4S,BS与直线久=卷分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.21.己知公差不为。的等差数列 an，其前n项和为Sn,劭=1,且Si、S2,S4成等比数列.(1)求数列 厮 的通项公式；(2)令 垢=2n-an,求数列 为 的前n项和亏.参考答案及解析1.答案：A解析：解：当Q=2时，两条直线分别化为：4x=l,y=1,此时两条直线相互垂直；当a=3时，两条直线分别化为：1 0 x-2 y =3,x=-3,此时两条直线不相互垂

10、直，舍去；当a R：2时，由于两条直线相互垂直，.一竺f x 三=一 1,解得a=3a2 3a4 2综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：a=：或3.“a=”是“直线(a+2)x+(a-2)y =1 与直线：(a-2)x+(3a-4)y=2相互垂直”的充分不必要条件.故选：A.对a 与直线的斜率分类讨论，可得两条直线相互垂直的充要条件.即可判断出结论.本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题.2.答案：B解析：解：由题意可得y=/(x)=sinhx-coshx=y-=-，/(-%)=一/(x)，/(0)=0,y=sinhx-coshxafll.

11、,故对，coshx-coshy sinhx sinhy=-，/J 2 2 2 2_ e-x+y+ex-y=-，2ex-y.ey-xv cosh(x y)=-,:、cosh(x-y)=coshx-coshy-sinhx-sinhy,故正确,直线=m与双曲余弦函数Ci和双曲正弦函数分别相交于点4,B,可 设A(m,-),B(m,-),ex+ex y=/(x)=ex-e-x y=1(%)=2又 点4 为曲线G 的切点,呢=-,曲线G 在4 点处的切线方程为y-丝 色 二=乙 。一加)同理可得，曲线。2在B处的切线方程为y-三 二 二”三 仁 一 加)联立解得P的坐标为(m+l,em),根据两点之间距

12、离公式可得，BP2=1+(e 一 空 舁 32=1+(七 二 产，.|BP|随山的减小先减小再增大，故错误，4、B两点的横坐标相同，SAABC=AB (m+1-1)=e-m,.P4B的面积随zn的增大而减小，故正确，综上所述，正确的为，故选：B.运用奇函数的性质，可对判断，分别计算coshx,coshy sinhx s in h y,以及cos/i(x y),即可判断，结合导数公式分别求出曲线G 在4 点处的切线方程，曲线。2在8 处的切线方程，通过联立两个方程，可得P点坐标，再运用两点之间距离公式，即可判断，运用三角形面积公式，即可对求解.本题考查了奇函数的性质，以及运用导数求切线方程，需要

13、学生有较强的综合知识，难度系数高，属于难题.3.答案：C解析：解：向量五=(。3，-8),境=(17,2)，若方1 后,可得苍 b=0 即a3a7 8 x 2 =0,即a3a7=16,由正项等比数列 斯，可得=a2a8=a3a7=a4a6=16,则log2al+log2a2 4-1-log2a9=log式。逆2-a9)=log249=9log24=18.故选：C.由向量垂直的条件可得a3a7=1 6,再由等比数列的性质和对数的运算性质，化简可得所求值.本题考查等比数列的性质和向量垂直的条件，同时考查对数的运算性质，考查化简运算能力，属于中档题.4.答案:A解析：解：口袋里放有大小相等的2个白球

14、和1个红球，有放回地每次摸取1个球,则摸出红球的概率为P 1 =斗=3摸出白球的概率为P 2 =4 =|.Co J Co 3由于定义数列 5：an=-1,第n次摸取红球,1,第n次摸取白球.如果S”为数列 即 的前n项和，那么S 7 =5相当于摸了7次球，摸出6次白球，一次红球，所以根据独立重复试验概率为G x (|)x (|)6.故选：A.直接利用独立重复试验的关系式的应用求出结果.本题考查的知识要点：独立重复试验的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.5.答案：1 6解析：解：设内接正方形的位于第一象限内的顶点坐标(m,n),由内接正方形可得m =n,边长为2 m

15、,由 尤+这=1,12 6解得m =2,即有正方形的边长为4,面积为1 6.故答案为：1 6.设 内 接 正 方 形 的 位 于 第 一 象 限 内 的 顶 点 坐 标m为正实数，由求出小值，即得内接正方形的边长，进而得到面积.本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得内接正方形的位于第一象限内的顶点坐标，是解题的关键.6.答案：!解析：解：设基函数y =f(x)=X。，由题意可得原函数f(x)的图象经过点(3 6,6),故有3 6。=6,l a =：,即f(x)=代，呜=?故答案为：设幕函数y =f(x)=x%由题意可得原函数f(x)的图象经过点(3 6,6),求出a的值,可

16、得函数解析式，从而求得/)的值.本题主要考查函数与反函数的图象间的关系，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题.7.答案:白1O解析：解：二,平面向量落方满足|方|=2,|方|=2，|a 4-2 b|=5，A 5 =|a +2 6|=yja2+4 片+4万至=22+4x 22+4 x 2 x 2c o s f化为c o s =.16故答案为：16利用数量积的定义及其性质即可得出.本题考查了数量积的定义及其性质，属于基础题.8.答案：4解析：解：z =1+i,z=1 i.A z2-z2=(1+i)2-(1-i)2=2i-(-2i)=4i.1.z2/的虚部为4.故答案为：4.利用共规复

17、数的定义、复数的运算法则即可得出.本题考查了共轨复数的定义、复数的运算法则，属于基础题.9.答案：0.75解析：本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用.解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用，属于基础题.由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果.解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 98 57 0347 4373 8 636 9647 4698

18、6233 2616 8 045 3661 9597 7424 428 1,共 15组随机数,.,所 求概率为0.75.故答案为：0.75.10.答案：-3解析：本题主要考查了奇函数的图像和性质的应用问题，考查了函数图像的对称性的应用。:函数f(x)的图像关于x =2对称，二/(4-x)=f(x),又函数f(x)是奇函数,则有/(一x)=-/(x),./(4-3)=/(3)=3即/=3,/(-!)=-/(I)=-3。故应填：一3。11.答案：(1)5(2)9解析：试题分析：(1)71=15时，隔5任学，.安 雪 可k =5,带 入 鼠=上 尊 闻 遇 的 =每，故端=5;(2)试题分析：由 于

19、您 锐 驾 燮“邈 上 马(逊 点 图 前)时，呱=妇 暧 眄 嗨，可知数列翻哇满足：噫 售.-%=北：啊=-昊 强=-或：嘴,=,竭=常%=为 加=7,遍=-4：逊=7%=,其前兀项和.鼠满足：当即岂8 1时，：嘎是奇数,则用&是码.的整数倍；所以当乩与曾踽也立时，码.的奇数项共有9项，故考点：1.集合的表示法；2.数列通项与前7 1项和的关系；3.数学归纳法.12.答案:507r解析：解：以P 4、P B、P C为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P -4B C外接球.长方体的对角线长为V 32+42+52=5V 2.球直径为5 VL半径R =逑，2因此，三棱

20、锥P 48 c外接球的表面积是4TTR2=4T T x (乎尸=5 0兀,故答案为：5 0 7 r.以P4 P 8、P C 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-A B C外接球.算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P-A B C 外接球的表面积.本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题.1 3 .答案:6解析：由切割线定理，得P72=P 4.PB,所以P B =8,故A B =6.1 4 .答案：(6,7)解析：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关

21、系.其中根据方程的根与对应函数零点之间的关系，构造关于t 的不等式是解答本题的关键.依题意，函数/(x)=2/+(2-t)x +2 的f(0)=20两个零点a,0 满足0 a 1 /?2,结合图像可得 1)=2+2-t+20,即可求出实数t 的取flP)=8+4-2t+2X)值范围.解：依题意，函数/(X)=2/+(2 -t)x +2 的两个零点a,夕满足0 a 1 0 0f(l)=2+2-t+2D 6 t 0).有两个零点1和3可将/(久)写成零点式，再利用xn+i=xn-得 求 得 关 于X n+l，X n的递推公式，进而根据与=吊尸!求得斯 的通项公式即可.解：由函数f(%)=ax2+b

22、x+c(a 0)有两个零点1和3,得f(%)=a(x-1)(%3)=ax2 4ax+3 a,故/(%)=2ax 4a.由题意，得/1 +1=/2a(好-俗+3)a(2xn-4)4%几 +3 _%与 32x 4 2Xyj-4蝇-3 蝇-6 4 n+9.Xn+1 _ 3 _ 2Y n-4=2%n+4 _(%一?)/Xn+1-1-豆T _一 蝇-2/+1 一(如-1)22X 4 2孙+4A an+l=恒 J”=xn+l-1M S 聿=21g 有=2 3故数列 an 是以的=3为首项，公比为2的等比数列,八故。九=3 x 271T.故答案为：3 x 2n-x.16.答案：7500解析:本题考查数列的求

23、和：分组求和，考查等差数列的定义和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题.讨论几为奇数和九为偶数时，可得奇数项为首项为1,公差为2的等差数列，偶数项为首项为2,公差为4的等差数列，运用数列的求和：分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和.解：的=1,a2=2,且an+2 Qn=3+cos(n7r)(n G N*),当n为奇数时,an+2 an=3 1=2,即有奇数项为首项为1,公差为2的等差数列；当九为偶数时，an+2-Qn=3+1=4,即有偶数项为首项为2,公差为4的等差数列；则S ioo=(%+a3 4-F a99)+(a2+。4-1 io o)11=5 0 x l+-x 50

24、x 49 x2+50 x 2+-x 50 x 49 x42 2=7500.故答案为：7500.1 7.答案：（l）co s，=4_0/”、一 出（2）小2人 工）=、O o解析：.解：（1）在儿岱。中，由/=4；,及sinB=s in C,可 得b=辰,sm/anC/6 0又由4一：=二一6，有a=2c.即W包4(2)在A4C 中，由cosd=,4叵丁可得!dnd=于是，cos24=2cos:l4-l=4前 2d=2sindcos/=叵4所以 cos0L4 )=cos2/tcos#sm 2dsm =(-)x-+-x=-.6 6 6 4 2 4 2 8即cosQ/-工)=-o 81 8.答案：（

25、/）证明略;（11）6。解析：（/）在图1中，因为A B=B C f Z =a，E是4。的中点，N B A D =g,所以 B E _ L 4 C,即在图2中，B E 1 4 1。，BE 1 OC,从而BE 1面&0 C,由 C D B E,所以C O，面4 i O C；（/）即20是四棱锥儿-B C D E的高，根据图1得出A Q=孝ABa，平行四边形B C D E的面积S =BC -AB=a2,v 4 x s x J O=xfl2x a=a3,3 1 3 2 6由 a=a3=3 6，得出a =6。61 9.答案：解：（1）由题意，每 套“福娃”所需成本费用为）=1 +5X+4 X 2 =工

26、.+幽+5 2 2属+x x 10 x5=2 5,当看乂 =等，即x =l 0 时，每 套“福娃”所需成本费用最少为2 5元.（6分）（2）利润为x Q（x）-P =x（a +百-（10 0 0 +5x 4-=一表/+（a _ 5）x-10 0 0（9分）.由题意，当产量为150套时利润最大，解得a =2 5.解析：(1)由题意，每 套“福娃”所需成本费用为g 建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；(2)根据利润=销售收入-成本，求出利润函数%Q(x)-P,再利用当产量为150 套时利润最大，即可求G 的值.本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，

27、确立函数模型是关键.2 0.答案：解：(1),直线Z：y =久+?n(7n 0)与圆G相切，.罕=曰.5=出；y 2 J 5 5(2)直线2：丫 =乂 +出 代 入 椭 圆。2：各=1(。匕0)，可得（炉+a2）x22Q8-52X+O、八 A,、n/x m i l ,4/10 a2 8a 2-5a 2 b 2 4 0b2+25 a2b2坟&（X l，%），8式次,丫2），则X l+%2 =一 砺 而，X/2 =5（小吟，%丫2=中昕，v OAi 1 0 8；，8a 2-5a 2 b 2 4 0b2+25 a2b2 nX】X2+乃 治=/西+25（/+7 =,A 4（b2+a2）-5 a2h2=

28、0,v c=V 3 6,.a2=4 b2,a=2,b=1,2，椭圆C 的方程为亍+y 2 =i；(3)易知椭圆C 的左，右顶点坐标为4(一 2,0),B(2,0),直线A S 的斜率k显然存在，且 0故可设直线4 S 的方程为旷=仪+2),从而M(|,登)(y-f c(x +2)由|应 2-1 9 得(1+4 4 2)/+16攵 2+1 6 e一4 =(7+y -设S(x o，y o)，则(一2)通=震 得 。=左 需，从而小=品,即s W 舟)又8(2,0),故直线B S 的方程为丫=一点。-2),3 4 gX=时,V=15 J1ISk 呜-嗫),T7 7、八 64 k,1、r 64 k 1

29、 16又/C 0,MN=+2-=一，11 15 15k 7 15 15 k 15当且仅当胃=士 时，即k=:时等号成立15 15K O k=泄，线段MN的长度取最小值解析：(1)利用直线，：丫 =%+巾(巾 0)与圆加相切，根据点到直线的距离公式，可求小的值；(2)直线，：丫 =+学 代 入 椭 圆。2+苴=1 9 6 0)，根 据 西 JL西，利用韦达定理，可求椭圆的方程；(3)椭圆C的左，右顶点坐标为4(一 2,0),8(2,0),设直线AS的方程为y=k(x+2),从而叭黄,誉)，(y=fc(x+2)叫左 a，得(1+妹 2)/+16卜 2%+1 6 1-4 =，求出S的坐标，进而可求N

30、的坐标，即可求出线段MN的长度的最小值.21.答案：解：(1)设公差d不为0的等差数列 5 ,由=1,且Si、52、$4成等比数列，可得废=Si54，即为(l+l+d)2=lx(4 +6d),解得d=2,则 即=l+2(n-l)=2 n-l,N*；(2)bn=2n-an=(2 n-l)-2n,数列%的前几 项和=1-2+3-22+-+(2n-3)-2 】+(2n-1)-2，27；=1-22+3 23+-+(2n-3)-2n+(2n-1)-2n+1由相减可得 4 =2+2(22+23+2)-(2n-1)-2n+1=2 +2 一(2n-)-2n+1,化简可得7；=6+(2n-3)2n+1.解析：(1)设公差d不为0的等差数列 an,运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；(2)求 得 勾=2-=(2 n-l)2%再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简计算可得所求和.本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题.