2021年全国乙卷数学试卷(理科).pdf

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1、绝密启用前2021年全国乙卷数学试卷(理科)(删除非新高考知识点试题版)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题)一、单选题(本大题共1 0小题，共5 0.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1 .设2(z+z)+3(z z)=4 +6 3 则z=()A.l-2 i B.l+2 i C.1 +i D.1 -i2 .已知集合S=s|s

2、=2 n+l,n 6 Z,T =tt=4 n 4-1,n 6 Z,则S n T =()A.0 B.S C.T D.Z3 .设函数f(x)=W，则下列函数中为奇函数的是()A.f(x 1)1 B.f(_ x-1)+1 C./(x+1)1 D./(x+1)+14.在正方体4 8。0-48道1/中，P为名。1的中点，则直线P B与A D 所成的角为()A-R-Q-n -c.2 -3 4 65.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.6 0种 B.1 2 0种 C.2 4 0种 D.

3、4 8 0种6.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的；倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移卷个单位长度，得到函数 =$也0 一的图像，则/(无)=()sin6-m B.sin+运)C.sjn(2 x-D.sjn(2 x+)7 .魏晋时期刘徽撰写的的岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E,H,G 在水平线力C 上，D E 和F G 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称 为“表高”，E G 称 为“表距”，G C 和E H 都称为“表目距”，G C 与E H 的差称为“表目距的A.表高x表距表目距的差+表高B.表高义表距表目距的差-表 高C.表高X表

4、距表目距的差+表距D.表 取 表 距表目距的差-表 距8 .设a H 0,若x=a 为函数f(x)=a(x-a)2(x 匕)的极大值点，贝 ij()A.a bC.ab a29.设B 是椭圆C：W+=l（a b 0）的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB|2 b,则C 的离心率的取值范围是（）A.俘,1)B.1,1)C.(0,争10.设a =2仇1.01,b=/n l.02,c=V L 0 4-1,则()A.a b c B.b c a C.b a cD.(0,i D.c a 0）的一条渐近线为Wx+m y =0,则c 的焦距为12.已知向量,=（1,3）,b=（3,4）若0 高）1 3，则

5、2=.13.记 A B C 的内角4,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为旧，B=60,a2+c2=3a c,则 b =三、解 答 题（本大题共5 小题，共 60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14.(本小题12.0分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别

6、记为工和9,样本方差分别记为野和贤.求 x,y s l，s!；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果亍,2/醇，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较I日设备有显著提高，否则不认为有显著提高)(V76 x 8.718).15.(本小题12.0分)如图，四棱锥P ABCO的底面是矩形，PD 1底面4BCD,PD=DC=1,M为BC中点，且PB 1AM.求 BC；(2)求二面角4-P M-B的正弦值.16.(本小题12.0分)记S“为数列 an 的前n项和，%为数列属 的前n项积，已知名+；=2.3 n(1)证明：数列%是等差数列；(2)求&的通项公式.17.(本小题

7、12.0分)已知函数/(x)=虱。-%),已知x=0是函数y=x f(x)的极值点.(1)求 a；(2)设函数g(x)=%2.证明：g(x)0)的焦点为F,且F与圆M：/+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.求P；(2)若点P在M上，PA,PB为C的两条切线，A,B 是切点,求APAB面积的最大值.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题.利用待定系数法设出z =a +b i,a,b 是实数，根据条件建立方程进行求解即可.【解答】解：设2=。+6，a,b 是实数，则 z =a-bi0并且。0,并l.a b,a 0,

8、并且a b,a b共5种情况讨论，由此可以推出：a 0并且a b或a 6,然后可判断选项的正确性.【解答】解：因为a*0,(1)所以当。=6时，函数/(x)=a(x -。尸在(-8,+8)单调，无极值，不合条件；(I I)当a于b时，因为/(x)=3 a(x a)(x 色 竽 今，所以，若a 0并且Q V b时，a 0,得：X 由广(X)V O,得：Q V%所以这时/(%)在(-8,a)上单调递增，在(见2受)上单调递减，=Q是函数/(%)的极大值点，符合条件；若a 0,并且a b时，Q 上/，由/(X)0,得：x Q，由(x)V 0,得：x a,所以这时/(%)在(等 匕a)上单调递减，在(

9、a,+8)上单调递增，=a是函数/(%)的极小值点，不符合条件；若Q 0,并且Q 0,得：a x 由f Q)0,得：x 土手，这时f(x)在(-8,a)上单调递减，在(a,煤)上单调递增，x =a是函数/(x)的极小值点，不符合条件；若a b 时，a 史罗，由/(x)3 得：x 由(x)0,得：x a,所以这时f(x)在(煤,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，x =a是函数f(x)的极大值点，符合条件；因此，若x =a为函数/0)=。(-)的极大值点，则a,b必须满足条件：a 0 并且a b或a b.由此可见，A,B 均错误；又总有ab-a?=a(b-a)0 成立，所以C错误，。正确.

10、故选。.9.【答案】C【解析】【分析】本题重点考查椭圆的性质，属于一般题.设(嗫 仇 外 也 仅。,2 兀)，求 得/1+厂、利用正弦函数的性质求 得 牌 2,进而可求离心率的范围.【解答】解:设P c os 9，in9)(9 G1 ，2 兀)由题意，得B(0,b),则|P B|=V c o s +s in0-1)2 0 2 b a2 c os 2。+H s i n。T)24 4,当c os。=0劭不等式成立；当C O S。牛G时,.必 v 3-q in2 e+2 q ine =一&-3)&访，+1)_ 3一0访.=4?、c os2 (1 s in)(l+s in。)1-s in 1-s in

11、又0 e 1故椭圆离心率的取值范围是(0,净故选：C.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于较难题.构造函数/(x)=2，n(l+x)-(，l+4%l),0 x b,令/(x)=2Zn(l+%)(V1+4%1),0%1,令，1+4%=t，则1 V t g(l)=2ln4-1 +1-2/n4=0,/(x)0,即 22n(1+x)VI+4 x-1,0 x A/L 0 4-1.即a c,同理令/i(x)=l n(l 4-2x)-(V I+4 x-1),0 x 1,再令、1+4 x=t,贝 遍，t2-iX=4:.(p(t)=ln

12、()+1 =ln(t2+1)t +1 -ln2,20 (t)=尧-1 =0 1 t V 5.八，t2+l t2+l0(t)在(1,通)上单调递减，:.0(t)p(l)=ln2-1 +1 ln2=0,1/i(x)0,即 n(l+2%)同样的，取x =0.0 1,W O/nl.0 2 b,a c b.故 选:B.1 1.【答案】4【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题.根据题意，由双曲线的性质可得患=而，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c 的值，即可得答案.【解答】2解：根据题意，双曲线C：3 y 2=1(7 n 0)的一条渐近线为遥 +m

13、 y =0，则有翁=而，解可得血=3,2 _ _ _ _ _则双曲线的方程为 y2=1，贝 i J c =V 3+1=2其焦距2c =4：故答案为：4.12.【答案】|【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题.利用向量的坐标运算求得五 一右=(1一 3尢3-42)，再由0-石)1 3,可得他一苏)7 =0,即可求解；I的值.【解答】解：因为向量4=(1,3),另=(3,4)，则旨-2 3 =(1-3/1,3-4 2)，又伍-Ah)1 b，所以(d-A b y b =3(1-3A)+4(3-4A)=15-25A=0，解得4=|.

14、故答案为：|.13.【答案】2V2【解析】【分析】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题.由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得.【解答】解：4BC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,面积为遥，B=60,a2+c2=3ac,-acsinB=/3=acx=/3=ac=4=a2+c2=12又cosB=号三=/0 b=2网(负值舍)2ac 2 8故答案为：2或.14.【答案】解：(1)由题中的数据可得，%=言 x(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,y=吉 X(10.1+10.4+10.1+10

15、.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,1=10 X(98-I。)？+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2=0.036；1=_x(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2=0.04；(2)y-x=10

16、.3-10=0.3，/s?+s?/0.036+0.04 o/c c c 二7 n 1 r2J =2-=2V0.0076 0.174，N io y 10所 为 2居，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力.利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较歹-分与2 1 的大小，即可判断得到答案.15.【答案】解：（1）连结BD,因为PD J 底 面 A B C D,且4 M u 平面4BCD,则 4M 1 PD,又2 M 1 P B,PB CPD=P,PB,P O u 平面PBD,所以4 1

17、平面P8D,又BD u 平面P B D,则AM 1 BD,所以 4/WB+/ZMM=90,又/DAM+AMAB=90。，贝 IJ 有乙4OB=/.MAB,所以 RtZkZMBsRtAABM,则*=瞿，所以:BC2=1,解得8 0=鱼;AD Dlvl L(2)因为D4,DC,D P 两两垂直，故以点。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,则4(7 1,0,0),B(夜,1,0),M 怎,1,0)，P(0,0,l),所 以 标=(一短0,1)，A M =(-y,l,0)B M =(-y,0,0)BP=(-V 2,-l,l)设平面A M P 的法向量为元=(x,y,z),万=0,-AM=Q即 V 2

18、x +z =0V 2，-y x +y =0令x =V ，则y =l，z =2,故元=(&,1,2)，设平面E M P 的法向量为记=(p,q,r),则有fn-BM=0)即m-B P =0V 2 nV 2p q+r=0令q =1,贝 忏=1,p=0,故记=(0,1,1),所以l o s(元 记1=朋=K页3/14二143设二面角力-P M-B 的平面角为a,sina=V 1-r n ;2a =y/1 -rn 2 时，%i =S n-S n-1 =一 品 p进一步得到数列的通项公式.本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题.1 7.【答案】(1)解：由题意，f(x)的定义

19、域为(8,a),令m(%)=%/(%),则?n(%)=x/n(a%),x E(oo,a),则m(x)=ln(a -x)+x 言=|n(a -x)+言，因为=0 是函数y =x f(x)的极值点，则有m(0)=0,即mQ=0,所以Q=1,当a =1 时，m(x)=0(1 -%)+=I n。)+1，且m(0)=0 令6(%)=1-X)+三+1，x w (-8,1)因为G(X)=7-*-2=,X 2?0,当 G (0,1)时，m(x)0,所以。=1 时，=0 是函数y =%/(%)的一个极大值点.综上所述，a=l；(2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(l x),要证函数。()=端1,即需证

20、明 黑 昌 1,因为当 6(-8,0)时，xln(l-x)0,当 G (0,1)时，xln(l x)xln(l-%),即 4-(1 -x)jn(l-x)0,令九(x)=x +(1 -x)n(l-%),则叫)=(1 -%).三+1-1 -x)，所以(o)=o,当e(8,o)时，h(x)0,所以x =0 为/i(x)的极小值点，所以九()f t(0)=0,即 +|n(l%)xln(l%),所 以 嗯 21,即函数g(x)l.【解析】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算

21、能力，属于难题.(1)确定函数/(%)的定义域，令m(%)=x f(x),由极值的定义得到7n (0)=0,求出Q 的值，然后进行证明，即可得到Q 的值；(2)将 问 题 转 化 为 证 明 端 昌 x (l-x)，令九(x)=x +(l-x)l n(l-x),利用导数研究/i(x)的单调性，证明九(x)h(O),即可证明.18.【答案】解：(1)点F(O,Q到圆M上的点的距离的最小值为田阳一 1=4-1=4,解得p=2；(2)由(1)知，抛物线的方程为/=4 y,即y=则y=；x,设切点A(xi，y)B(x2,y2)-则易得y=y x-y JP B.-y=从而得到P(空,竽)，设。B：y=k

22、x+b,联立抛物线方程，消去y并整理可得好一4依-4 b =0,4=16k2+16b 0,即A2+b 0,且与+x2=4k,xrx2=-4b,P(2k,-b),v AB=Vl+k2-J (%+不)2 4%I%2=V1 4-k2 V16fc2 4-166,|2/+2川点P到直线4 8 的距离d=jJk2+1 .ShP A B=lABd=k23-2+又点P(2k,-b)在圆M：/+(y+4)2=1上,故/=上要，代入得，SN A B=4(-内产T 53-2而为=b E 5,3,.当 6=5时(SApQmax=20V5.【解析】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于拔高题.(1)由点F到圆M 匕的点最小值为4建立关于p的方程，解出即可；(2)对y=3 2 求导，由导数的几何意义可得出直线PA及PB的方程，进而得到点P 的坐标，再将力B的方程与抛物线方程联立，可得P(2k,-b),|AB|以及点P到直线4B的距离，进而表示出PAB的面积，再求出其最小值即可.