2021年全国高考甲卷数学（文）真题及答案.pdf

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1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 用=1,3,5,7,9,N=x|2 x 7 ,则M 集合=()A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9【答案】B2

2、.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间【答案】C3.已知(l-i)2 z =3 +2 i,则 2 =)A.-l-z2B.1 +z2c.一 步32D.【答案】B4 .下列函数中是增函数的为（、xA./(X)=-XB 仁C./(x)=x2D.f(x)=W7【答

3、案】D5 .点（3,0）到双曲线-5=1 的一条渐近线的距离为（）9A.-58B.-56C.一54D.一5【答案】A6 .青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据丫的满足L =5 +l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（顺”1.2 5 9）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C7 .在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()正视图【答案

4、】D8.在 AA B C 中，已知 B =1 2 0,A C =阿 A B =2，则 B C=()A.1 B.V 2 C.V 5D.3【答案】D9.记 S“为等比数列 凡 的前项和.若$2=4,54=6,则$6=()A.7 B.8 C.9D.1 0【答案】A1 0.将 3 个 1 和 2个 0随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为()A.0.3 B.0.5 C.0.6D.0.8【答案】C万、-c os a1 1 .若a e|0,3 7|,ta n2 a =；，则 t an a=()2)2-si n aA.叵B.B75-D.叵1 5533【答案】A1 2 .设/(尤)是定义域为K的奇函数，

5、且 l +x)=/(x).若小H，则 陪 =()A.1B.一 一31C.一3D.-5353【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.1 3 .若 向 量 满 足 卜|=3,卜 7-q =5,a石=1,则忖=.【答案】3 拒1 4 .已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3 0 乃则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.【答案】3 9%1 5 .已知函数/(X)=2COS(Q)X+O)的部分图像如图所示，贝 i j/711 6 .已知耳，外 为椭圆C 含+=1 的两个焦点,P,。为 C上关于坐标原点对称的两点，且|P=|耳 闻，则四边形尸片。鸟 的面积为.【答案】8三.解答题：共 7

6、0分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.1 7 .甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0()件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(I)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：心幽(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k0.

7、0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)7 5%；6 0%；(2)能.1 8 .记 S”为数列 4 的前项和，已知4 0,4=34,且数列 后 是等差数列，证明：4 是等差数列.【答案】证明见解析.【分析】先根据 一 点 求 出 数 列 、鬲 的公差2,进一步写出 疯 的通项，从而求出 叫的通项公式，最终得证.1 9 .已知直三棱柱A B C 45G中，侧面A&g B为正方形，A B B C =2,E,尸分别为AC和 CG的中点，B F A i-(1)求三棱锥产一 3。的体积；(2)已知。为 棱 上 的 点，证明：B F L D E.【答案】(1)；(2)证明

8、见解析.【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.由 结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体如图所示，取棱AM8C的中点,G,连结4,”G,G 片,正方形BCC4中，G,F为中点，则 B 尸_ L B|G,又 3 尸_ 144,4。096=。,故平面AfO”,而OEU平面4&G H,从而5 E _ L DE.2 0 .设函数/(x)=/第2+o x-3 1 n x +1 ,其中 a 0.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 y =/(x)的图象与x轴没有公共点，求。

9、的取值范围.【答案】/(力 的减区间为(0,3),增 区 间 为+8)；a:【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)根据/(1)0 及(1)的单调性性可得/(x)mM 0,从而可求的取值范围.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.21.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x 轴上，直线/：x =l交 C于 P,。两点，且 OPJ_OQ.已知点/(2,0),且OM与/相切.(1)求 C,OM的方程;（2）设是c上的三个点，直线44，4 A 3 均 与 相 切.判 断 直

10、线 4 A 与 0”的位置关系，并说明理由.【答案】（1）抛物线C:y 2=x,OM方程为（尤2）2+V=I；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与x =l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,。坐标，由即可求出。；由圆M 与直线x =l相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑44斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由4，4,4 3 三点在抛物线上，将直线44,44斜率分别用纵坐标表示，再由与圆M 相切，得出%+%，2%与X的关系，最后求出M 点到直线A 2A 3 的距离，即可得出结论.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选

11、一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系X。），中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2x/2c o s.（1）将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点4的直角坐标为（1,0）,例 为 C上的动点，点 P满足彳 =忘 而，写出尸的轨迹G 的参数方程，并判断C与 G 是否有公共点.【答案】（1）（x-&+y 2=2：（2）P的轨迹G 的参数方程为 +（夕为参数），c与G 没有公共点.【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为2 2 =2 及 0C O S。，将 x =p c o s e,y =p s i n

12、。代入可得；（2）设 P（x,y）,设 M（0+&cos仇0 si n 6）,根据向量关系即可求得P的轨迹G 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求解.选修4-5：不等式选讲23.已知函数/(x)=|x-2|,(x)=|2x +3|-|2x-l|.(1)画出y =/(x)和y =g(x)的图像；(2)若“x +a)2g(x),求“的取值范围.【答案】(1)图像见解析；(2)a 2【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；根据函数图像数形结和可得需将=/(%)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过时a的值可求.