2021年全国高考文数真题试卷（全国乙卷）(答案+解析).pdf

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1、2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）1.已知全集 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,N=3,4,则 品（MUN）=（）A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,4)2.设 iz=4+3i,则 z 等 于()A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i3已知命题p：xGR,s in x l,则下列命题中为真命题的是(3 VA.p qAB.p q-i AC.p qA-iD.(pVq)-14.函数f(x)=sin+cos 的最小正周期和最大值分别是（）

2、X X3 3A.3 和KB.3 和 2Kc.和6冗收D.6兀5.若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）x+y 4 x-y 2y 3A.18B.10C.6D.46.()7T o S 7Tcos,-cos=12 12A.12B.V33C.三D.吏27.在区间（0,）随机取1个数，则取到的数小于1 12 3的概率为（）A.34B.3c.13D.i68,下列函数中最小值为4的 是（）A.B.=%2 4-2%+4 _ X2.4c.y=2*+2 2 rD.y=nx+y/1|sinr|9.设函数Kx）春,则下列函数中为奇函数的是（）10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为 BiDi的中

3、点，则直线PB与 ADi所成的角为（）A.K x T)TB.C.D.f(x-i)+i KX+I)T Kx+D +iA.7 TB.C.D.7 T 3 4 611.设B 是椭圆C：、的上顶点，点 P 在 C 上，则|PB|的最大值为（）=+*=1A.5B.C.D.2y/6 y/512.设awO,若 x=a为函数,的极大值点，则（）Kx）=a（x-a）2（x b）A.ab C.aba2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分（共 4 题；共 17分）13 .已知向量a=（2,5）,b=（入,4）,若 7,则入=_ _ _ _ _ _ _ _.a/b14.双曲线的右焦点到直线x+2y-8=

4、0的距离为_ _ _ _ _ _ _ _.-i-=14 515.记 ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为，B=60。，a2+c2=3 a c,则 b=.V 316.以图为正视图，在图 中 选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共 5 题；共 50分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的

5、某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.810.3 10.0 10.2 9.9 9.810.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为S P和S2?X y(1)求，S?,S22；x y(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果_ -2,则认为?2再新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).18.如图，四棱锥

6、P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD,M 为 BC的中点，且 PB AM.1 1(1)证明：平面PAM 平面PBD；1(2)若 PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.19.设 是首项为1 的等比数列，数列 满足，已知，3,9 成等差数列.&“b=吗%a2 a3n 2(1)求 和的通项公式;(2)记 和5n 及分别为和的前n 项和.证明：-a,求a的取值范围.2021年高考文数真题试卷(全国乙卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共12题；共51分)1.已知全集 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,N=3

7、,4,则 Cu(M U N)=()A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4)【答案】A【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】【解答】因 为11=1,2,3,4,5,集合乂=1,2川=3,4 则MUN=1,2,3,4,于是 Cu(M U N)虫5。故答案为：A【分析】先 求M U N,再 求Cu(M U N)。2.设 iz=4+3i,则 z 等 于()A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因 为iz=4+3i,所以Z=故答案为：C【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。3.已知命题p：xGR,s

8、 in x l,则下列命题中为真命题的是()c.p q D.(pVq)A-,-i命题的否定，命题的真假判断与应用命 题q也是真命题，【分析】先判断命题P，q的真假，然后判断选项的真假。4.函数 f(x)=sin+cosX的最小正周期和最大值分别是()A.3 和 B.3 和2 C,和 D.和2兀 丫2 K 6兀 迎 6兀【答案】C【考点】正弦函数的图象，y=Asin(3X+巾)中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值【解析】【解答】因 为f(x)=sin+COS=，所以周期 值域 L Li sin+3 7=答=6*-V 2,V 2.即最大值是V2,故答案为：C【分析】先 将f(x

9、)解析式化成 的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函4sin(cox+(p)数的性质，得到它的最大与最小值。5若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为()x +y 4(x-y 2y 3A.18 B.10 C.6 D.4【答案】C【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出线性约束的可行域(如图阴影部分所示区域)，故答案为：C【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。6.()R TZ 9 57rCOS-COS*=12 12A.B.C.D.V3V2吏2【答案】D【考点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】因为 c os-c os=匕 吧0_ +。依/=三

10、x _ c o s巧=三工 4 12 2 2 2、6 6 7 2故选D。【分析】由降基公式，可以化成特殊角的三角函数求值。7.在区间(0,)随机取1个数，则取到的数小于的概率为()A.B.C.3 2 14 3 3【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】由几何概型得：P=,L _ 2故答案为：B【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。8.下列函数中最小值为4的 是()A.B.C.y=x2+2 x +4 归位|+号 y =2*+2 2-*y|sinx|D.16D.y=lnx+【答案】c【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质,基本不等式【解析】【

11、解答】对于A：因为y=(x+l)2+3,则ym3;故A不符合题意;对于 B：因为，设 t=|sinx|(_)，则 y=g(t)=y =|s i M+岛 t o i t +j(o t i)由双沟函数知,函数y=g(t)=是减函数，所以ymin=g=5,所以B选项不符合;t +(O t 2y 2 之=4,2x=x =lx 2x 2即ymin=4,故C选项正确;对于D：当 时，0,故D选项不符合，x e(0,1)1 ,4yf+嬴故答案为：c.【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值,判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D举反

12、列说明其不符合。9.设函数，则下列函数中为奇函数的是()心)=缶A.B.C.D.fx-1)-1 K x-1)+1 K x+1)T K x+D+l【答案】B【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】对于A：因为h(x)=f(x-D-l,1(工 一2)则 h(-X)-1=:-2,4(-x)=一 ：-2,h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合;对于 B：因为 h(x)=f(x-l)+l,1-(X 1)则h(X)=h(X),所以h(X)是奇函数,故B符合;+1 =：,4(-%)=对于 C：h(x)=f(x+l)-l,则 h(-X)土 h(X),所以 C 不符=阳一1=W一2，

13、武 一 盼=一2,合;对 于 D：h(x)=f(x+l)+l,=洸言+1=崇5=则h(-X)工h(X),故D不符合.2-“+2,故答案为：B.【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算M-x),与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。10.在正方体ABCD-AiBiJDi中，P为BiD i的中点，则直线PB与AD i所成的角为()A.B.C.D.7T6【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】如图，连接A C,设AC与BD交于0,连接0Di,ADi,BP,设正方体的棱长为X,因为D iP|0B|B D闰DiP=B0=BD,所以四边形ODiPB是平行四边形,所以BP|ODi,所以1Z

14、ADO2即为所求的角，易证 平面BDDiBi,故 0%又，所以=.A0 1A0 1 AO=-AC=-AD,4 Di 工2 2 1 6故答案为：D【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。11.设B是椭圆C：.的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()9+*=1A.B.展C.D.2【答案】A【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由题意知 B(0,l),设 P(x,y)贝！J|PB|2=(x-0)2+(y-l)2=x2+y2-2y+：L=5(：l-y2)+y2-2y+：l=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+，因为 所以当 时，|PBm ax=，此时，|PB|max5-lyl

15、,v =_ l 5故答案为：A【分析】先写出B 的坐标，然后设任意点P（x,y）,再用两点间的距离公式，表示出|PB|,再用本文法计算|PB|的最大值即可。12.设a*0,若 x=a为函数,的极大值点，则（）Kx）=a（x-a）（X-b）A.ab C.aba2【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】当 a0时，若 a 为极大值点，则（如图1）,必有ab,aba2.故B,C项错；当 aba2,故 A 错。故答案为：D.【分析】对 a 的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分（共 4 题；共 17分）13

16、 .已知向量 a=（2,5）,b=（X）,若,则入=_ _ _ _ _ _.a/b【答 案】9【考 点】平面向量的坐标运算，平 面 向 量 共 线(平 行)的 坐 标 表 示【解 析】【解 答】因为一=(2,5),=(入,4),且 一,则a-a/h 2 x 4 52=0b则【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。14.双曲线 的 右 焦点到直线x+2y-8=0的距离为.Ui4 5【答 案】lV5【考 点】直线与圆锥曲线的关系【解 析】【解 答】由题意得，a2=4,b2=5,所 以 C2=a2+b2=9,所 以 c=3(c0),所以椭圆的右焦点是(3,0),则右焦点(3,0)到 直 线 x+2y

17、-8的距离为.,_ 134.2X0-91 _ 7F一 /l7+27-”【分 析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。15.记 ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,面积为，B=60,a2+c2=3 a c,则 b=.【答 案】2V2【考 点】余弦定理，三 角 形 中的几何计算【解 析】【解 答】S BC=-acsinB=-acsin60=ac=y/3=ac=4,2 2 4于是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,_b=y/a2+c2-2accosB

18、=Va2+c2 ac=2ac=2V2【分 析】根据面积的值，计 算 出 a c,再由余弦定理求解。16.以图为正视图，在 图 中 选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).【答案】或 【考点】由三视图还原实物图【解析】【解答】当俯视图为时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图；当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图，故答案为：或 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2

19、2、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.810.3 10.0 10.2 9.9 9.810.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5I日设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为Si?和 S2?x y（1）求，S?,S22；无 y（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著

20、提高（如 果-,则认为y尤新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）解：各项所求值如下所示=（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）=10.0y 2.(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36,.=x(10.0-10.3)2+3 x

21、(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.（2）由中数据得显 然-V2,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【分析】(1)先计算新旧样本平均数再直接用公式计算si2，S22；(2)由(1)中的数据，计算得：一-=0.3,2=0.3 4，显 然 一-/2因为底面PD 1 ABCD故四棱锥 的体积为P-ABCD 7=|x(lxV2)xl=【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）由 P

22、D垂直平面A B CD,及 PB垂直A M,可以证明 平面，从而可能AM 1 PBD证明平面 平面；PAM 1 PBD（2）由连接BD（1）可得，证明 通过计算，求出高，再用棱锥AM LBD A DAB ABM AD=体积公式直接得到答案。19.设 是首项为1 的等比数列，数列 满足，己知，3,9 成等差数列.5b n=吗%a2 a3q(1)求 和4的通项公式;(2)记和Sn分别为 和的前n 项和.证明:Tn2【答案】（1）因为 是首项为1 的等比数列且/%所以，所以，6a2 =%+9%6alq=%+9%q2,成等差数列,3a2 9a3即，解得，所以9q-6q+i=。q=l 册（犷所以（2）证

23、明：由（1）可得Sn所以Tn=；(1 _立_魇所以T 1=-fi )_a(1 _ 二_)=L 071 2 八 2-3n 八 3nJ 23n所以 7；7【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】由 ，成等差数列，列关系式等比数列 的公比q,进而得到%3az 9a3%an再由bn与an的关系求得bn；(2)先 根 据 条 件 求 得，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明 0)的焦点F到准线的距离为2.y2=2px(1)求C的方程.(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF求直线OQ斜率的最大值.【答案】(1)抛物线，的焦点，准线方程为

24、C：y2=2px(p0)F(P 0)x =-2由题意，该抛物线焦点到准线的距离为：_(一”P=2所以该抛物线的方程为“；y2=4x(2)设，则 一 一 ，Q。，%)PQ=9QF=(9-9x0-9y0)所以P(10 xo-9.10yo)由P在抛物线上可得,即(10yo)2=4(10 x0-9)所以直线 的斜率00 1 一 也 一 为 _ 如。_ X。一 _ 2 5 +910当 时，c ；y=0 kQ=0当 时,y0*0当 时，因为 _ _ _ _ _ _ _%25 y0+2 /25 yo-=3 0此时，当且仅当，即 时，等号成立;o L ；25 yo =*y0=1当 时，八；%0 o Q 综上，

25、直线 的 斜 率 的 最 大 值 为.0Q 1【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】(1)根据抛物线的几何性质，可求得P 的值，就可以写出抛物线的方程；(2)先设出Q 的坐标M(x,yo),在代入已知等式一 一，用(x,y。)表示出，再 代PQ=9QF P(1 0 xo-9,1 0 yo)入抛物线方程，推导出x。，y。的关系，再表示出0Q 的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。21.己知函数,/,(x)=%3-%2+a x+1(1)讨论 的单调性:作)(2)求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.y=f (乃 y=f (%)【答案】(i)由函数的解析式可

26、得：，f(%)=3 x2-2x+a导函数的判别式，4 =4-1 2a当 时，在 R上单调递增，d =4-1 2 a -/(%)之 ，/。)3当 时，的解为：4 =4-1 2 a 0,a 口孙=色3 6当时,单调递增;f(%)0 J(x)当 时,2-V4-12a 2+V4-12O.X 6(-6-6-)单调递减;f(x)0 J(%)综上可得：当 时,a 泞在 R上单调递增,当 时，在 上单调递增，在 上单调递减，在C 1/(X)(2 V 4 12iL.(2-4-12a-120-a,求a的取值范围.【答案】解:a=l时,f(x)=|x-l|+|x+3|,即求|x-l|+|x-3|26的解集.当 X”时，2x 十 2 26,得 X22;当-3 x6此时没有x满足条件；当 x-3 时-2X-226.得 x-a.A2-3 时，2a+3 0,得 a-；a-a,此时 a 不存在.3综上，a -.3【考点】不等式的综合【解析】【分析】(1)当a=l,写 出f(x)=|x-l|+|x+3|,进一步分段讨论去值，解不等式;(2)只要保证f(x).业)-a,而由绝对值的几何意义,即求x到a和-3距离的最小值.