2021年全国甲卷数学（理）高考真题文档版（含答案）.pdf

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1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=x 0 x 4,N =，x；W x 5),则McN=(3A .B .x x 4I C .x|4 x 5 D.1x|0 x 5 12

2、.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知(1 i)2z=3+2i,则2=()*,3.3.3.3.A.-1 1 B.1 +1 C.-F i D.-12 2 2 24.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五 分 记 录 法 的 数 据L和 小 数 记 录 法 的 数 据V的

3、满足第1页 共9页L =5 +l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（0,乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8 .2020年 12月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 48.8 6 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有4,B,C三 点,且 A,B,C 在 同 一 水 平 面 上 的 投 影 A,2,C 满 足 N A C B =45,N A B C =6

4、0.由 C点测得B点的仰角为1 5 ,BB与C C的差为1 00；由 8 点测得A点的仰角为45,则 A,k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281 8.（1 2 分）已知数列 对 的各项均为正数，记S,为 an的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列%是等差数列：数列、寓 是等差数列：4 =3%.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.1 9.（1 2 分）已知直三棱柱ABC-A4G中，侧面A 4 乃乃为正方形，A B =B C =2,E,F分别为AC和 CG的中点，。为棱A4上的点，B F J.（1）证明：B F DE；（2）当 耳。

5、为何值时，面与面0产后所成的二面角的正弦值最小？2 0.（1 2 分）抛 物 线 C 的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直 线/：X=1 交 C于 P,Q两点，且O P A.O Q.已知点M（2,0）,且0M与/相切.（1）求 C,的方程；（2）设 A，4,4是 c上的三个点，直线44,44均与0M相切.判断直线4A3 与G）M的位置关系，并说明理由.2 1.（1 2 分）r已知。0 且函数/（x）=F（x0）.a第4页 共9页（1）当a =2时，求/（x）的单调区间；（2）若曲线y =/（x）与直线y =l有且仅有两个交点，求a的取值范围.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任

6、选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程（1 0分）在直角坐标系x Oy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线C的极坐标方程为p =2A/2COS6 .（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足入户=夜4冠，写出尸的轨迹G的参数方程，并判断C与G是否有公共点.2 3.选修4-5：不等式选讲（1 0分）己知函数 f（x）=|x-2|,g（x）=|2 x +3|-|2 x-l|.(1)画出y =f(x)和y =g(x)的图像;(2)若/(x +a)2 g(x),求a的取值范围.第5

7、页 共9页2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学参考答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.A 1 0.C 1 1.A 1 2.D二、填空题1 3 5 x-y +2 =O1 01 4 .3 .1 5.81 6.2三、解答题（-）必考题1 7 .（1）7 5%；6 0%；（2）能.1 8 .方法一：待定系数法+a与 S“关系式设 其=cm+b（a 0）,则 S.=（即 十 J ,当=1 时，4 =S =（4 +人）2 ；当2 2时，an Sn-Sn_=（，7+b）（Q一a +Z?y =a（2an a+2b；因为 4也是等差数列，所以（o+

8、b）2=q（2 Q Q+2 Z?）,解得=0；所以4=/（2 1）,=/,故%=3/=3。1.方法二:待定系数法设等差数列%的公差为d,等差数列 底 的公差为4,则7 二西+（_ 1）4，将s“=加|+；代入6=8+（.一1）4,d 2（化简得3 +qn=7drr+（2新4-2 d：）+（一&）对于 V e N*恒成立.第6页 共9页d 2 d：,则有 0),则 S“=(an+b ,当 =1 时，q=S =(+Z?)2；当“N 2时、an=S -S _ =(Q+b一(t m +b)2=a(2an-a+2b 因为&=3 q,所以a(3a +溃)=3(a +b)2,解得b =()或 人=一 千；当

9、匕=0时，4=。2,4=0 2(2-1),当2 2时，广见=2/满足等差数列的定义，此时 4为等差数列；当人=-时，A/S=an+b=a n-a,J =-00不合题意，舍去.综上可知 2 为等差数列.方法二【最优解】：求解通项公式因为4=3 q,所 以 店=再，S=J q+4=2苑,因 为 疯 也为等差数列，所以公差 4 =y/2 si=i，所以=J +(相 一 1)4 =两，故 s“=2q ,当 2 2 时,a“=S“-S _|=-(“-I)?q =(2 一 1)4 ,当=1 时，满足上式，故 a.的通项公式为4,=(2一1)4,所以a,i =(2-3)4 ,4 T =2%,符合题意.19.

10、(1)因为 8/144，同8 1/A B,所以 3E_L AB.第7页 共9页又因为A B _ L B 4，B F c B B =B ,所以A 5，平面8。4.又因为AB =5 C =2,构造正方体A 5 C G 44G G，如图所示，过E作A B的平行线分别与A G BC交于其中点M,N,连接A M再N,因为E,F分别为A C和C G的中点，所以N是B C的中点，易证 R U B C F=Rt ABBN,则 Z C B F=/B B N.又因为NB B 1 N+/B|NB =90,所以N C 8 r +/B|NB =90 ,B F L B N.又因为BF1耳耳,8户p|AB|=片，所以9 _

11、L平面AM.又因为E D u平面A M N B 1,所以B F上D E.BQ=L 22 0.抛 物 线C：V=x,0M方程为。一2尸+）2=1；（2）相切设4（为弘），4（/，%），4（巧,必）若44斜率不存在，则4 A?方程为=i或%=3,若44方程为 =1，根据对称性不妨设A。），则过A与圆M相切的另一条直线方程为y =1,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A：,不合题意；若A A,方程为X =3,根据对称性不妨设4 （3,7 3）,A （3,G）,A则过A与圆M相切的直线4 A3为y G =半（X 3），又攵1 -1 -V 3 .乂，八3 一 ,一 仄 o 5-?3%天另+%1 3

12、+%3W=0,4（o,o）,此时直线44,44关于x轴对称，第8页 共9页所以直线A 2 4与圆”相切；若直线A 4，A 4，4 4斜率均存在,1 /、所以直线44方程为y x =m（x-x），整理得 x-（y+%）+%必 =。，同理直线A A的方程为 -（%+%）+X%=0，直线4 A3的方程为x-（%+为）+%=0，2+y,y21.小 与圆加 相 切,飞+厂整理得（才-1）只+2必%+3-弁=0，4 A 3与圆相切，同理（：1）+2%为+3y；=0所 以%，为为方程（弁 1）/+2 M+3）：=0的两根,v+v -_ 2 ZL V,V-2 z 2 i?i -1 y-iM到直线4A 3的距离为：|2+L|2+必必1:y：-i/1 +（必+%）2 J1 +（-7.一幅+1 1 。:+1二17（/-D2+4/弁+1，所以直线A 2&与圆M相切；综上若直线A&,A 6与圆M相切，则直线44与圆M相切.第9页 共9页