2021年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国甲卷解析.pdf

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1、2021年全国普通高等学校招生统一考试全国甲卷理科数学试卷一、选择题1.设集合用=|0;:4,N=x|g 4 x 4 5 ,则 M c N =（）A.1x0 x4；B.j x l g w d C.x|4x5 D.x|Ox0,乙：S,是递增数列，贝 i j()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2 0 2 0 年 1 2 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6 (单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.下图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A,B,C三

2、点，且 A,B,C在同一水平面上的投影A ,B,C 满足N 4 C B =4 5。，44 B C =6 0。.由 C点测得 8点的仰角为1 5 ,B 8,与 C C 的差为1 0 0：由B点测得A点的仰角为4 5 ,则 4,C两点到水平面4q。的高度差A 4 -C C 约 为(6=1.7 3 2)()ACOS(79.若a G 0,-j,tan2a=C.4 4 6D.4 7 32 si n a,则 tan a=()A.姮1 5喑R石o.-51 0.将 4个 1 和 2 个 0随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为()B.-5C-t1 1 .已知A,B,C 是半径为1 的球。的球面上的三个点

3、，且 A C L 8 C,A C=B C=,则三棱锥O-AB C 的体积为()A成1 2R GD.-1 241 2 .设函数f(x)的定义域为R,f(x +l)为奇函数，f(x +2)为偶函数，当x e l,2 时,/(犬)=以2+从若/(0)+/(3)=6,则/)二、填空题1 3 .曲线y =在二!.在点(-1,-3)处的切线方程为.x +21 4 .已知向量a=(3,1),5 =(1,0),c=a+心.若a _ L c,则=.1 5 .已知，居为椭圆C：+?=l的两个焦点，P，。为 C 上关于坐标原点对称的两点，且|P Q|=|耳周，则四边形WQ R 的面积为.1 6 .已知函数/(x)=

4、2 co s(o x +的部分图像如图所示，则满足条件力一/1的最小正整数x 为.三、解答题1 7 .甲、乙两台机床生产同种产品.产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0 0 件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？1级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(2)能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)1 8.已知数列%的各项均为正数，记 S 为 的前项和，从下面中选取两个作为条件，

5、证明另外一个成立.P(K.k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828数列 4 是等差数列；数列 底 是等差数列；%=3%.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.1 9 .已知直三棱柱4B C-A8c 中，侧面至与台为正方形.A B=3 C =2,E,F分别为AC 和 C 6的中点，。为棱4线上的点，(1)证明：BFA-DEx(2)当片。为何值时，面 8M G C 与面。F E 所成的二面角的正弦值最小？2 0 .抛物线C 的顶点为坐标原点。，焦点在x 轴上，直线/:x =l交 C 于 P,。两点，且 O P L O Q.已知点M(2,0),且 O/与/相切

6、.(1)求 C,Q M 的方程；(2)设A，4，A,是 C 上的三个点，直线A 4,A4均与。加相切判断直线44与 0M 的位置关系，并说明理由.2 1 .已知a 0 且 a 工1,函数/(x)=二(0).ax(1)当a =2 时，求 f(x)的单调区间；(2)若曲线y =/(x)与直线y =l 有且仅有两个交点，求”的取值范围.2 2 .【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系x Oy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 0=2 x/2 c os 0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足4

7、户=夜入病，写出P的轨迹G的参数方程，并判断C与G是否有公共点.2 3.【选修4-5：不等式选讲】已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2 x+3|-|2 x-l|.(1)画出y=/(x)和y =g(x)的图像；(2)若，(x +a)2 g(x),求。的取值范围.参考答案1.答案：B解析：本题主要考查集合的运算.因为集合 M=x|0 x4,N=x|；4 x 4 5，所以 M c N=x|g 4 x6.5.故C 项不正确.D 项，由图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户频率为(0.1+0.14+02*2)x1=0.640.5.故 D 项正确.因为是选择不正确的一项，故本题

8、正确答案为C.3.答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算.因为(l-i)2z=3+2i,所以z3+2i(1-i)23+2i1 -2i+i23+2i-2i3i+2i2-2+3i2=-l+-i2故本题正确笞案为B.4.答案：C解析：本题主要考查对数与对数函数.因为某同学视力的五分记录法的数据为4.9,所以在L=5+lgV 中令L=4.9,则 4.9=5+lgY,所以 lgV=-0.1,_ 1 1所以 y=i(r=0 10=-=-啊 1.259故本题正确答案为C.5.答案：A解析：本题主要考查圆锥曲线.因为月，名为双曲线C的两个焦点且|P用=3|P用,PFt-PF2=2a,所以|P用=3a,|P6

9、|=a,又 H P*=60,由余弦定理，在A片 尸 鸟中,cos ZFPF2=(34)2+/-(2。)22 x 3。x。2整理得八2 A故本题正确答案为A.6.答案：D解析：本题主要考查空间几何体.根据题意，所得多面体如图所示，故侧视图应为D选项所示的图形.故本题正确答案为D.7.答案：B解析：本题主要考查等比数列和充分条件与必要条件.充分性：若4 0,当 0,即%0，又因为“为等比数列，所以 4 0,0,必要性成立.综上所述，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故本题正确答案为B.8.答案：B解析：本题主要考查三角函数模型的简单应用.由已知有 3 =100,NBCH=15。,所以tanl50=迫

10、=2-6，CH所以C”=-、=。夕,2-V3BNCB 100V2 e 2-G)100=E =团3,cosl5 V6+V24所以 A 4-C C=AW+8 =273+100=373.故本题正确答案为B.解析：tan 2a=心 2-sin a-2 tan a 2 sin a cos a cos atan 2a=-z-=s-=-1-tan a cos a-sin a 2-sin a2sin a(2-sin a)=cos2 a-sin2 a,/.4 sin a-2sin2 a=cos2 a-sin2 a=-2sin2 a,1/.s i n a =一，41 0.答案：C解析：本题主要考查排列与组合和古典

11、概型.将4个和2个0排成一列，共 有 岑7=_0 =1 5种方法，A：A；4!x 2!若2个0不相邻，则只需要考虑将2个0插入到4个1形成的5个空中即可，共有C；=1 0种方法，所以2个0不相邻的概率为P=-=.1 5 3故本题正确答案为C.1 1 .答案：A解析：记O为4,B,C所在圆面的圆心厕小?A BC.又 AB=Ji,所以J O A?-。所以%=*.故选A.1 2.答案：D解析：本题主要考查函数的概念与性质.因为f(x +l)为奇函数，所以f(-x+l)=-/(X+1),所以，(x)关于(1,0)中心对称，则/=0.因为/(x+2)为偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2),所以/(x

12、)关于x =2 轴对称.由 f(-V+1)=-f(JC+1)得/(-x+2)=f(x)所以 f(x+2)=-f(x)，所以/(X+4)=-/(x +2)=/(x),所以/(x)的周期为4,则了又因为f(0)=-f(2)，/(3)=/(1)=0,所以/(I)一/=6,即/(2)=-6,f(i)=a+b=0/(2)=4 +6=6解得b=2所以，当X G1,2时，f(x)=-2x2+2,所以9)=52故本题正确答案为D.1 3 .答案：5 x-y+2=O解析：本题主要考查导数在研究函数中的应用.令丫=/(幻=生 三x+22(x +2)5 与 5-=2-x+2 x+2所 以/)=5(x +2)2当x

13、=-l 时,5(-1 +2)2/(-1)=5 ,所以斜率=尸(_ 1)=5,因为该切线经过点(-1,-3),所以该切线方程为：j-(-3)=5 x-(-l),即：5 x-y +2 =0.故本题正确答案为5 x-y+2 =0.1 4.答案：3解析：c =(3 +Z/)，a c =0 o 3(3 +Z)+l =0.所以人1 2.31 5 .答案：8解析：本题主要考查圆锥曲线.如图所示，根据题意得P O =QO，FtO=F2O ,所以四边形PFXQF2为平行四边形.2 2因为椭圆C:+匕=1,1 6 4所以 =4,b2=4,c2=1 2 c=2-J3,因为|P Q I=|耳引，所以平行四边形 尸 耳

14、 为矩形.设 PK=，PF2=n,rrrM f2+/?2=4t?2=4 X 1 2 =48所以 ，?+=2。=2 x 4=8(z n +n)2-(nr+/)所以mn=-=2所以 S PF1QF、=m n 8 .故本题正确答案为8.1 6.答案：2解析：本题主要考查曲线与方程.由题意可知，函数的周期为7 =包-工I 1 2 3)4r-r-I X I 2 兀 2 兀 _所以 69 =2 ,T 7 1所以 f(x)=2 c o s(2(+(p),因为了(等 卜 2 c o s(等+9)=2,1 37 r所以-+0 =2 兀+2 也(匕,女e Z),所以 0 =4-2 E(Z e R),所以原式可化简

15、为(/(x)-1)/(%)0 ,所以或/(幻 0,所以 2 c o s(2 x 一.)1 .当2 c o s(2 工一今)0 时,得到2+2 E 2 x-3 型 +2 碗(攵 2),2 6 27 T 57r解得+AKX 1 ,即 c o s 2 x-V ；时,得至U-+2 E 2X 巴 巴+2 E(Z Z),3 6 37T jr解得-+ku x 6.63 5 ,则有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.解析：1 8 .答案：，f 证明：设等差数列 4 的公差为d因 为 出=3%,所以q+d =3q.则d=2Oj.所以仁 n(n-1),/八 2Sn=na+-a=叫+n(n-

16、1)%=几%.所以府-(-1)用=y所以#:是 首 项 为 百，公 差 为 百 的等差数列.解析：19.答案：(1)以B为坐标原点，BC延长线为y轴，BA延长线为x轴，8用延长线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 耳，%B H AB L BB、,所以71B_L平面所以 AS_LBC,则 5(0,0,2),0,2,1),设。(a,0,2),(1,1,0),所 以 乔=(0,2,-1),DE=(1-a,1,-2),所以 B片.=2-2 =0,所以B F LD E.(2)如 图(1)的空间直角坐标系，则 A(2,0,0),C(0,2,0),E(l,l,0),F(0,2,l),B,(0,0,2

17、),设 O(a,0,2),其中 0 4 a 4 2,则 前=(-1,1,1),FD=(a,-2,1),设平面DEF法向量为，”=(x,y,z),则1 x+,+z ,令工=3,则丫=。+1,z=2-a,a r-2 y +z=0所以帆=(3,a+1,2-a),同理可知平面8C C M的法向量为=（1,0,0），设平面BC G q与平面OE尸的夹角为e,则 s in2 g=l-cos 2。，cos，=|cos（/n,n）|=/3I 机 I I I j9 +3+i y+（2 -433/3 限=，,=+丁=1.设A（固,%），&（#,%），4（,2），若%=1 ,此时过A作圆M的两条切线分别为直线/和直

18、线y =%,其中直线了=%与 抛 物 线C只有A一个交点，不符合题意，因此因为爪型=4 4=%-M%+X所以直线A4的方程为：-%=一（x-y；），%+y 整理可得：%一（%+%力+%=0,同理可得，直线AA的方程为：*-(%+%)+%=0，直线A2 A 3的方程为：x -(M +必)y+y 2 =，由题意得，点M到直线AW的距离4=/2+迎 了=1，/+(%+%整理可得，(J o-1)y；+2%x +3 -y：=(),同 理 有,(y 1)+2%+3-必=0，根据韦达定理有：%+%=-孕、，%必=答，J o-1%-1此时点M到直线A,4的距离/=+=(y：T +3 _.虫=.J|+GEJMJ

19、#；-1)2+(-2 因此直线&A,与圆加相切.解析：2 1.答案：(1)当a=2时，力=*，上,、2x-2v-A:2-2X I n x x(2-xn 2)/(x)=,J22X T当 时，fx)0；当 X 1 j,+oo|时，f(x)0在(0,+Q O)上恒成立,所以晨x)在O+oo)上单调递增，不可能有2个零点，舍去.所以a 1,令 g(x)=。得至Ux =-,并且当 时,gx)0；当了(-,+0 0)时;g(x)o，0,令/z(x)=x-elnx，X G(1,-KX),所以 hx)=1 一 =-,x x所以当 x w(l,e)时，hx)0 ,所以函数g(x)在(l,e)上单调递减，在(e,

20、E)上单调递增，所以(x)而n=(e)=0，所以若/i(q)0 ,则。e(l,e)D(e,+oo).综上所述，实数。的取值范围是。c(l,e)u(e,+oo).解析：2 2.答案：(1)由2=2，5 cos。得 =2夜pcos。，即 x2+y2=2A/2X,整理得(X 血 +丁=2.(2)设P的坐标为(x,y),则Q =dy),因 为 入 户=血 血，所 以 汨=在(尢一1),注 ,I 2 2)所以 今_ 1+,冬，因为M为C上的动点，所 以(旦 _ 也+1_ +y=2，2 2 J 2)化简得(X +0 3)2 +丁=4,即P点的轨迹方程G为(X +血-3尸+丁=4,化成参数方程为卜=3 +2 c o s ”夜，y =2 s i n/圆心 C(3-0,O),12,C(V 2,0),r=4 1,因为 0+及 3-夜+2,3-尤-22)U2)如图所示.由 得 A x)；了T2-x (x g(x),则要满足/(x +a)2 g(x),需。0,f(x +a)x +a-2,当函数y=|x+a-2|的 图 象 过 点 时，；+。一2=4,解得a=U 或=2 2根据图象可得若/(%+a)2 g(x),则心 日,B J a e U,+oo.解析: