2021年上海市虹口区高考数学二模试卷（学生版+解析版）.pdf

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1、2021年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填 空 题(16题每小题4分，712题每小题4分，本大题满分54分)1.(4 分)已知集合4=丁|丁 =10 ,x eR ,B=yy=x2,啜*2,则 4 nB=-、3 -12.(4 分)l i m-=.3 +13.(4分)在(x +)6的二项展开式中，常数项为一.4.(4分)某班级要从4 名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于.5.(4分)给出下列命题：若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这

2、个平面垂直，则这两条直线互相垂直.其中所有正确命题的序号为.6.(4 分)已 知 P为抛物线C:/=2p x(p 0)上一点，点 P到抛物线C的焦点的距离为7,到 y 轴的距离为5,则=.7.(5分)若 s i n 9=A c o s。，则s i n 6-8s e的 值 等 于.(用4 表示)8.(5 分)设 函 数/(x)的 定 义 域 为。.若 对 于。内 的 任 意 为，x2(x,x2),都有(x2-x,)/(x2)-/(x,)0,则称函数/(x)为“Z函 数 有 下 列 函 数：f(x)=l；,/(%)=-2x 4-1；f(x)=V；/(x)=/g x.其 中“Z函数”的序号是(写出所

3、有的正确序号)9.(5 分)己 知 直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18(0/).若该三棱柱的所有顶点都在球。的表面上，则球O的体积等于(cm3).10.(5 分)在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，定 义 A(x y,),必)两点的折线距离J(A,B)=|A1-x2|+|y1-j2|.设点尸(M,n2),Q(m,n),0(0,0),C(2,0),若 d(P,O)=l,则d(Q,C)的 取 值 范 围.11.(5 分)已 知 MN为 圆 Y+y 2=i 的 一 条 直 径，点P(X)的坐标满足不等式组x-y+2,0-3x+y+O.O,则 PA八 所 的 取 值 范 围 是.%212

4、.（5 分）在数列 4 中，对任意 eN*,an=k,当且仅当2。0 且 1,t e R,已知函数/(=1。8“(+1),g(x)=21og“(2x+/).(1)当f=-l 时，求不等式/(x),g(x)的解；(2)若函数F(x)=)+疗-2 f+l 在区间(-1,2 上有零点，求 t 的取值范围.19.(14分)如图某公园有一块直角三角形A8C的空地，其中NACB=工，Z A B C =-,A C2 6长。千米，现要在空地上围出一块正三角形区域D 建文化景观区，其中。、E、P 分别在 BC、AC、AB 上.设 Z D E C=e .(1)若，=&，求 ADEF的边长；3(2)当，多大时，AD

5、F的边长最小？并求出最小值.20.(16分)已知椭圆C 的方程为丁+丁=1.(1)设 M(x”，y“)是椭圆C 上的点，证明：直 线 孝+%y=l 与椭圆C 有且只有一个公共点；(2)过点N(l,&)作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、8,点 N 在直线河上的射影为点Q,求点。的坐标；（3）互相垂直的两条直线4 与4相交于点p，且、6都与椭圆C只有一个公共点，求点P的轨迹方程.2 1.（18分）若数列 a,J 满足“对任意正整数i ,/,j,都存在正整数3 使 得%=qq”,则称数列 4 具 有“性质尸”.（1）判断各项均等于。的常数列是否具有“性质尸”，并说明理由；（2）若公

6、比为2的无穷等比数列%具 有“性质P”，求首项q的值；（3）若首项q=2的无穷等差数列%具 有“性质P”，求公差”的值.2021年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填 空 题（16 题每小题4 分，712题每小题4 分，本大题满分54分）1.（4 分）已知集合 4=y|y=10,xeR,B=yy=x2,啜k 2,则 峭，=口【解答】解：.A=y|y 0,3=y|瑜 少 4,始8=口，4.故答案为：1,4.3-12.（4 分）lim-=1 .一 3+1-3 _ 1 3+1 2 2【解答】解：lim-=lim:-=l-lim（-）=1-0=1 ,M-+O 0 3+3+1 “T8 3

7、+1故答案为：1.3.（4 分）在（尤+1）6的二项展开式中，常 数 项 为 20.X【解答】解：（X+，）6的展开式的通项公式为（”=墨./3,X令 6-2 厂=0,求得厂=3,.展开式中的常数项等于C；=20,故答案为：20.4.（4 分）某班级要从4 名男生和3 名女生中选取3 名同学参加志愿者活动，则选出的3 人中既有男生又要有女生的概率等于-一 7-【解答】解：某班级要从4 名男生和3 名女生中选取3 名同学参加志愿者活动，基本事件总数 =C；=35,选出的3 人中既有男生又要有女生包含的基本事件个数胆=G-仁-C；=30,则选出的3 人中既有男生又要有女生的概率：m 30 6I -

8、=-.n 35 7故答案为：75.（4 分）给出下列命题：若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.其中所有正确命题的序号为 .【解答】解：对于，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；对于，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；对于，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故正确.其中所有正确命题的序号为.故答案为：.6.(4 分)已 知

9、 P 为抛物线C:y 2 =2 px(p 0)上一点，点 P 到抛物线C 的焦点的距离为7,至!1 y 轴的距离为5,则 =4 .【解答】解：已知尸(x,y)为抛物线。：2=2*(0 0)上一点，点尸到抛物线。的焦点的距离为7,到 y 轴的距离为5,所以：x+=7,2整理得5 +2=7,2解得：p=4.故答案为：4.7.(5 分)若 s i n8 =A c os，则s i n，-8 s。的值等于 .(用左表示)j +-【解答】解：由 s i n6 =%c os。，得 s i n。-c os，=4?cos?sin10+cos2 d_ kcos20 _ kk2cos20-cos20 k2+1故答案

10、为：k2+8.(5分)设 函 数/(x)的定义域为。.若 对 于。内的 任 意 占，占(为二马)，都有(x2-x,)/(x2)-/(x,)0,则称函数f(x)为“Z函数”.有 下 列 函 数：f(x)=l；f(x)=-2x+；f(x)=f；f(x)=lgx.其 中“Z函数”的序号是 (写出所有的正确序号)【解答】解：由题意，不妨设司马，所以马%()因为Q -J q)/(x2)-/(xl)0,所以/(.)-/(&)0,即/(玉)/)，所以f(x)为增函数，即增函数为“Z函数”对于,f(x)=l为常量函数，对任意X 1 ,七，都有(-4)(工 2)-故不是 Z函数”；对于，/(x)=-2 x +l

11、是 R 上的减函数，不符合题意，故不是“Z函数”；对于，幻=是 A上的增函数，符合题意，故是“Z函数”；对于，,f(x)=/g x 是定义域(0,+oo)上的增函数，符合题意，故是“Z函数”.故答案为：.9.(5分)已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于1 8(c w?).若该三棱柱的所有顶点都在球 O 的表面上，则球O 的体积等于 竺 也 (c l).-3 -【解答】解：如图，.三棱柱A8C-A4G 是直三棱柱，且所有棱长都相等，该三棱柱的顶点都在球O 的表面上，且三棱柱的体积为1 8,设三棱柱的棱长为。，贝 lj1 x ax ax s i n6 0 Ox a=1 8 ,2解得a=2 0 分别

12、设上下底面中心为,Q，则 4Q 的中点。即为三棱柱外接球的球心，Q A =|(2 心)2-(百 3 =2 ,球的半径 R=8 6 2 +O O；=x/4 +3 =V 7 ,则球O 的体积等于7 x()3 =身立乃.3 3故答案为：2 8 式.10.(5 分)在 平 面 直 角 坐 标 系 xQy中，定 义 A(XI,y),B(x2,y?)两点的折线距离dA,B)x,-x2 +yx-y2.设点尸(疗,tv),Q(m,n),0(0,0),C(2,0),若 d(P,O)=l,则d(Q,C)的取值范围 1-2+后【解答】解：由题意可知,d(P,O)=m2+n2=l,dQ,C)=m-2+n,即点(见)在

13、以原点为圆心，半径为1 的圆上，则有?-2 0,当.0 时,dQ,C)=m-2+n=2-m+n,d(Q,C)-2 为直线y=x+d(Q,C)-2 与 半 圆/+y2=i(y1.0)有公共点时的纵截距，当直线与半圆相切时.，”(Q,C)-2取得最大值，此时“=-亚，n=,一 2 2即 d(Q,C)mav=2-(-y-)+=2+V2.当机=1,=0 时，d(Q,C)2取得最小值，此时d(Q,C)加“=2 1 +0=1,当几，()时，d(Q,C)=m-2+n=2-fn-n,2-1(。,0 为直线=一 工 一 (。,。+2 与半圆/+尸=1(为 0)有公共点时的纵截距，当直线与半圆相切时，2-(Q C

14、)取得最小值，此时机=-等，即“(Q，C)“=2-(-等)一(-)=2+&当%=1,=0 时，2-d(Q,C)取得最大值，此时4(。,C)而“=2-1-0=1,故 d(Q,C)的取值范围为1,2+72.11.(5 分)已 知 为 圆 f+丁=1 的 一 条 直 径，点 p(x,y)的坐标满足不等式组x-y+2,0 3x+y+1 0.0,则 丽 的 取 值 范 围 是.以 2x-y +2,0【解答】解：由不等式组上x+y+10.0 作出可行域如图，M，2PM PN=(OM-OPy(ON-OP)=OP-=x2+y2-,.,.当x=Y,y=2时，PM 尸N取最大值19,当x=_ l,y=l时，丽 两

15、 取 最 小 值 为1.PM,PM的取值范围是1,19.故答案为：口，19.12.(5分)在 数 列 中，对任意 e N*,an=k,当且仅当2。”2川，k e N ,若满足4“+%“+/+/”+-32.则，的最小值为 512【解答】解：不妨设2*,5 2*,k e N*,in w N*,由题意可得，a,=k,因为 2 7,2 m 0 且 a w l,t GR,已知函数/(不)=108(+1),g(x)=21og“(2x+/).(1)当1 =-1时，求不等式/(戏,g(x)的解；(2)若函数/(功=+/-2 f +l在区间(一 1,2上有零点,求，的取值范围.【解答】解：(1)当 1 =-1

16、时,不 等 式/(X)g(x)可化为lo g/x+1),2k)g“(2x-1),当0 a l时，则有卜+L(2 x-1/，解得1 0 2 4所以不等式/(x)g(x)的 解 集 为：当a l时，则有 0 4所以所以不等式f (幻,g(x)的解集为-,+=0).4综上所述，当0 1时，所以不等式/(x),g(x)的解集为W,+O0).4(2)函数/+令状2+*_2+2=0,即X2-2)=-(X+2),因为x e(-l,2 ,所以x+2 e(l,4,所以rwO,X2-2 0,1 r2-2 9故_ =-=4(X+2)+1 +4,t x+2 x+21 2设?=x+2w(l,4,则有一 二 一。+)+4

17、,t m故！w2Xw又 亨+H=1,所以有=(),从而方程组只有一组解,所 以 直 线 号+%y =l 与椭圆C有且只有一个公共点.(2)设 4(,.),B(X2,%)，则两条直线为等+yy =l ,+y2y=,又 NQ,壶),是它们的交点，所以.+应 y=l,5+夜%=1，从而有4(X1 ,yj,B(X2,%)的 坐 标 满 足 直 线 方 程 夜 y=i，所以直线他的方程为5 +0y =l,直线NQ 的方程为y-垃=2 0(x-l),+42y=1 2 J?J2由 2 ,得 X-,y=,即 Q/,),y-/2=2y/2(x-1)3 3 3y y/2=k(x 1)由 V 2 1,一+y=11

18、2得(1 +2k2)x2+4&(应-k)x+2(72 一 A)?2 =0 ,由=(),得/+2&%-1=0,解得 k=/2?).(3)设产(玉)，),当直线 与4有一条斜率不存在时，尸(士正，1),*+尤=3,当直线 与4有一条斜率存在时，设为匕和网,y-y0=k(x-x0)由 V 2 .+V =12 -得(1 +4%(%kxQ)x+yj 2.kx()y0 1)=0,所以=4(%-f c r0)2-4(1 +2 4).2 .(I 片+4-25%T)=0，整理得(2-片 正 +2x0y0k+1-=0,片 w 2 ,所以左，网是这个方程的两个根，所以桃2=-1,2 一%所以片+y；=3 ,所以点P

19、 的轨迹方程为/+V=3 .2 1.(1 8分)若数列 4 满足“对任意正整数，),i/，都存在正整数k,使得4=q z/,则称数列”“具 有“性质尸(1)判断各项均等于a 的常数列是否具有 性质产，并说明理由；(2)若公比为2的无穷等比数列 见 具 有“性质P”，求首项q的值；(3)若首项q =2的无穷等差数列 q 具 有“性质尸”，求公差d 的值.【解答】解：(1)若 数 列 具 有“性质产”，“对任意正整数i,j,iwj,都存在正整数3使 得%=a,%”,所以。=6,所以a=0 或 1,故当a=0 或 1 时，各项均等于a 的常数列具有“性质P”；当a*0 且a x l 时，各项均等于的

20、常数列不具有“性质尸(2)对任意正整数i,j,i*j,都存在正整数&,使 得%=。勺,即q T=q.2 i.q.2/T,所以 4=2*+I F,令人+1 ，一/=m e Z,贝l j q=2 ,当?一 1 且帆 e Z 时，an=at-2-=,对任意正整数i,j,i*j,由=4%,得2，+1=2，+1.2 缶，所以=i +j+m-,而i+/+a-l是正整数，所以存在正整数%=i +j +m-1,使得见=成立，数列具有“性质P”;当，7 4,-2且 7eZ时，取i =l,j=2,则,+/+m-1 =2+阳,0 ,正整数人 不存在，数列不具 有“性质尸”，综上所述，q =2 ,一1且m e Z .

21、(3)因为4 =2 +(-l)d,所以若对于任意的正整数，?，存在整数k,使得a*=q z,成立，则1=1-对于任意的正整数，存在整数k、和k2,使 得%=a,-%=4%,两式相减得，da“=(&-匕)”，若d=0,显然不合题意，若 d#0,得=玲-勺，是整数，从而得到公差d也是整数，当“4=22 ,m +1d 2 +72 m -F 1 d由4 9m 片 4,所以不存在正整数k使得4日=4成立，从而0时.，不具有“性质尸当4 =1时，数列2,3,4,.,n+,对任意的正整数i,j,i于j,由4=q-a/，可得出+l =(i+l)(/+l),可得 =7+/+),而 i +j+4 是正整数，从而数列具 有“性质P”；当=2 时，数列2,4,6,，2n,，对任意正整数i,由4 =%,可得2k=2i-2j,即A=2),而期是正整数，从而数列具有“性质P”.综上可得，=1 或 d=2.