2021年上海市金山区高考数学二模试卷（学生版+解析版）.pdf

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1、2021年上海市金山区高考数学二模试卷一、填 空 题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.（4 分）已知集合人=1,2,3,4 ,集合 8=2,3,?,若 4 0|8=2,3,4 ,则m=.（2 0 4、2.（4分）若关于x,y的二元一次方程组的增广矩阵为0 2,则x-.3.（4分）不等 式 上.0的解集是1-X4.（4分）若直线/的参数方程为，今。为参数，re R），贝也在y轴上的截距为.5.（4 分）若 *=。+i（a、b w R ,i为虚数单位），贝 lja +b=_ _ _.i6.（4分）某圆锥

2、的底面积为4万，侧面积为8万，则该圆锥的母线与底面所成角的大 小 为 一.7.（5分）若 正 方 形 的 边 长 为1,记,后，BC =h,A C =c,则|。+涕-3，：|=.8.（5分）一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为一.9.（5分）若首项为1、公比为!的无穷等比数列的各项和为S,S,表示该数列的前”项和，3则 li m（5 +S2+.+S,-nS）的 值 为.一 810.（5分）函 数y =k）g （x +3）-l（a Hl,a 0）的 图 象 恒 过 定 点A ,若 点A在直线

3、1?/nr+ny +1 =0.h,其中加0,H0,则一+的 最 小 值 为.m n11.（5分）若函数/（x）=（l +si nx）2M +（l_ si nx）2M,其中 互 融 ,则f（x）的最大值为_ _6 312.（5分）已知向量。与5的夹角为6 0。，且|加|=25|=2,若e =+其中/1 +2 =2,则向量G在C上的投影的取值范围为一.二、选 择 题（本大题共4 小题，满分20分，每小题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.（5分）函数y =2co s2x（x e R）的最小正周期为（）J TA.B.乃 C.2兀 D.4 42

4、14.（5 分）下列命题为真命题的是（）A.若直线/与平面a 上的两条直线垂直，则直线/与平面a 垂直B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D.若直线/上的不同两点到平面a 的距离相等，则直线/与平面c 平行15.（5 分）设 A、3 为圆V+y J l 上的两动点，且 NAQB=120。，P 为直线/:3x 4y 15=0上一动点，则I而最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.616.（5 分）已知定义在实数集已上的函数/（X）满 足/（x+l）=；+/（x）-/2（x）,则/（0）+/（2021）的最大值为（）.1 口 3 ,

5、V2 八 虎A 一 B.-C.1-D.1 4-2 2 2 2三、解 答 题（本大题共有5 题，满 分 76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（1 4 分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重 视锻炼.通过“小步道”，走 出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-8-C-A 为某区的一条健康步道，AB、AC为线段，BC是以8 c 为直径的半圆，AB=2y/3km,A C =4ktn,Jt/B A C =-.6（1）求 3 C 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C（B,。在

6、 4 c 两侧），其中4 5,CQ为 线 段.若 N4OC=匹，求新建的健康步道3的路程最多可比原有健康步道A-3-C 的路程增加多少长度？（精确到0.01加）D1 8.（1 4分）在长方体A B C O-A B C 中，AB=BC=2,过8三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体A 3 C D-A G R,且这个几何体的体积为1 0.（1）求棱A A的长；（2）求点。到平面ABG的距离.1 9.（1 4分）已知抛物线r：V=8 x的焦点为F,半径为1的圆加的圆心位于x轴的正半轴上，过圆心M的动直线/与抛物线交于A、3两点，如图所示.（1）若圆M经过抛物线的焦点F,且圆心位于焦点的

7、右侧，求圆M的方程；（2）是否存在定点M,使得 一+为定值，若存在，试求出该定点M的坐标，若MA MB不存在，则说明理由.2 0.(1 6 分)在数列 曲 中，已知 m=2,an+an2an-an+(C N*).(1)证明：数 歹(I 2-1 为等比数列；an(2)记 加数列 加 的前n项和为S n,求使得sn 1.9 9 9的整数n的最小值;2n(3)是否存在正整数机、k,且“2成立，求实数r的最大值.-/(X,)-/(%,)2021年上海市金山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填 空 题（本大题共有12题，满 分 54分，第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分）考生应在答题

8、纸相应编号的空格内直接填写结果.1.（4 分）已知集合人=1,2,3,4）,集合 8=2,3,m,若 人|8=2,3,4,则?=4.【解 答 解：A =1,2,3,4）,8=2,3,m,A p|B =2,3,4）,=4.故答案为：4.（2 0 4、2.（4分）若关于丸，y的二元一次方程组的增广矩阵为0 2,则x-v=0 .【解答】解：关于X,y的二元一次方 程 组 的 增 广 矩 阵 为:；），即 产;，解得 y =2 ），=2所以 x-y =2-2 =0.故答案为：0.3.（4分）不等 式 上.0的 解 集 是 _*|0,*1 _.1-Xrf 1 一 W （）【解答】解：不等 式 上.0等价

9、于 八，1-x x（x-l）0解得Q,x l,即不等式的解集为 x 0,x l 故答案为：x|Q,x 84【解答】解：首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为5=1 =?,31-q 1_1 231 -（；）3 3S”表示该数列的前项和，S=5-=士-一二，.I1-2 2-33 c c 3 3 1 1 、3 3 3(1-(3r)3Z 1、+S)+S“-nS =-n+)n=-；=(1),2 2 2 3 32 3 2 2.1 4 31-33 1 3所以 lim(S,+S2+.+S-nS)=lim-(l-一)=-.n-8 4 3”4故答案为：-3.410.（5 分）函 数 y =lo g,（x +3）

10、1（aw l,a 0）的 图 象 恒 过 定 点 A ,若 点 A在直线I 7mr+y +l=0 上，其中m 0,0,则上+*的 最 小 值 为 8m n【解答】解：.X=一 2 时，y=logn 1-1 =-1,/.函数 y=log(x+3)-l(a 0 ,a w l)的图象恒过定点(一 2,-1)即 A(-2,-l),，,点A 在直线nu+y+l=0 上,/.2m 7 2 +1 =0,即 2m+n=1,/n0,n 0,1 i 2 =(z 1 i2、)(-2/x _ n 4/w._ ,n 4mH+)=2 H-1-f-2.4+2、一 =8 tn n m n tn n m n当且仅当机=1,=!

11、时取等号.4 2故答案为：81 1.（5 分）若函数，3 =（1 +疝 X产+（1_日 1 产，其中四轴,则/的最大值为6 3【解答】解：函 数 加 2nx）（牌等,则 r(X)=2021 cosX(1+sinx)2020 202lcosx(l-sin 力20 20,当/（X）=0 时,解得 sin x=9 解得 x=9由于三谈k .6 3故sinx在军张收 生 上 恒 大 于 0,6 3所以 当/（x）0时,x e6 2当r（x）o时，*呜，争，所以当X=时，函数/（X）取得最大值，/（X）的最大值为/）=（1 +1）202,=2诬，故答案为：2221.12.（5 分）已知向量。与5 的夹角

12、为60。，且|/力=2|利=2,若e=/ld+b,其中2+2 =2,则向量&在 上的投影的取值范围为【解答】解：如图所示,cB设 O A=a,O D =2d,O B=b,O C =c,X+2ju=2,；+=1 ,X c=Aa+/nb_ _ _OC=-O D +JLIOB,.C在直线 上，当值与乙同向时，即C与O重合时，a在5上 的 投 影 最 大 为|七0$0=1 ,作O C/B D,此时1在5上的投影为|利0$m=-/,但取不到，1在 0 上的投影最小值大于-工，21在上的投影的范围为（-；，ij,故答案为：（-1J.2二、选 择 题（本大题共4 小题，满分20分，每小题5 分）每题有且只有

13、一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.（5分）函数y=2cos2x（xeR）的最小正周期为（）T TA.B.n C.2万 D.472【解答】解：函数），=2cos2x（xeR）的最小正周期为 学“，故选：B.14.（5分）下列命题为真命题的是（）A.若直线/与平面a上的两条直线垂直，则直线/与平面a垂直B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D.若直线/上的不同两点到平面a的距离相等，则直线/与平面a平行【解答】解：对于A,若直线/与平面a上的两条直线垂直，只有当平面a上的两直线是相交线时，才有直

14、线/与平面。垂直，故A错误；对于8,若两条直线同时垂直于一个平面，则由线面垂直的性质得这两条直线平行，故8正确；对于C,若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面相交或平行，故C 错误；对于。，直线/上的不同两点到平面a 的距离相等，设 A、B 是直线/上两点，若两点A、B 在平面a 的同侧，则/a,若两点A、3 在平面。的异侧，且线段4?的中点在a 上，则/与a 相交，故。错误.故选：B.15.(5 分)设A、3 为圆V+y 2=l上的两动点，且 NAQB=120。，P 为直线/:3x 4y 15=0上一动点，则I而+P月I最小值为()A.3 B.4 C.5 D.6【解答】解：设 4?的中

15、点为。，由平行四边形法则可知对+方=2而=2(丽-丽)，由 圆 的 性 质 可 得 圆 O 的半径为1,NAO3=120。，可得OD=L2OP的最小值即为点o到直线I的距离：a=3,V9+16所以当且仅当O,P,。三点共线时，|丽+丽|取得最小值，所以|丽+函臼3函3函-1函)=2%)=5.故选：C.16.(5 分)已知定 义在实数集/?上 的 函 数 f(x)满 足/(x +l)=g+J f(x)-f2(x),则(0)+/(2021)的最大值为().1 0 3、啦 C I 夜A.-B -C.1-D.1H-2 2 2 2【解答】解：因为/(x+l)=g+j/(x)_广(X),所以(X+D-,令

16、 g(x)=(x)-3 2,则有 g(x+l)=q _ g(x),2 4故 g(x)+g(x+l)=!，4所以 g(x+l)+g(x+2)=，4一可得，g(x+2)=g(x),故 g(2021)=g(1),所以 g(O)+g(1)=g(0)+g(2021)=1,fip/(0)-i 2+/(2021-I)2=1,4 2 2 4由(O)+/(2021)-2 /(1)-1+1/(2021)_ 孑 =J ,即(0)+7(2021)故/(0)+/(2021)1+-,当且仅当/(0)=/(2021)时取等号，所以/(0)+”2021)的最大值为1 +m.故选：D.三、解答题(本大题共有5 题，满分76分)

17、解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(1 4 分)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走 出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-3-C-A为某区的一条健康步道，4 5、AC为线段，8 c 是以为直径的半圆，AB=2 k m ,A C =Ahn,T CZ B A C =.6(1)求 BC的长度；(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C(B,。在 AC两侧)，其中A D,CD为线 段.若 N A Z)C =巳，求新建的健康步道3A-D-C的路程最多可比原有健康步道

18、A-8-C的路程增加多少长度？(精确到0.01初?)【解答】解：(1)连接BC,AABC中，由 余 弦 定 理 得BC=lAC2+AB2-2 AC-AB cos Z.BAC=J 16+12-2x 4x 2石 x 等=2,BC=x 2 x 兀 乂 =兀,即万(h )；2(2)设A O =a,C D =b,A A C Z)中，由余弦定理得16=/+从 一 出,所以(a +份2=16+3,16+3x()2,2解得 +儿 8,当且仅当a =0=4 时取得等号，新建健康步道A-D-C的最长路程8km,8-万-2石“1.39(k”)，故新建健康步道A-O-C的路程最多可比原来有健康步道A-8-C的路程增加

19、1.39(版).18.(14分)在长方体4 BCD-ASG 2 中，AB =B C =2,过 A、C 8三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-AG A，且这个几何体的体积为10.(1)求棱A|A 的长；(2)求点。到平面A80 的距离.【解答】解：(1)设 AI A =，由题设匕r BD C L3/.AVC|U =VZA1 DBV 1CZD-MCa 一%.A 8 c 印，得 SABCD x h-马 X SAB1G x/?=10，E R 2x 2x/z-x x 2x 2x/j =103 2解得h=3.故 AA的长为3.(2)以点。为坐标原点，分别以Z M,D C,所在的直

20、线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.由已知及(1),可知 0(0,0,0),4(2,0,3),8(2,2,0),C,(0,2,3),设平面ABG的法向量为为=(,v,w),有力_ L卒，n C,其 中 率=(0,2,-3),印=(2,0,-3),则有，即n-C,B=O2 v -3w =02u-3w=0.解得 V =u=W,2 2取卬=2,得平面的一个法向量为=（3,3,2）,且|川=叵.在平面AG上取点G，可得向量。C；=（0,2,3）于是点D到平面ABG的距离d=3=-I 万 I 1 11 9.（1 4 分）已知抛物线T:y2=8 x的焦点为尸，半径为1 的圆M 的圆心位于x 轴的

21、正半轴上，过圆心用的动直线/与抛物线交于A、B 两 点,如图所示.（1）若圆经过抛物线的焦点尸，且圆心位于焦点的右侧，求圆用的方程；（2）是否存在定点“，使得 +L一为定值，若存在，试求出该定点M 的坐标，若MA MB不存在，则说明理由.【解答】解：（1）抛物线-2=8 x的焦点为尸（2,0）,则圆心M（3,0）,故圆M 的方程为（x-3y+y2=i；（2）假设存在定点M（?，0）（加 0）满足题意,设直线/:x=a +，联立消去X,可得 2 一 8。-8?=0,y=8 x设 4%，%),B(X2,y2),则 乂+必=&,yxy2=-8m,1 1 1 1MA MB而 y+y；向 二 科=+=+

22、/T7|y1|777T|y2|7W|y,y2l_二i J(x+%)2-4 3 2V l +r yy21 V l +r IJ”232？，当且仅当32,=&,即帆=2 时,V l +产 8 机11-+-MA MB为 定 吗,故存在M（2,0）,使得 一+!为定值.MA MB2 0.（1 6 分）在数列。中，己知。1=2,U n+ldn=2cin U n+（MGN*）.（1）证明：数列 工-1 为等比数列；an（2）记=.笆,数 列 瓦 的前n项和为S”，求使得S 1.9 9 9 的整数的最小值;2n（3）是否存在正整数2、小k,且2V使得而、劭、以成等差数列？若存在，求出机、攵的值；若不存在，请说

23、明理由.【解答】证明：（1）数列。中,已 知。1=2,an+xanlan-an+i（n N*）.所以a n+L整理得故一aan+l1anan +1-=71-Xs z-i-+12 an 21)，(-1 7 t 0)aln+1所以数歹i j 工-1 为等比数列；an解：（2）由（1）得：-1=-X 已）1 11an 2 259n所以a =-n 2n-l所以=anan+l 2n+1222n(2*1-1)2n-l 241-1故%=(.2 22令22-122n+1-l22-1 2-1 1.9 9 9.223-l)+.+222n-l 2n+1-l)=2-2-n-+-1-l-则 2n+l2001,解得”1呻

24、 2001-1 比9.97,所以n的最小正值为10.解：(3)假设存在正整数机、k 满足题意，贝！I 2t/=a,+ab2m 2-二-2n-l 2m-l 2k-l即2 0整理得 2”F+I(2m-1)(2*-1)=(2n-1)(2*-1)+2km(2n-1)(2H,-1),由于mn2,所 以(2n-1)(2*-1)为奇数，而 2一1 (2”-1)(2*-1)和 2*m(2n-1)(2m-1)均为偶数,故(1)式不能成立，、即不存在正整数，、n、人且，使 得 成 等 差 数 歹 U.21.(1 8 分)设”为给定的实常数，若函数y=/(x)在其定义域内存在实数%,使得,f(x0+m)=f(x0)

25、+/(成立,则称函数f(x)为“G(函数”.(1)若函数f(x)=2 为 G (2)函数”，求实数占的值；(2)若函数/*)=这=乙，为 G(1)函数”，求实数。的取值范围；厂+1(3)已知 f(x)=x+6ge R)为“G(0)函数”，设 g(x)=x|x-4.若对任意的内，x2 e 0,t,当M H X,时，都 有g()-2 成立,求实数r 的最大值.-/(x,)-/(x2)【解答】解：由 f(x)=2 为 G (2)函数，得/(%+2)=/(%)+/(2),即2%+2=2%+2?,解得不=/。?弓，故实数与的值为log2 g；(2)函数f(x)=/g,为“G(1)函数”可知，存在实数x

26、0,使得/(/+1)=/($)+/JT+1(1)成立，2.a,。目 n QIg-z=1g-z +/g，即-；=-；-，(xfl+l)2+l x02+1 2(x0+1)2+1 2(x02+1)由一；0,得 a 0,整理得(a-2)/+2oTo+2a-2=0.V+l当a=2 时，题=-1,符合题意；飞 2当 aw2 时，由=4/-4(a-2)(2a-2).O,B P a2-6a+40,解得3-石轰上3+右 且。工2,综上，实数”的取值范围是 3-石，3+石 ;(3)由/(x)=x+b g R)为“G(0)函数，得/(%+0)=(%)+/(0)成立,即/(0)=0,从而=o,则 y(x)=x,不妨设项 W,则 由g-)_g(X2)2 成 立,即g(xj-g=)2,/()-/(%2)x,-x2得 8(百)-2玉 g(x2)-2x2,令尸(x)=g(x)2 x,则尸(x)在 0,力上单调递增，pl,、,fx2-6x,x.4又 F(x)=x|x-4|-2x=,2x-x,x 4作出函数图象如图：由图可知，04,1,故实数f 的最大值为1.