2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(农)试题.pdf

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1、2021年全国硕士研究生入学统一考试数农试题一、选择题:1 8 小题，每题4 分，共 32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.曲线y =3 xc os 3 x在 点(肛-3%)处的法线方程为()(A)3 x+y =0(B)3 x-y -6%=0(C)x+3 y +8 =0(D)x-3 y-1 0 =0【答案】).【分析】此题考查导数的几何应用一一求法线方程.【解析】y =3 c os 3 x 9 xs in3 x,故 刃“5=-3,所以所求法线方程为y +3乃=g(x-),即 1 3丁-1 0%=0.应 选(D)X曲线y =-()(

2、e，l)(x+2)(A)有水平渐近线y =0和铅直渐近线x=0及x=-2(B)有水平渐近线y =0及y =1和铅直渐近线x=-2(C)仅有水平渐近线y =0及y =1,无铅直渐近线(D)无水平渐近线，仅有铅直渐近线x=-2【答案】(B).【分析】此题考查曲线的渐近线.【解析】因为 l im y=l im-=l im|1-|=0,XT+O O 8 _ )(X+2)x ex x+2)r r X 1 X 1l im y-l im-=l im -=-1X T-C-X-00-1)(x4-2).V-Q 0 eV-1 X+2 )所以y=0及y =1为曲线的水平渐近线.XX 1 X又l im-=l im-=一

3、，l im-=8,故x=-2为曲线的铅直渐o(e*一 1)(%+2)io+2)2 -2 (e -l)(x+2)近线，但x=()不是.综上知，曲线有水平渐近线y =0及y =-l和铅直渐近线x=2.应选(B).(3)函 数/(幻=1，c os”就在闭区间 0,乃 上的最小值和最大值依次为()(A)/(0),/(B)/()，/(|)(0/(0),/(1)(D)吗),/【答案】(C).【解析】这题看的是函数在区间上的单调性，所以直接求导即可。f(x)=e-cosx,那么可知7T TT当0 x 0故函数在 0,上单调递增；当一x乃时，/(x)0(0 ;?=(%,切 可 2,3,那么 f(fQy)dxd

4、y=(2 ,丁2 /叱/3 r(D)1/22【答案】(B)【解析】如/”。/卜 日 3日办令3 y =f得：jj3 y)=令方=得：公=2 j j 点=2/7所以原式=W/23 1 -1 00 1 -(5)设矩阵A=0 0 110 0(A)a=l,b H-6(B)b w-6(C)a=l,b=_6(D)a wl,b=-6假设线性方程组4X=用无解，那 么()(6)设A,6为5阶非零矩阵，且AB=O()(A)假设“A)=1 那么 5)=4(B)假设 r(A)=2 那么 r(B)=3(C)假设 r(A)=3 那么 5)=2(D)假设 r(4)=4 那么 5)=1(7)设A 8为两个 随机事件，且Au

5、 B,0 p(A)%()=a，那么 PX -%()=1-a ,PX tt_a(n)=1-a,/.-ta(n)=tx_a(n),故%()+%(/)=所以答案选D.二、填空题：9 答题纸指定位置上.(9)lim+(l-cosx)1。Inxm xsin xlim W l-c o s x)l j m _sinA_.v l i m J S J L L .舞万 解析】原式=e，#m x u e E T-c0 5*=e*M T-c o s x=e 2(10)函数 f (%)XVl+sin x-1的第二类间断点为x =【解析】limXTknXVl+sin x-1=o o.(Z：=1,2,)(11)假设连续函数

6、/(X)满足J：f 3 d t=e3 那么/(e)=【解析】对J：f(t)dt=e 3*两边求导，得/(/)/=3e3 x,令x =1,得/(e)=3?2.(12)设 f(x,y)为连续函数，交换积分次序，f(x,y)dy=【解析】有题意知，积分区域为。=(x,y)|lW x W 2,2 xy wj 2 x-x2 b交换积分次序,得r2 12x x pl 广 1+J l-.f(x,y)dx.(13)设 3 阶矩阵 4 =(1,4,%)，B =(a,+3,1+2 2,a2-2 a3),假设|川=一1,那么忸|=1 1 0、【解析】5=()+a3,a,+2a2,a2-2 a3)=(al,a2,a3

7、)0 2 1 =A C,J 0-2,1 1 0|C|=0 2 1=一3,所 以 恸=阂。=一以(_ 3)=3。1 0-22(14)某运发动每次投篮投中的概率为他连续投篮直到投中两次为止，假设各次投篮的结果相对独立，那么他投篮总次数为4 的概率为一.4【答案】27【解析】所求概率p=P(前3次投篮命中1次，第4次投篮命中xex,x0,求r*).=燃)卡耻捺.管翊纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)设函数=.【解析】x(r x(16)(此题总分值10分)设函数z=(x,y),由方程/+3丁+23=22确定，求 三 .5 丫 (3.2)【解析】当x =3

8、,y=2时，z=l对等式两同时对y求偏导数，可得6y+3z?=0,那么可以解得：一 =-4dy dy再次对等式两边对y求偏导数,可得：6+6z(空)2 +3z2 会=0,解 得 会=-34.6y dy dy(17)(此题总分值10分)设。是由曲线y=4-V和直线y=x +2所围成的平面图形，求。的面积S及。绕X轴旋转所得旋转体的体积V。【解析】联立I;小x 2、或y=0 x=。=3所以5=j(4-x2-x-2XZrV-4-x2 dx-32-3(x5 8 3 一|1 oI 5 3 J|-2153 万，、108=-9兀=-n.5 5(18)(此题总分值1 0 分)计算二重积分“卜1 4力，其中区域

9、。由直线x-y =0,x +3y 4=0及x轴围成。D【解析】D:0 y x,0 x l;D2:l x 4-3y,0 y l.jj|x-l|6ta ZyD=jj(1 一 xjdxdy-v(x-l)小dy=时；(1-皿+力 广,(x-皿1 3 5=I =,6 2 3(19)(此题总分值1 0 分)设函数y=/(x)是微分方程xy +y x n x满足条件咒口=一；的解，求y=的极值。【解析】个+y=x ln x的通解为y=eJx nxe dx+C=-x2(.2nx-)+C,J x 4由初始条件求出 C =0.从而，y =；x(2 1n x-l),y =gln x+；.1 2 3,、0 1 2【解

10、析】0 0 0、0 0 0、0当。=2 时，001 1 I _ 1令y =0,解得尤=e 2,又 =一,由y （e 2）0知x =e 2是极小值点，2x-1 1所以y =f（x）的极小值为y（e 2）=-万6 2.（2 0）（此题总分值11分）向量组=（1,-1,0,5）,%=（2,0,1,4）7,a3=（3,1,2,3）1 a4=（4,2,3,）7-其中是参数，求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。4、3a-20 ：3 4、2 3I 0 0I 0 0,%,4,%,%的秩为2,4,%是一个极大无关组3=+2a2,%2%+3 a 2（I I）当 a，2时，4,。2，%，%的秩为3，且%,%,%是一个极大无关组，z3=-a+2 a 2（2 1）（此题总分值11分）求。、（的值,2 0 1、1矩阵A=3 1 3相似于A =0 4 0与 0,y 0,2x+y 20,其他(i)求p y w i；(I D求Z =2 X +Y的概率密度。(I I)Z 的分布函数为 B(z)=PZ z=P 2 X+Y z,当 z 0 时，B(z)=0,当0 W z2时，Fz(z)=2dx 2-1(2 x +y)dy=z31当z N 2时，B(z)=l，从而Z的概率密度为,z2,0 z l启z)=180,其 他