2021年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷解析.pdf

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1、2021年全国普通高等学校招生统一考试全国新高考I卷数学试卷一、选择题1.设集合A=划2 4,8=2,3,4,5,则 A I8 =()2.已知 z=2-i,则 zQ+i)=()A.2B.2,3 C.3,4 D.2,3,43.已知圆锥的底面半径为血，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.6-2iB.4-2i C.6+2i D.4+2iA.2B.2V2 c.4 D，4X/24.下列区间中，函数f M =7sin(x-胃 单调递增的区间是()B.加 C 唱 D信5.已知石，鸟是椭圆C:+A =l 的两个焦点，点 M 在 C 上，则讣|M周的最大值为()A.13 B.12C.9 D.66.

2、若tan”-2,则包*粤=()B.二5 5-2 n 6C.-D.一5 57.若过点3,加可以作曲线)，=e*的两条切线，则()A.eh a B.eb C,0 a e*D,0 /?8|=3&D.当NPB4最大时，|尸 8|=3五UU UUU UUU12.在正三棱柱4 8 C-A A G 中，48=例=1,点 P 满足8P=/LBC+B4,其中贝 l j()A.当4=1时，的周长为定值B.当切=1时，三棱锥P-A 8 C 的体积为定值C.当彳=；时，有且仅有一个点P,使得A/，8PD.当=；时，有且仅有一个点尸，使得A B L平面AgP三、填空题13.已知函数/(x)=d(.2 2T)是偶函数，贝

3、 I 。=.14.已知。为坐标原点，抛物线(7:丫 2=2*5 ()的焦点为尸，P 为 C 上一点，P尸与x 轴垂直，Q为无轴上一点，且 P Q O P.若1尸。1=6,则 C 的 准 线 方 程 为.15.函数/(x)=|2 x-l|-2 1 n x 的最小值为.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmxl2dm的长方形纸，对 折 1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和E=2 4 0 d n?,对折2 次共可以得到5dmx 12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和邑

4、=180dm 2,以此类推.则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折”次，那么名&=dm2.*=1四、解答题17.已知数列 叫 满 足 4=1,瞿，a“+2,”为偶数.记”=%，写出4，瓦,并求数列抄“的通项公式；求 叫 的 前 20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A,B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.4 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小

5、明能正确回答4类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.19.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知4=的，点。在边AC上，BDsin Z A B C =asinC.(1)证明：B D =b：若 AD=2 D C,求cos/ABC.20.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABDJ_平面BC。，AB =A D,。为8 0的中点.(1)证明：CM 1CD；(2)若VOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱

6、AZ)上，D E=2 E A,且二面角E 8 C-。的大小为4 5 ,求三棱锥A-B C D的体积.21.在平面直角坐标系xQy中，已知点-J万,0),月(J万,0),点例满足|M用 一|为=2,记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点7在直线x=；上，过T的两条直线分别交C于A,8两点和P,Q两点，且TA-TB=TP-TQ,求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和.22.己知函数/(x)=x(l-ln x).(1)讨论/。)的单调性；(2)设。，匕为两个不相等的正数，且从n a-a ln力=a-匕，证明：2 L +/=2 上.4 .答案：A解析：/（X）单调递增区间为：2E-二4*-四4

7、 2 也+二=2 也一二4犬 4 2 灯 1 +生2 6 2 3 3令=0,故选A.5 .答案：C解析：由椭圆定义，周=6,则周，幽叫1 =9,故选C.）6 .答案：C解析:sin 0(1+sin 26)sin/sina 9+cos?e+ZsinOcos)_ sin?e+sinOcos _ tan2 0+tan0sin 0+cos(9 sin 0+cos sin-+cos_ 0 tan_ 6+25故选C.7 .答案：D解析：8 .答案：B解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)两点数和为7的所有可能为:(1,6),(2,5),(3,4

8、),(4,3),(5,2),(6,1)r.p（甲）=L P（乙）=1/=L 尸（丙）=W,尸（丁）=色 6 6 6 36 36 6P（甲丙）=0,P（甲丁）=,P（乙丙）=,尸（丙丁）=036 36故 P（甲丁）=P（甲）尸（丁），正确，故选B.9.答案：CD解析：5=一2 4，y=-X U+c）=_Zx/+c=x+c,，A 错n,=i n,-=1 n/=I设第一组中位数为五，则第二组中位数为”=%+c,，B 错一组医=卜之a-打，二组同=之收-刊=R t1a一才,；.c 正确Vn/=i v ,=i Vn i=设一组中最大为七，最小为马，.极差再一勺则二组中最大为七+c,最小为X j+c,.极

9、差%一勺，D 正确故选CD.10.答案：ACA,-iuuir|-=Jcos2a+sin 2 c=l,|O6|=Jcos2 +（-sin/?）2=l,.1A 正确unn 2liar 2=（cosa-1）2+sin2a=2 2cosa AP2=（cos/7-l）2+（-sin/?）2=2-2 co s/?，B 错U ll U U U UUU1 u u uOA OPy=cos（a +/3）、OPX-OP2=cos a cos 夕 一 sin a sin 0 =cos（a +0）,.C 正确U U UUU1 u u u u u uOA OPX=co sa，OP2 OR=cos J3-cos（a +/?

10、）-sin/7 sin（a +）=cos（a +2/3）,D 错故选AC.11.答案：ACD解析：直线AB的方程为2+?=1,x+2 y-4 =0,设圆心为M(5,5)4 2P 到直线A 8的最大距离为11+410故 P 到直线A B 的距离小于10,A 正确P 到直线4 5 的最小距离为与-4|2 x-l|-2(x-l)|2 x-l|-2 x-2|(2 x-l)-(2 x-2)|=l,当x =l 时,等号成立，故/（X）最小值为1.1 6.答案：5 种;2 40+7 2 0解析：易知有 2 0 d m x 3 d m,1 0 d m x-d m ,4 25 d m x 3 d m,d m x

11、 6d m2-d m x l 2 d m ,共 5 种规4格(2)(2)由题可知对折2 次共有&+1种规格，且 面 积 为 竽，故 sl40?1?4nVfc+1 V +1 im Jr VA+1则=2 4 0 2 一-,T=21-,贝k=k=乙 bl N 乙 hl 乙*k +2一乙心+iA=1 Nn+2,+l则 _+。4-1+L+ao_ 155 10=145.-.S2O=155+145=3OO.解析：18.答案：(1)若小明先回答A 类问题，记 X 为小明的累计得分则 X 的取值可能为：100,20,0,因为各题互相独立，由分步完成原理得P(X=100)=0.8x0.6=0.48P(X=20)=

12、0.8 x(l-0.6)=0.32尸(X=0)=1-0.8=0.2列表如下：则 X 的数学期望 E(X)=100 x 0.48+20 x 0.32+0 x 0.2=54.4X100200p0.480.320.2(2)若小明先回答8 类问题，记 F 为小明的累计得分.则 丫 的取值可能为：100,80,0,因为各题作答互相独立，由独立性原理知p(y=100)=0.6x0.8=0.48P(Y=80)=0.6 x(l-0.8)=0.12p(y=0)=1-0.6=0.4列表如下：先答 8 类，则 y的数学期望为：(y)=1 0 0 x 0.48 +8 0 x 0.1 2 +0 x 0.4=5 7.6Y

13、100800P0.480.120.4由知E(F)E(X)小明先选第二种方案作答.解析：1 9.答案：（1）方法一：BDsin Z A B C=asi n C,B D b=a c.B D b=b2 4 u u n2 4 u i r imn i u i roA B D =B C +-B A B C +-B A999j 2 2 2 nu Cl H-C d-CICCOS D9 9 99 ac=4 a2+c2 4-4?cco s Bac=cr+c2-2 cco s B 一,八 8 ac-3 a2 4 aSac=3 +6acco s B,co s B=-=-6 ac 3 2c由知C=180，可以直接动用勾

14、股差定理，可得 叫=BD2+AD2-AB2BD2+CD2-BC2注 意Sv匿.KnL =7AD =2,又显然AO=J2b，CD=b，因此如果变成a,b,c 那些，则有、VBDC L D 3 3b2-b2-C2 22=7,化简得到 1 仍之=302+6/,0=302+6/,i 1=3鼻+6h2+-a2 a a0得到c =；2或 3.a 3这里有两个值，看这个3 作为三角形两边比好像挺危险的，不一定能行，验证一下好了，假设c=3 好/,那么会有b=，问题是此时。+=(1+6)。v3 =c,根本不成三角形，得踢掉,只能有c=；2a 3 2 2 _ h2如此就有cs w c=Fer+-uc 1 2 a

15、 72ac 2 _ 12a解析：2 0.答案：(l)解析一：平面4 3 ，平面8 C ),平面4 3 c 平面3 C =8。(AB=A D,。为 8 0 中点，:.A O 1 B DAOu平面MO,，4。，平面B C D,CDu平面8 C 3,:.AO CD解析二：首先，。为 BD中点，加上9=4),就说明A 0J L8。了，加上两个平面垂直，会直接得到A O _ L平面B CD,那么当然就有AO，8.(2)解析一：取 0。中点尸，Q V O C D 为正三角形，.C F _ LO D过 0 作O M H C F 与 B C 交于M 点、,则O M O D0 M ,OD,Q 4 两两垂直以。为

16、坐标原点，分别以O M,0D,0 4为x,y,z 轴建立空间直角坐标系。一空8(0,-1,0),C y-,p O ,0(0,1,0)设 40,01),则 平面 B C LIU1 平面B C D的一个法向量为。4 =(0,0,0设平面8 C E 的法向量为A =(x,y,z)r uuun-BC=OrumHBE=O|&+%=o2 2?4 2 八_ y+T z =013 32 r不妨设 x=G，则 y=-i,z=,贝!=二面角的大小为4 5 r u mV 2 n-OA 22 OAn-t=iC 1 -G G .C GSVOCD=5X1*1?=彳，.S、BCD=1 73 ,A-BCD -=-SBCD.Q

17、A =3 26解析二：过 E作 W J _ 3。于 H,再过H作“7_ L8 c 于/.显然这样会有E H，平面B C D,而这个正三角形O C D加上B O =DO,可知BCL CD,意味着HI C D,同时很自然的也会有国，而二面角E-8C-。很显然就是N E/”，这个是4 5,说明E H =H7 .综合上面的条件，会得到器CH=普AF 1 .lx u B H=.,4 匚 2 B H，然后 二2 ,再然后二=77=2 D H 3 BDHIC D2故 止 匕“/=”=.3An pr 4同 时 把=*=,得 到 A O =1,E H A D 2那么就有匕.8 8 =3 3 2 o解析：2 1.

18、答案：（1）解析一：c =/F 7，2a=2,。=1,b=42C表示双曲线的右支，C的方程为X2-E =1（XN1）16解析二：基本上送分嘛，一看就双曲线嘛，只不过双曲线是|吗-摩 卜 2,得有个绝对值，如果没有绝对值只能说明这是双曲线的一支，这个双曲线会有2 a =2,两个焦点也已经给出，就是F）,F2,这样有=而，然 后 匕 于 是 乎 就 有 双 曲 线 方 程：/-二=1 但我们只需16要它的右支，因此还可以进一步搞成=4-解 析 一：设 吗,?,设 直 线 AB的方程为：y=kAx-+m9 A（“J,g，%）（16 A：）/+（#2 攵 1 勿 2 卜一；片+k、m 7?22 16

19、=0:.TATB=(+kf)x,=（1 +奸）玉毛一；（演+x2）1 2kM _ k；1-!-7+-2 16-灯 41+-4心 幻 会M+奸）.2.i r y设即2 =心，同理可得|TP|TQI=（I+）*742 16 G 阳.黑=（】+劭然=片_16片=片16片:.k；=片,Q /工 为,：,%=一&2，K+自=0解析二：我们不妨假设Z 4-7B =7 P-T Q=K,这个显然用参数方程会简单一些，令T:（g,y j,然后有一 A氏 x=2-+c os1r ,P-Q =x=-2 +c os2?r,力+si n即 N+s i n 即这其中用工名.那么带入C的方程，会有p l +c o s 即-

20、5*必-=1 0 1 1A化简得到(16 C O S?4-s i n2 4)f +(16 c o s 6 1-2yT s i n a)/一(12+%)=0于是有K =L 4 7 8 =-12+%16 c o s2 0 x-s i n2 0 x同理也会有K=-12+城16 c o s2 02-s i n2 02换句话说,有 16 c o s2 0-s i n2 0X=16 c o s2 02-s i n2 02,c o s2=c o s2 02既然4工“，这会说明c o s，=一 c o s，当然就有t a n q=-t a n a，然后变成两个斜率和为0.这个结果其实也不难猜到，因为只要我令？

21、：（；，0），那么显然两条关于x 轴对称的直线就能满足条件，那么当然得有斜率和为0,而如果它要你证明这是个定值，那这个定值也必然只能是0.解析：22.答案：（1）解析一：/（x）=-l n x,令/（x）=0=x =l当 0 c x e 1,/(x)0,/(x)z ；当 X 1 时,/(x)0,f(x)解析二：因为/(x)=-l n x,故/在(O,1)T,(l,y)J,八 l I n 6 7 I n A 1 1 l n a +1 l n +l(2)解析一：-=-一一,/.-=-a b b a a b令=?，=nf 即证2/+ea b/.m(nm)=(1 I n n)令 f(x)=x(l I

22、n x),f(x)=I n x ,令/(x)=0=x=1当0 尤 0 ,/(x)Z ；当 1 时,/(x)0,f(x)Q f(ni)=f(n),/.0 m l,1 /?2,即证/()v/(2 7),即证2 z o/Q%)v/(2一 加)，令 F(x)-f(x)-f(2-x)=x(l -I n x)-(2-x)l -l n(2-x),xe(0,1)F (x)=-l n x +l n(2-x)=l n-0,F(x)Z ,F(x)/n ,要证m +nC,即证n(l-l n n)+n e令 g(x)=x(l -l n x)+x,l x (),/.g(x)在(l,e)上Z.g(x)v g(e)=e ,g

23、()v e,证毕！解析二：bna-anb=a-b(l+na)=-(l+nb),不妨设=-,x2=-t 且引 工,a b a h则有 X i (1 I n x j =x 2(l-l n x 2),即/(芭)=/(电)，M f f i 2-+-e ,即证 2 2X2 2-X,/(X2)/(2-X1)/(X1)O故(X)T,则 (M)=。，gp/(x1)-/(2-x1)2 得证！再证：X,+%2 l,由 X (l l n x J =X 2(l -h】w)可得%(l-l n x j =4(l l n(4),计算可得m百=1 一生tint二T而%+X)e =(1+Z)X j e l n(l +Z)+I nxl !l n(l +f)+1 i-l n-(-l-+-r)-I n r-再令 人 g/)、=-I n r-则n i I J,八 1-i-I n r ,再例z 。x=,1-1-.I n/t t-1 t-l gU)=-;tr-1则0（。=号 0,故以/）。=。，则g（）o，故，则 g（，+l）g（，）H r 1即-l n（l-+r）-I-n r-,则n i l玉+W e/得日、证 1 1故2一+一ea b解析：