2021年内蒙古包头市青山区中考二模数学试卷（解析版）.pdf

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1、2021年初中升学考试调研试卷（二）数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸的指定位置.认真核准条形码上的姓名，准考证号，无误后粘贴在条形码框内.2.考生必须直接在答题纸上作答.选择题答案必须使用2B铅笔填涂；非选择题答案必须使用 0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写.字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.保持答题纸清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题（共 12小题，每小题3 分，共 36分）1.北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活.生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃

2、圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器.下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（）八.A公 八 ZX厨余垃圾 可回收物 有害垃圾 其他垃圾A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.【详解】解：厨余垃圾、有害垃圾的图标标识可以看作轴对称图形，即有.2个，故选：B.【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.2,下列计算错误的是（）A.（-3a）=9a2b*B.6a3b-r-3ab=2a2C.3）3_（_q3y=0 D.a-i-b-=a【答

3、案】D【解析】【分析】根据整式的运算法则以及分式运算法则的进行计算，逐个判断即可.【详解】解：A、（一3。6J =9/正确，不符合题意;B、-64+3出?=一2 2正确，不符合题意；C、（/丫 一（一/）2=。6一*=0正确，不符合题意；D、0+儿（=。：,，=摄 原 计 算 错 误，符合题意；故：D.【点睛】本题考查了塞的运算、合并同类项、分式的乘除等知识点，解题关键是熟练运用整式和分式运算的法则进行准确计算.3 .已知。匕，下列式子不一定成立的是（）A.na -2b C.a+b+D.a i 0时,则 有n a b；曲 当=0时,则 a=b,故错误；B、由“幼，-2,A E=C E,然后由C

4、E4 8,可证得CD/AE,继而证得四边形AOCE是菱形，再根据勾股定理求出A,进而求出菱形AOCE的周长.【详解】：分别以A、C为圆心，以 大 于 的 长 为 半 径 在AC两边作弧，交于两点M、N,是AC的垂直平分线，:AD=CD,AE=CE,Z C A D=Z A C Df Z C A E=Z A C Et：CE/AB,：.ZCAD=ZACE,：.ZACD=ZCAE,：.CD/AE,，四边形AOCE是平行四边形，四边形AQCE是菱形；：.OA=OC=AC=2,OD=OE,ACLDE,：ZACB=90,J.DE/BC,.0。是 ABC的中位线，/.OO=；BC=；x3=1.5,-AD=o+

5、O E r=2.5,菱形A D C E的周长=4AO=10.故选A.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.8.如图，在AABC中，AB=3,AC=6,将AABC绕点C 按逆时针方向旋转得到 AC，使C By/A D ,分别延长AB,C 4,相交于点。，则线段3。的 长 为（）A.6 B.8 C.9 D.6月【答案】C【解析】分析利用平行线的性质以及旋转的性质得到C4。4 4。，再利用相似三角形的性质求解即可；【详解】.将AABC绕点C按逆时针方向旋转得到 用6，AC=CA=6,A8=A

6、 A=3,NA=NCAA，/CB HAD,N g a,=ND,C4O g AC,CA AD 6一=A D,3 6解得：AD=12，5E=A-AB=12-3=9；故答案选C.【点睛】本题主要考查了旋转的应用和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键.9.若直线4经 过 点（0,3）,直线L经 过 点（5,2）,且 人 与/2关于x轴对称，则/i与6的交点坐标为（）A.（-2,0）B.（2,0）C.（-3,0）D.（3,0）【答案】D【解析】【分析】根据对称的性质得出点（0,3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线办的关系式，求出直线/2与X轴的交点即可.【详解】解：设直线上的解析式

7、为y=H+6，.直 线 经 过 点（0,3）,/2经 过 点（5,2）,且 与/2关于X轴对称，.两直线相交于x轴上，点（0,3）关于x轴的对称点（0,-3）在直线/2上，把（0,-3）和（5,2）代入y=f c r+，得 b=-3，5k+b=2k-1解得：1,c，b=-3故直线，2的解析式为：y=x-3,令 y=0,贝i j x=3,即/i与，2的交点坐标为（3,0）.故选：D.【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出人与，2的交点坐标为乙与b与x轴的交点是解题关键.1 0.下列命题中，是真命题的个数有（）I?3平分弦的直径垂直于弦；风的算术平方根是9；

8、方程-=-的解为x=0；一组数x X+1 X-1据6,7,8,9,1 0的众数和中位数都是8.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义逐一判断即可.【详解】解：平分弦（不辱直倏）的直径垂直于弦，缺少条件，故错误；质=9,9的算术平方根是3,故错误；1 2 3-V-7=-7X -1 X+1 X 1解得：x=0经检验：产0是原方程的解，故正确；一组数据6,7,8,9,1 0的众数不是8,故错误.综上：正确的有1个故选A.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理的推论、算术平方根的定义

9、、分式方程的解法和众数、中位数的定义等知识，难度不大.1 1.如图，矩形ABC。中，O E 平分/A O C,交 B C 于点E,将一块三角板的直角顶点放在点E 处，并使它的一条直角边过点A,另一条直角边交C D 于 M 点，若 0 M =2C M,8C =8,则 破 的 长 为（）B ECA.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质可得NAOC=NC=N8=90。，AB=DCf由 平 分N4DC 可得/ADE=NCDE=45。,然后证明可得8E=C M,进而可得结果.【详解】解：在矩形A3CO中，ZADC=ZC=ZB=90f AB=DCf QE平分NA。，ZADE=ZCD

10、E=45f：.ZDEC=45,:.DC=EC,：.AB=DC=CE,*DM=2CMf丁 NAEM=90,ZAEB+ZCFM=90,/ZCEM+ZEMC=90f：./AEB=/EMC,在AEB和EMC中，ZAEB=/EM C ZB=ZC=90,AB=EC:AEB94EMC(AAS),BE=CM,BC=BE+EC=CM+DC=CM+3CM=4CM=S,CM=2,：.BE=2,故选：B.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质.1 2.二次函数 =公2+法+。(a,b,c为常数，且“。0)中的x与y的部分对应值如下表：X-1013y-1353下列结论：a

11、c 1时，y 的值随x 值的增大而减小；3 是方程l)x+c =O的一个根；当-l x 0.其中正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】1 3【分析】函数的对称轴为：x=5(0+3)=5 ,对称轴左侧y 随 x的增大而增大，故。0,即可求解；3函数的对称轴为A 一，故错误，不符合题意：2ax+t.b-1 )x+c=0,则 加+笈+/为 当尸3 时，ax2+bx+c3,即可求解；由知，3 是方程a x 2+s _)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1,即可求解.1 3【详解】解：函数的对称轴为：x=-(0+3)=，2 2对称轴左侧y随 x 的增大而增大，故。0,故正确，符合

12、题意；函数的对称轴为下一，对称轴左侧，即x2 时，y 随x的增大而增大，故错误，不符合题意；2 2加+(6 1 )x+c=0,则 ajr+bx+cx,当x=3时，a+bx+c=3,故正确，符合题意；由知，3 是方程渥+3-1比+,=()一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1,故当-l x 0,故正确，符合题意；故答案为：.【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解方程或不等式.二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分)13.计算：X (-g)T+()。=.【答案】3 7 2+3【解析】【分析】先计算二次根式的乘法，零次累，负整数指数幕，再合

13、并即可得到答案.=12 x-(-2)+1=9 +2+1=3 及+3.故答案为：3及+3.【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式的乘法运算，零指数幕，负整数指数基的运算法则是关键.1 4.将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若NABC=26,则/ACD=.【答案】128.【解析】【分 析】如图，延 长 D C 到 F,根据折叠的性质可得/A C B=/B C F,继而根据平行线的性质可得NBCF=NABC=26。，从而可得NACF=52。，再根据平角的定义即可求得答案.【详解】如图，延长DC到 F,矩形纸条折叠，；./ACB=NBCF,VAB/ZCD,；.NBCF=NABC=26。，；./

14、ACF=52。，VZACF+ZACD=180,A ZACD=128,故答案为128.【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.15.在一次活动中，某班50名同学响应号召纷纷捐出零花钱，若不同捐款金额人数百分比统计如图所示，则该班同学平均每人捐款 元.【解析】【分析】根据加权平均数的求法，用不同的捐款金额乘以不同捐款金额的人数占总人数的百分比，然后再把它们求和，求出该班同学平均每人捐款多少元即可.【详解】解：5 x 40%+10 x 5 0%+5 0 x 8%+100 x(l-40%-5 0%-8%)=2+5+4+2=13(元3.该班同学平均每人捐款13元.故答案

15、为：13元.【点睛】本题考查扇形统计图的应用、加权平均数的含义与求法，解题的关键是掌握加权平均数的求解方法.1 316.若。满足 a?a 2=0，则(a H-)(a 2 H-)=_ _ _ _ _ _ _.a+2 a+2【答案】3【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简出最简结果，再根据解一元二次方程a?一。2=()得出或。=2,根据分式有意义的条件代入a值计算即可得答案.1 3【详解】(a +)-(-2+)a+2 a+2a(a +2)+l(a 2)(a +2)+3-4-a+2 a+2(Q+1)a +2 +2(a +l)(a 1)Q+1*.*/a 2 (a 2)(a +1)=0,J。=一1

16、 或。=2,3.Q=1 时(。-2+-)=0,a+213(an-)(tz-2 H-无意义,舍去,a+2 a+2a=2,故答案为：3【点睛】本题考查分式的混合运算和解一元二次方程，注意分式分母不为。的条件并熟练掌握运算法则是解题关键.1 7.如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）.若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为一 米.【解析】【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解.【详解】解：设道路 宽为x米，由题意有：（20-2 x）（15-x）=2

17、08,解得 xi=23（舍去）,X2=2.答：道路的宽为2米.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键.1 8.如图，A B是半圆O的直径，且A B=8,点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是一.（结果保留兀）Q【答案】声3【解析】【详解】试题分析：过 点 0 作 O D LB C于 点 D,交 B C 于 点 E,连接0 C,则点E 是 8 E C 的中点，由折叠的性质可得点 0 为 B O C 的中点，S 弓 彩BO=S 弓 彩 co,在 RtA BOD

18、 中，OD=DE=3R=2,OB=R=4,.zOBD=30,60 乃 x 42 8万zAOC=60,.-.S 飕=S 囱 彩 AOC=-=一 .360 3k1 9.如图，一次函数y=3x与反比例函数y=(%0)的图象交于点A、8 两点，点 C 在 X轴上运动，连x接 4 C,点。为 A C 中点，若点C 运动过程中，。的最小值为1,则点8 的坐标为.【解析】【分析】由题意得：。是A A 3 C 的中位线，故当5 c 最小时，。也最小，当轴时，8 C 最小，此时8C=2OQ=2,即可求解.【详解】解：点A、B关于原点对称，故。是 A 3 的中点，而。为 A C 中点，故。是A 4 B C 的中位

19、线,则O Q =gBC,故当8c最小时，。也最小，当3 C _ L x轴时，8c最小，此时8 c =2。=2,即点8的纵坐标为-2,2将点8的纵坐标代入y =3 x得：-2 =3 x,解得：%=2故点B的坐标为(-：,-2),2故答案为：-2).【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是确定。是A A 8 C的中位线.2 0.如图，点M是正方形A B C D内一点，A M B C是等边三角形，连接A M、M D对角线B D交C M于点N现有以下结论：NAMD=150。；M A2=M N-M C；鼠 皿=三=6；(4)=.其中正确的结论有【答案】【解析】【详解】【分析】由四边形A

20、 B C D是正方形，A B C M是等边三角形，根据正方形的性质、等边三角形的性质可对作出判断；证明ADMNS AC M D,即可对作出判断；设B C=C D=2 a,过 点M作E H L B C于 点H,交 A D 于 点 E,根 据 等 边 三角形的性质以及勾股定理可得M H=6 a，从 而 得 E M=2 a-g a,根据qLBMC得 BG=【详解】AD EM:竦-，即可对作出判断；过 点 D 作 DF_LMC于点F,过 点 B 作 BGLM C于点G,则可BC M H2 a,DF=a,DF/BG,可以得到 D F N sB G N,根据相似三角形的性质即可对作出判断.四边形ABCD是

21、正方形，；.AB=BC=CD=DA,ZABC=ZBCD=ZCDA=Z BAD=90,ZADB=45,BCM是等边三角形，；.BM=MC=BC,NMBC=/BMC=NBCM=60。，NABM=NDCM=30,AB=BM=CM=CD,ZBAM=ZCMD=ZCDM=75,./DAM=NADM=15,/.ZAMD=180-ZDAM-ZADM=150,故正确；NDAM=NADM=15。，；.AM=MD,V ZADB=45,.NMDN=30=NMCD,；/C M D 是公共角，.DMNS ACMD,.DM：CM=MN：DM,.DM-MN-CM,.,.AM2=MNCM,故正确；设 BC=CD=2a,过点M

22、作 EHLBC于点H,交 AD于点E,MBC 是等边三角形，；.BH=a,M H=6a,；.EM=2a-括 a,：AD=BC,S.ADM 2 a 6a 2 6 3SBMC-B C MH Ca 32故错误;过点D 作 DFLM C于点F,过点B 作 BGLM C于点G,则有 BG=M H=Ga，DF=；CD=a,DF/BG,/.D FN ABGN,.DN DF a _ 73,而一 而一兀一丁故正确,所以正确的结论有,故答案为.【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，题目较难，正确地添加辅助线是解题的关键.三、解答题（共 6 小题，共 6

23、0分）21.2020年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线，集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战.其中，A社区有500名党员，为了解本社区2月-3月期间党员参加应急执勤的情况，A社区针对执勤的次数随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.应急执勤次数的频数分布表次数X/次频数频率0 x 1 080.1610 x v 20100.2020 x 3016b30 x 40120.2440 x v 50a0.08其中，应急执勤次数在10”x 20这一组的数

24、据是：10,10,11,12,c,16,16,17,19,1 9,其中位数 是15.请根据所给信息，解答下列问题：。=,b=（2）请补全频数分布直方图；（3）参 加 应 急 执 勤 次 数 最 多 的 组 是%；（4）请估计2月 3月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于3 0 次的约有 人.应急执勤次数的频数分布直方图【答案】（1）4,0.3 2,1 4；（2）见解析；（3）2 0,3 0；（4）1 6 0【解析】【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可 以 得 到 匕的值，再根据在1 0,x 2 0 这一组的数据是：1 0,1 0,1 1,1 2,c,1 6,1 6,1 7,1 9,

25、1 9,其中位数是1 5,可以得到。的值；（2）根 据（1）中。的值，即可将频数分布直方图补充完整；（3）根据直方图中的数据，可以写出加应急执勤次数最多的组是哪一组；（4）根据统计图中的数据，可以计算出2月 3 月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于3 0 次的人数.【详解】解：（1）=5 0 x 0.0 8 =4,=1 6 4-5 0 =0.3 2,.,在 1 0,x 2 0 这一组的数据是：1 0,1 0,1 1,1 2,C,1 6,1 6,1 7,1 9,1 9,其中位数是 1 5,，（c +1 6）+2 =1 5,解得c =1 4,故答案为：4,0.3 2,1 4；（2）由（1）知，

26、。=4,补全的频数分布直方图如右图所示；应急执勤次数的频数分布直方图参加应急执勤次数最多的组是20 x BD;.AB=2BD =2x,tan3 0 =-,A DG x-=-，3 A DA D =y/3x(或者由勾股定理得)在 中，Z B D C =9 0 ./D C B =4S，./、D B D /2s in.DCB=-=-，B C 2B C y/2,X.C r +A =3 0 +30G，.,.X+6X=30+306，x=3 0,A B=2%=6 0,fiC =V2 x=3 0 V2，第一组用时：6 0 +4 0 =1.5(h)；第二组用时：3()夜+3 0 =夜(h)V V2 第二组先到达目

27、的地,答：第一组用时1.5小时，第 二 组 用 时&小 时，第二组先到达目的地.方法2：解：B O J.4c于点。，依题意得：Z B A E =4 5 Z A B C =1 0 5 Z C A E =1 5 .:.ZBAC=30，Z A C B =4 5，在 RtBCD 中,Z B D C =90ZACB=4 5 ,;.NCBD=4 5，/.B D =C D ，设 8 )=x,则 C D =x,由勾股定理得：B C=V2 x A C =3 0+3 0百，A D=3 0 +3 oV3 -x 在 R t A A B O 中，A B A C=3 0 tan 3。=吗A Dx/3 x_ _ _3-3

28、0 +3 0省-广x-3 0,/.A B =2x=6 0，B C =y2x=3Qy/2，第一组用时.：6 0+4 0 =1.5(h)；第二组用时：3()&+3 0 =0(h).垃 _L，.)E是。的切线.(3)解：设Q/=x.Q B J2=B D2-D J2=O B2-O J2，7.X ,1 0-：B J/D F ,O BO F52O F ,3而7105一2125=，14/.B F =O F O B =125 514 245T【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2 5.如图，在正方形A B C

29、 D中，C D-3,P是CO边上一 动 点（不与。点重合），连接AP,点。与点E关于”所在的直线对称，连接AE，P E，延长CB到点尸，使得B F =D P，连接EE，A F -（1）依题意补全图1；（2）若 D P =1，求 线 段 所 的 长；（3）当点P在CO边上运动时，能使为尸等腰三角形，直接写出此时A/M P的面积.图1备用图a【答案】（1）见解析；（2）V 1 3 ：（3）4.5或一4【解析】【分析】（1）根据题意作出图形便可；（2）连接B P ,先 证 明AAOgAABE，再证明AEgARm，求 得B P,便可得E F ；（3）设DP=x（x0）,则CP=3-x,求 出AE.AF

30、.EF；当A 4 E F为等腰三角形时，分两种情况列出方程求出x的值，进而求得最后结果.【详解】解：（1）根据题意，作图如下：（2）连接BP，如图2.点。与点E关于 所在的直线对称,：.AE=AD，ZPAD=ZPAE，四边形A B C D是正方形，AD=AB,ZADC=NABF=90，;DP=BF，:ADPABF（SAS）,：.AFAPP =x(x 0),则 C P =3 x,EF=BP=CP?+BC?=VX2-6X+18，-AE=AD=3,A F-A PJDP2+AD2=7X2+9-：.AFAE,当AA E F为等腰三角形时，只能有两种情况：4 =石尸或人尸=石尸，当 A E =E/时，有&

31、2_6X+18=3,解得x =3,.ADP 面积为，DP AD=工 x 3 x 3 =4.5 ；2 2当A F =E F时，J d-6X+18=/X2+9，3解得 =21 1 3 9.,.A Q P 的面积为二Q P x A Z)=7 rx二x 3 二 ：,2 2 2 49综上ADAP的面积为4.5或了.4【点睛】本题属于几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，要求学生能理解相关概念与性能，能应用它们得到线段或角之间的关系，本题综合性较强，蕴含了分类讨论等思想方法.2 6.在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线丁 =%2-2 如+

32、M 2 一1.W5 -4 -3 -2 -1 -I I I I I_ 11111A-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x-1 -2 -3 -4-（1）当机=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的对称轴（用含机的式子表示）；若点（加一 l,y j,（m,y2）,（加+3,%）都在抛物线y =/-2m x+t t?-1 上，则%,内，%的大小关为；（3）直线y =与X 轴交于点A（3,0）,与 y 轴交于点8,过点B作垂直于y轴的直线/与抛物线=/-2/加+“2 一1 有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为，当 O A P 为钝角三角形时，求优的取值范围.【答案】（1）顶点坐标

33、为（2,-1）；口，工;机；%为；（3）加2 或加一1【解析】【分析】（1）先将机=2 代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；（2）根据函数对称轴为户-2 计算可得结论；2a函数开口向上，户加时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较,”，心的大小关系；（3）当 O A P 为钝角三角形时，则 O V m-2Vm 或胆-2-3,分别求解即可.【详解】解：（1）当初=2时，抛物线的解析式为：y =V-4 尤+3 =（九一2）2 1,.顶点坐标为（2,1）；(2)抛物线y =V-2m X +/-1 ,函数对称轴为工二-2m2x1-m ：函数开口向上，X =时函数取得最小值,

34、，离对称轴距离越远，函数值越大，Q加一 1 加加+3,且点（m,y2）,（加+3,%）都在抛物线3;=1 2-2，加+加2-1上,M%；故答案为：.%为；（3）把点A（3,0）代入y =x+b的表达式并解得：b=3,则8（0,3）,直线AB的表达式为：y=x+3,当 y =3 时，y-x1-2mx+m2-1 =3,则 x=/n2,点P在对称轴的左侧，.,.1 =机+2 机不符合题意，舍去，则点P（加一2,3）,当4 0 A P为钝角三角形时，贝i j 0 加2 加或加一 2 3,解得：相2或/”一1,，加的取值范围是：a 2或加-1.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定NAOP为直角时点尸的位置最关键.